专练16（几何类压轴题）中考数学考点必杀500题（江西专用）（解析版）

2021中考考点必杀500题专练16（几何类压轴题）（30道）1．（2021·江西九年级一模）如图1，在菱形中，，，点为上一动点，在点的运动过程中，始终保持，，连接，，与相交于点．（1）如图1，求证四边形为平行四边形；（2）当点运动到什么位置时，四边形为矩形？并说明理由；（3）如图2，延长到，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）的垂直平分线上，理由见解析；（3），理由见解析【分析】（1）菱形的性质可得，，根据平移的性质可得，，继而可证得四边形为平行四边形；（2）通过证得，再结合四边形为平行四边形，即可得证；（3）连接，根据四边形为平行四边形及，可得是△的中位线，继而得到，根据菱形的轴对称可得，继而可得．【详解】解：（1）证明：由菱形的性质可得，，由平移可得，，；∴，，∴四边形为平行四边形；（2）当点运动到的垂直平分线上时，四边形为矩形．∵菱形中，，∴，，∵，∴，即，又∵四边形为平行四边形，∴四边形为矩形；（3）如图，连接，由（1）得四边形为平行四边形，∴，又∵，∴是的中位线，∴，由菱形的轴对称可得，即，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是掌握相关判定与性质．2．（2021·江西九年级二模）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，延长到点G，使得，连接．（特例感知）（1）图1中与的数量关系是______________．（结论探索）（2）图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．（拓展应用）（3）在（2）的条件下，若，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长．【答案】(1)=，(2)存在，证明见解析，（3）或或16或4．【分析】(1)连接GC，证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；(2)类似（1）的方法，先证△AFD≌△AEB，再证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；(3)根据E、F是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)连接GC，∵AE=AF，AD=AB，∴DF=BE，∵，∴DG=BE，∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，∴△CDG≌△CBE，∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴=；故答案为：=；(2)存在，连接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，与（1）同理，=；(3)当∠FEG=90°时，如图1，因为∠FEA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一条直线上，∵AB=5，∴AC=5,CE=5-3=2,GE=EC=4；如图2，E在CA延长线上，同理可得，EC=8，GE=EC=16；当∠EFG=90°时，如图3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，所以，B、E、F在一条直线上，作AM⊥EF，垂足为M，∵，∴EF=6，AM=ME=MF=3，，BE=DF=1,FG=2，；如图4，同图3，BE=DF=7，FG=14，EF=6，，综上，的长为或或16或4．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质，解题关键是恰当的连接辅助线，构造全等三角形；会分类讨论，结合题目前后联系，解决问题．3．（2021·江西九年级一模）定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”．（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是．（2）如图1，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，BC＝，AC＝3，求线段BD的长．（3）如图2，⊙O内接四边形EFGH，GE为⊙O的直径．①求证：四边形EFGH为“完美四边形”．②若EF＝6，FG＝8，FH是否存在一个值使四边形EFGH的面积最大？若存在，求出FH的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）正方形、矩形；（2）3；（3）存在，．【分析】（1）依次判断正方形、矩形、菱形是否满足定义条件即可；（2）根据“完美四边形”的定义，得到边和对角线之间的关系式，代入数据运算即可求解；（3）①做辅助线构造出两组相似三角形，得到四边形的边和对角线之间的关系，再利用等式的性质代换即可得到所需条件，进而得以求证；②将四边形分成两部分，一部分是，得到它的面积为定值，另一部分为，它的面积随H点位置的变化而变化，当H点到GE的垂线段就是半径时为最大，此时的面积也最大，从而整个四边形的面积就最大；再利用勾股定理和“完美四边形”的定义等进行求解即可．【详解】解：（1）正方形、矩形理由如下：①如图，设正方形边长为a，∴对角线长为，所以对角线的积为，因为两组对边的积的和为，∴正方形为“完美四边形”．