2022-2023学年广西钦州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022.2023学年广西钦州市高二(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知PQ4)=0.68,=0.17,则P(B|A)=()

A.0.5B,0.35C.0.25D.0.17

2.已知函数/(x)=xlnx+1(1)/+2,则1(1)=()

A.-1B.1C.-2D.2

3.已知x和y之间的几组数据如下表：

X-2-1012

y54221

根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为y=_x+a，则预测当X=5时，y=()

A.-0.2B.—0.8C.—1.2D.—2.2

n

4.设7；是数列｛an｝的前n项积，则“〃=3”是“｛册｝是等差数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.己知函数/(x)=/+a/+%+/)在x=1处取得极值5,则a-b=()

A.—7B.—3C.3D.7

6.在等差数列｛斯｝中，a2+a9=a5+4,则＜13+09=()

A.4B.8C.12D.16

7.已知P是函数f(x)=1M图象上的任意一点，则点P到直线x-y-5=0的距离的最小

值是()

A.3AT2B.5C.6D.

8.小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月

付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款,已知月利率为1%,按复

利计算，则小华每期付款金额约为(参考数据：LOI'«1.05,1.016«1.06,1.017«1.07)()

A.764元B.875元C.883元D.1050元

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知两个随机变量X,y满足y=5X-2,若X〜贝|J()

17

A.E(X)=6B.O(X)=YC.E(Y)=30D.D(Y)=60

10.己知/'(x)为函数f(x)的导函数，若函数y=/'(x)-l|y

的图象大致如图所示，则()

A./(x)有3个极值点与qobi3\jx

B.%=—4是/(%)的极大值点y一…"A-\........'\

C.x=0是/(x)的极大值点

D./Q)在(0,4)上单调递增

11.一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是

始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排

列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八

塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山招星口ai$4一口

势自上而下，前六层依次建1,3,3,5,5,7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座

数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号

为001号塔；第二层从左至右依次编号为002,003,004；第三层从左至右依次编号为005,

006,007；...；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米,具有塔心

室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座

间距相同约为1.2米(例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米)，记第71

层的宽度(以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算)为加米，则以下说法正确的是()

A.一百零八塔共有12层塔B.088号塔在第11层

C.an-an_1=4(n>6,nG/V+)D.。门的值约为53.2

12.已知定义域为R的函数/"(x)的导函数为f'(x),且/'(x)>f(x),则下列不等式恒成立的

是()

e

A.叭)2)>2/(1)B.eE/(eO.i)>e°7(<T2)

C.>e](lnGD.e£⑵n2)<4/序)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知变量X〜N(80,<T2),且P(X>92)=0.2,则P(68WXW92)=.

14.某质点沿直线运动，位移y(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系为y(t)=3t2+2t+3,

则该质点在t=2秒时的瞬时速度是米/秒.

15.设等比数列的前71项和为又，且S4=4,S8=12,则S16=.

16.五一长假期间，某单位安排4B,C这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人

至少值班1天，已知4在五一长假期间值班2天，则4连续值班的概率是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否

有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表:

性别

体育锻炼口11

男生女生

喜欢280P280+p

不喜欢q120120+q

合计280+(J120+p400+p+q

在本次调查中，男生人数占总人数的,，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的卷.

(1)求p,q的值;

(2)根据题中列联表，能否有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关?

n(ad—bc')2

附:n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(a2>ko)0.050.0250.0100.001

k03.8415.0246.63510.828

18.(本小题12.0分)

在等差数列｛斯｝中，。3=5,a7=13.

(1)求｛aj的通项公式；

(2)若生=而£不，求数列｛g｝的前n项和%.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=1x2-2alnx+(a-4)x+|.

(1)当a=3时，求/(%)的极值；

(2)若/(%)在［1,3］上单调递减，求a的取值范围.

20.(本小题12.0分)

设数列｛斯｝的前n项和为Sn，%=2,且Sn+1=3Sn+2.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)若刈=几%1,求数列｛%｝的前〃项和乙.

21.(本小题12.0分)

猜歌名游戏根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了4

B两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从4,B两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃

声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对A组中每首歌曲的歌名的

概率均是|，猜对B组中每首歌曲的歌名的概率均是:，且猜对每首歌曲的歌名相互独立.