②如图，设矩形的两邻边长分别为b和c，∴矩形的对角线长为，∵矩形的对角线长相等，∴矩形对角线的积为，又∵矩形对边的积分别为和，则对边积的和为∴矩形为“完美四边形”．③如图，设菱形的两条对角线长的一半分别为m和n，∴菱形的边长为，∵菱形的四条边相等，∴菱形的对边的积的和为，∵菱形的对角线的积为，令，∴∴只有当时，该菱形才为“完美四边形”，当时，则它不是“完美四边形”，∴菱形不是“完美四边形”．综上可知：只有正方形和矩形是“完美四边形”．（2）由“完美四边形”的定义可知：，∴．（3）①如图，在GE上取一点M，使∠GFM=∠HFE，∵∠FGM=∠FHE（同弧所对的圆周角相等），∴∽∴∴，∵∠GFM=∠HFE，∴∠GFH=∠MFE，又∵∠GHF=∠MEF，∴∽，∴，∴，∴∴四边形EFGH为“完美四边形”．②存在；理由：如下面图①，∵GE是直径，∴∠EFG=90°，∴，的面积为∴要使四边形GFEH面积最大，则只需面积最大，作HN⊥GE，垂足为N，则HN的值最大时，面积就最大，因为H点到直径DE的垂线段的长最大为半径，即垂足N点在原点时最大；如下面图②，当O点与N点重合时，由GE是直径，∴∠GHE=90°，∵HN垂直平分GE，∴HG=HE，∵∴；由它是“完美四边形”，∴∴，∴存在，当时，面积最大．【点睛】本题为新定义型试题，综合考查了圆、相似、勾股定理、四边形等内容，考查了学生对相关概念的理解与应用，本题属于压轴题，其中作辅助线是一个难点，对学生的综合分析与知识点运用的能力有着十分高的要求，本题蕴含了数形结合等思想．4．（2021·江西赣州市·九年级一模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【答案】（1）∠E＝α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；②【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE•FM＝．【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2021·江西赣州市·九年级期末）（问题提出）如图1，在等边三角形内部有一点，，，．求的度数．（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．（尝试解决）（1）将绕点逆时针旋转60°，得到，连接，则为等边三角形．，，，为______三角形的度数为______．（类比探究）（2）如图2，在等边三角形外部有一点，若，求证．（联想拓展）（3）如图3，在中，，．点在直线上方且，，求的长．【答案】（1）直角；150°；（2）见详解；（3）．【分析】（1）由旋转的性质、等边三角形的性质，以及勾股定理的逆定理，判定为直角三角形，即可得到答案；（2）将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到如图所示，再连接，由等边三角形的性质和旋转的性质，得到，从而得到结论成立；（3）将△PAB绕点A顺时针旋转90°，得到如图所示，由旋转的性质和等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，即可求出答案．【详解】解：（1）将绕点逆时针旋转60°，得到，连接，则为等边三角形．∴，，，，为直角三角形，∴,的度数为：．故答案为：直角；150°．（2）将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到如图所示，再连接，∵△ABC是等边三角形，则点与点B重合，由旋转的性质，则，，∴是等边三角形，则，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∵，，∴．（3）将△PAB绕点A顺时针旋转90°，得到如图所示，∵AB=AC，∠BAC=90°，则点与点C重合，由旋转的性质，得，，，∴是等腰直角三角形，∴，则点P、、B三点共线，∵，，∴点是PB的中点，设，则，由勾股定理，得，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理进行解题，解题的关键是掌握旋转的性质，正确作出辅助线进行分析．6．（2021·江西吉安市·）如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N．（1）当时，的长为________，________；（2）已知．①若，求此时的长；②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；；（2）①；②存在，有8个．【分析】解：（1）由四边形ABCD为正方形，得到△ACD为等腰直角三角形，在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的长，由MN=CD，可以求出MN的长，由AD∥BC得到△AEM∽△CEN.（2）①过点E作EG⊥AD于点G．由AM∥CN，得到△AEM∽△CEN．得到对应边成比例，由勾股定理求出GM的长，再由AM=AG+GM可求出．②画出图形，过点F作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，根据点M与点F关于BC对称，计算出PE+PF的最小值，与PE+PF=9比较．得出BC上存在两个点，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9．【详解】解：（1），∵四边形ABCD为正方形∴△ACD为等腰直角三角形，则，在Rt△ACD中有AD=AC，AD2+DC2=AC2，∵AC=12，解得：AD=CD=6，又∵MN⊥BC，CD⊥BC∴MN∥CD，且MN=CD，即MN=DC=6，又∵AD∥BC∴△AEM∽△CEN.（2）①如图，过点E作于点G．

∵，∴．∴．∵，，∴，．∵，∴．∴．∴．②存在，这样的点有8个．如图，过点F作点F关于的对称点M，连接交于点N，连接，∵点E，F将对角线三等分，且，∴，．∵点M与点F关于对称，∴，．∴．∴．则在线段上存在点N到点E和点F的距离之和最小为．∴在线段上，点N的左右两边各有一个点P使．同理在线段，，上都存在两个点使．即共有8个点P满足．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质、线段和的最值问题等，体现了逻辑推理、直观想象核心素养.7．（2021·江西上饶市·九年级期末）观察猜想：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E在斜边AB上，连接DE，且DE＝AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则＝______，sin∠ADE＝________，探究证明：（2）在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD＝AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由．拓展延伸（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示）【答案】（1）；；（2）不变；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性质和等边三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等边三角形，据此求得CE的长度，根据等腰直角三角形的性质来求EF的长度，易得答案；（2）不变．理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，构造直角三角形：△ADG，结合含30度角的直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，结合方程求得答案；（3）如图3，过点E作EG⊥AD于点G，构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义列出方程并解答．【详解】（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等边三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋转的性质知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不变，理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，则△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，设DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）过点E作EG⊥AD于点G，设AE＝x，则DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα•x，EG＝sinα•x．∴DG＝＝•x．∴AD＝cosα•x+•x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，作辅助线构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解．8．（2021·江西景德镇市·九年级期末）如图将绕点逆时针旋转角度后，与构成位似图形，则称与互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________（填：是或不是）“旋转位似图形”．如图，与互为“旋转位似图形”②若，，，则的度数为________；③若，，，则的长度为________；（2）知识运用：如图，在四边形中，，于，．求证：与互为“旋转位似图形”．（3）拓展提高：如图，为等腰直角三角形，点为斜边的中点，点是上一点，是延长上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求和的长．【答案】（1）①是；②；③；（2）证明见解析；（2）DE=；BD=．【分析】（1）①根据“旋转位似图形”的定义即可得答案；②由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质及三角形内角和定理可得∠C、∠BAC的度数，根据旋转的性质可得∠EAC=26°，利用角的和差关系即可得答案；③由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）根据直角三角形两锐角互余的性质及角的和差关系可得∠2=∠BAE，即可得出∠1=∠BAE，进而可证明△ACD∽△ABE，即可得结论；（3）作交直线于点，根据等腰直角三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可求出AE的长，根据角的和差关系可得∠DAE=45°，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AE′，即可证明点E与点E′重合，可得AE⊥DG，可得DE=AE，即可得出DE的长，利用勾股定理即可求出BD的长．