(1)求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率；

(2)若嘉宾猜对一首4组歌曲的歌名得1分，猜对一首B组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记

该嘉宾累计得分为X,求X的分布列与期望.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=(%+l)(Znx-2).

(1)判断/(%)的单调性，并说明理由；

(2)若f(%i)+/(%2)=-8,0<%!<%2»证明：%1+%2>2-

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：因为P(4)=0.68,P(AB)=0.17,

所以P(B|4)

故选：C.

根据条件概率公式结合题意直接求解即可.

本题考查条件概率公式，属于基础题.

2.【答案】4

【解析】解:因为尸(x)=lnx+l+2f(l)x,所以f(1)=1+21⑴,

解得f'(l)=-1.

故选：A.

求导函数((x),由此可求/(1).

本题主要考查导数的运算，属于基础题.

3.【答案】D

--2-1+0+1+2八-5+4+2+2+10门

【解析】解:x=---------------=0，y=-------------=2.8,

则样本点的中心的坐标为(0,2.8),

代入y=—x+a，可得a=2.8-

二y=-x+2.8，取x=5,可得y=-5+2.8=-2.2・

故选：D.

由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解a，再求出x=5时的y值即可.

本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】A

71

【解析】解：若〃=3,则%=3；当nN2时，，an==--i=3,

所以，对任意的neN*,an=3,则与+1-册=0,此时，数列｛&J是等差数列，

u

故Tn=3""能得出”｛%｝是等差数列”，

若“｛即｝是等差数列”，不妨设an=n,则曾片3%

u

即“｛四｝是等差数列”不能得出Tn=3"”，

所以"4=3"'是“｛册｝是等差数列”的充分不必要条件.

故选：A.

由7；=3n求出a“的表达式，结合等差数列的定义可判断充分条件；举特例可判断必要条件，综合

可得结论.

本题主要考查了等差数列的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：函数/'(x)=+a/+x+b,

则/'(x)=3%2+2ax+1,

因为〃x)在x=1处取极值5,

所以霹)=?+2：；°解得：｛厂/

(./(I)=l+a+l+o=53=5

经检验满足题意.

故a—b=-7.

故选:A.

求出函数的导数，得到关于a,b的方程组，解出即可.

本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：设等差的数列｛即｝的公差为小

因为+&9=+4,所以a1+d+a1+8d=a】+4d+4,

所以的+5d=4,

所以。3+ag=a1+2d+%+8d=2al+lOd=2(%+5d)=8.

故选:B.

由已知条件可得%+5d=4,然后计算a?+。9即可.

本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解：设直线，与直线久一y-5=0平行，且与函数/(x)=e"+/的图象相切，

设切点为Q(t,e*+t2),=ex+2x是单调递增函数，

直线x-y—5=0的斜率为1,；.［《)=*+2t=1,解得t=0,

即切点为Q(O,1),

.・•点P到直线％-y-5=0的距离的最小值是点Q到直线x-y-5=0的距离，

等于耳科=3C.

V2

故选:A.

设直线，与直线x—y-5=0平行，且与函数f(x)=1+/的图象相切，求出切点坐标，则问题

转化为求切点到直线x-y-5=0的距离，进而可求解.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，训练了点到直线距离

公式的应用，是中档题.

8.【答案】C

【解析】解：设小华每期付款金额为x元，第n期付款后欠款为4"(凡=123,4,5,6)元，

则占=5000x(1+1%)-x=5000x1.01-x,

2

A2=(5000x1.01-x)x(1+1%)-%=5000x1.01-l.Olx-x,

232

A3=(5000x1.01-l.Olx-x)X(1+1%)-%=5000x1.01-1.01x-l.Olx-x,

65432

A6=5000x1.01-(1.01+1.01+1.01+1.01+1.01+l)x,

因为4=0>所以5000x1.016-(1.015+1.014+1.013+1.012+1.01+l)x=0,

____________5000x1.016____________5000x1.016〜5000x1.06_5300_

即”-1.01S+1.014+1.013+1.012+1.01+l-1x(1-1.016)~-6~•

1-1.011-101

所以小华每期付款金额约为883元.

故选：C.

设小华每期付款金额为x元，第n期付款后欠款为力式n=1,2,3,4,5,6)元，根据已知条件，依次写出

A2,4，…，4,结合4=0及等比数列的前n项和公式即可求解.

本题考查等比数列相关综合应用，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：已知X〜8(10,|),

所以E(X)=10x|=6,D(X)=10x|x(l-|)=y,

又Y=5X-2,

此时E(Y)=E(5X-2)=5E(X)-2=5x6-2=28,

17

D(y)=D(5X-2)=52D(X)=25Xy=60.

故选：ABD.

由题意，根据二项分布的期望与方差公式代入计算即可得到E(X),,再利用期望与方差的性

质求出E(Y),D(Y),结合选项进行逐一分析即可.

本题考查二项分布的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力.

10.【答案】ABD

【解析】解：将(。)-1的图象向上平移1个单位，

%G(0,4)时，f(x)>0,/(x)递增，

x6(4,+8)时，f'(x)<0,f(x)递减;

故x=-4和x=4是函数/(x)的极大值点，%=0是函数/(%)的极小值点,

故A正确，8正确，C错误，。正确.

故选：ABD.

根据导函数的符号，求出函数f(x)的单调区间，从而判断各个选项.

本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：设数列1,3,3,5,5,7..为{b},

由题意,b6,b7,为…构成等差数列，公差d=2,殳=7,

设塔共有n层，

则1+3+3+5+5+7(n—5)+(-5针-6)*2=108,

解得71=12,故选项A正确；

由于第12层有瓦2=7+6x2=19座塔，108-19=89>88,

所以088号塔在11层最后第二个，故选项B正确；

由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，

所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，

即有册-斯-i=2x2+12x2=6.4(n>6,neN+),故C选项错误；

由选项C的分析可知，。6，a7,…构成等差数列，公差d=6.4,a6=2x7+1.2x6=21.2,

所以+5d=53.2,故选项。正确.

故选：ABD.

由等差数列的求和公式可判断选项4;可先求出第12层有19座塔，进而可判断选项B；由题意，

从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，所以宽度上会多出2个塔底直径的

长和两个间距的长，即可判断选项C；由等差数列通项公式计算即可判断选项Q.

本题考查了等差数列的通项公式，重点考查了等差数列的求和公式，属中档题.

12.【答案】BCD

【解析】解：令F(x)=喈，则尸(%)==/*叫

因为广(乃>/(乃，

所以f(x)-f(x)>0,

所以产(x)>0,

所以F(x)在R上单调递增，

对于4：因为m2<1,

所以/(比2)</(1),

所以嘴〈竽

所以用</，

2e

所以e/(ln2)<2/(1),故A错误；

对于8：因为e°i>V1.2,

所以02>区卫，

所以e/T7/(eO.i)>ee01/(7T2).故B正确；

对于C：因为:

所以埠>华仔2,

Aelnv2

所以华〉及等，

ee

所以>e)(ln，2)，故C正确；

对于D：因为仇4>3，

所以喘2>噜，

e-2~

所以竿>嚼，

eV

所以e9/⑵n2)>4/(分)，故。正确，

故选：BCD.

令?(为=得，求导分析F'(x)的符号，F(x)的单调性，逐项分析，即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

13.【答案】0.6

【解析】解：因为X〜N(80R2),P(X>92)=0.2,

所以P(X<68)=P(X>92)=0.2,

所以P(68<X<92)=1-P(X<68)-P(X>92)=0.6.

故答案为：0.6.

由正态分布曲线的对称性求解即可.

本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

14.【答案】14

【解析】解:因为丫«)=3尸+2±+3,所以y'(t)=6t+2,

当t=2时,y，(2)=14(米/秒).

故答案为：14.

根据已知条件，结合导数的意义即可求解.

本题主要考查导数的意义，属于基础题.

15.【答案】60

【解析】解：等比数列｛即｝的前n项和为的，且$4=4,58=12,

(」(中)=4

.[i-q

j=12

\i-q

解得言=-4,q4=2,

则S16="(三；16)=12(1+q8)=12x5=60.

故答案为：60.

利用等比数列的前n项和公式能求出结果.

本题考查等比数列的前几项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

16.【答案】|

【解析】解：记M="4在五一长假期间值班2天”，N="4连续值班”，

则n(M)=ClClAi=60种,n(MN)=4c渊=24种,

所以。川")=黯4=|,

所以已知4在五一长假期间值班2天，则4连续值班的概率为|.

故答案为：|.

根据条件概率公式可求出结果.

本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.

280+q_4

40+P+<?1

°3,解得p=180,q=120.

{p+1205

（2）填写列联表为:

性别

体育锻炼合计

男生女生

喜欢280180460

不喜欢120120240

合计400300700

2

根据列联表中的数据，计算得/=700x（280x120-180x120）=

所以没有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关.

【解析】（1）根据题设条件，建立p,q的方程组即可求出结果；

（2）通过计算出f=7.609<10.828即可判断出结果.

本题主要考查了独立性检验应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

18.【答案】解：（1）设数列｛an｝的公差为d,由。3=5,a7=13,

(a3=%+2d=5解得｛建；

寸卜7=%+6d=13

故时=14-(n—l)x2=2n—1；

(2)由(1)知0n=2n-l,

------1-----------------1----------——i(-/-------l--l----.--

•*,6n=v

(2n+l)an(2n+l)(2n-l)22n-l2n+l

则S"=，（l-E+…+为一罚）=5（1一罚）=两・

【解析】（1）由已知得关于首项与公差的方程组，解方程组可求出即，d,从而可求通项公式;

（2）由（1）可得当=；（圭-焉），然后利用裂项相消求和法求解.

本题考查等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题.

19.【答案】解：⑴已知/(x)=#-2出nx+(a-4)x+5，函数定义域为(0,+8),

当a=3时，/(x)—1%2—6lnx—x+|,

可得/'(x)=x--1=

当0<x<3时，f(%)<0,/(%)单调递减；

当#>3时,f(x)>0,/(x)单调递增，

当x=3时，函数/(x)取得极小值，极小值f(3)=4-6m3,无极大值；

(2)易知((x)=x-^+a-4,

若/(x)在［1,3］上单调递减，

所以［(x)<0在％e［1,3］上恒成立，

即a<甯2在％e［1,3］上恒成立，

不妨设g(x)=写字，函数定义域为［1,2)U(2,3］,

当lSx<2时，g(x)单调递减；当2cxs3时，g(x)单调递增，

所以当x=3时，函数g(x)取得极大值也是最大值，最大值g(3)=3,

则a4g(x)max=3,

故a的取值范围为(一8,3］.

【解析】(1)由题意，将a=3代入函数/(乃的解析式中，对函数/(乃进行求导，利用导数得到函

数/。)的单调性，进而即可求解；

(2)将函数/Q)在［1,3］上单调递减,转化成a<乎字在xe［1,3］上恒成立，构造函数g(x)=丹导,

对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性，进而即可求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

20.【答案】解：⑴因为%+i=3Sn+2,

所以当n>2时，Sn=35n_i+2,

两式相减得，an+1=3an(n>2),

又S2=3sl+2,%=2,所以%+做=3%+2,

所以g=6=3%,满足上式，

所以数列｛即｝是首项为2,公比为3的等比数列，

rl

所以Qn=2•3T.

n-1

(2)由(1)知，bn=nan=2nx3,

所以〃=2X(1+2X3+3X32+4X33+-+TIX3兀T),

3〃=2x(3+2x32+3x33+4x34+…+九x3n),

两式相减得，-2〃=2X(1+3+32+33+34+-+3n-1-nx3n)=2x(g-nx3n)=

1—3

(1-2n)X3n-1,

所以加=(2n-?3"+l.

【解析】(1)利用an=Sn-Sn_i(n22),并结合等比数列的定义，可证数列｛an｝是首项为2,公比

为3的等比数列，再由等比数列的通项公式，得解；

(2)利用错位相减法，即可得解.

本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等比数列的定义、通项公式，错位相减法是

解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：⑴该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率B=(l-勺2、(1一界=表；

该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率P2=x(1-1)x|xd)2+(1-1)2xxix(1-i)=

1

6-

故该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率P=1-P1-P2=^.

(2)由题意可得X的所有可能取值分别是0,1,2,3,4,5,6.

没有猜对4组中每首歌曲的歌名的概率为1-|=最没有猜对B组中每首歌曲的歌名的概率是1-

11

2=29

P(X=0)=(扔X©2=*p(x=1)=废xgxjx(毋.

P(X=2)=(|)2X©2+G)2XC江^/

1711o

P(X=3)=废x/x"废x5x；康

P(X=4)=(|)2x^xix|+(1)2x©)2=；,

P(X=5)=Gxgx|x(；)2=W，

P(X=6)=(|)2x(尹=1.

X的