【详解】（1）①如图，△ABC和△ADE是等边三角形，∴△ABC∽△ADE，∴绕点逆时针旋转角度后与构成位似图形，故答案为：是②∵与互为“旋转位似图形”∴△ABC∽△ADE，∴∠C=∠E=29°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-100°-29°=51°，∵△ADE绕点逆时针旋转角度后，与△ABC构成位似图形，∴∠EAC==26°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=51°-26°=25°，故答案为：25°③∵与互为“旋转位似图形”∴△ABC∽△ADE，∴，即，解得：BC=，故答案为：（2）∵AE⊥BD，∠ABC=90°，∴∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BAE，∵∠ADC=∠AEB=90°，∴△ACD∽△ABE，∵△ACD与△ABE有一个公共顶点A，∴△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．（3）如图，作交直线于点，∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6，∴AB=AC=，与互为“旋转位似图形”，．，，；．∴∠DAE′=45°，∴为等腰直角三角形．，．，点和点重合，．∴，，∴．【点睛】本题考查位似图形及相似三角形的判定与性质的综合，理解“旋转位似图形”的定义并熟练掌握相似三角形的判定定理、是解题关键．9．（2021·江西）在中，，点E在射线上运动．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接．（1）如图1，点E在点B的左侧运动．①当，时，则_________；②猜想线段与之间的数量关系为_____________________________．（2）如图2，点E在线段上运动时，第（1）问中线段与之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．（3）点E在射线上运动，，设，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．【答案】（1）①30；②；（2）不成立，；（3）点E在点B左侧运动时，；点E在线段上运动时，．【分析】(1)①根据勾股定理，得AE=2，逆用直角三角形中，30°角的性质即可得到答案；②过点F作FD⊥EC，垂足为D，证△ABE≌△EDF，从而证明AB=ED=BC，FD=DC，可探解结论；(2)按照（1）的思路，探解，可得到不同的结论；(3)按照（1），（2）两种情形，分别表示四边形的面积即可.【详解】解：（1）①根据勾股定理,得AE==2，∵BE=1=AE，∴∠BAE=30°；②．理由如下：如图1，过点F作FD⊥EC，垂足为D，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠DEF，∵AE=EF，∠ABE=∠EDF=90°，∴△ABE≌△EDF，∴AB=ED=BC，∴FD=DC，∴CF=CD，AC=AB=ED，∴AC+CF=CD+ED=(CD+ED)=CE；（2）不成立．如图2，过点F作交的延长线于点H．∴，∴∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FEH=∠BAE，∴，∴,∴,∴为等腰直角三角形，∴．又∵,即．（3）如图1，当点E在点B左侧运动时，y=CE×(AB+FD)==；如图2，当点E在点B右侧运动时，连接AF，根据勾股定理，得AE=，根据旋转性质，得AE=EF，∴EC=EH-CH=BC-BE=∴y=AE×EF+EC×FH=+=+=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的全等，线段之间关系的猜想与证明，分类思想，图形的面积，熟练掌握分类思想，学会构造直角三角形，图形面积的分割是解题的关键.10．（2021·江西宜春市·九年级期中）如图①，正方形ABCD的边长为4，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°）得到正方形AEFG，连接BE并延长交CF于点O，连接AC，AF．（1）旋转角α与∠OBC的数量关系是，∠OBC与∠OEF的数量关系是；（2）猜想：在旋转过程中，OC与OF的数量关系是什么？请证明你的结论；（3）如图②，当α＝45°时，求△BCH的面积．【答案】（1）α＝2∠OBC，∠OBC＝∠OEF；（2）OC＝OF，理由见解析；（3）8﹣8【分析】（1）如图，作AK⊥BE于K，由∠ABK+∠BAK＝90°，和∠ABK+∠OBC＝90°，可得∠BAK＝∠OBC，由旋转的性质可知，AB＝AE，由AK⊥BE，∠ABE＝∠AEB，可得∠BAK＝α，由∠AEB+∠OEF＝90°，可得∠OBC＝∠OEF；（2）OC＝OF，理由如下：如图，过点F作FM⊥BO交BO的延长线于M，过点C作CN⊥BO于N，可证△BCN≌△EFM（AAS），再证△OCN≌△OFM（AAS），可得OC＝OF；（3）当α＝45°时，AF与AD在同一条直线上，可求AF＝4，DF＝4﹣4，由面积公式△CDF的面积＝×DF×CD＝8﹣8，可证△BCH≌△CDF（ASA），可得△BCH的面积＝△CDF的面积＝8﹣8．【详解】解：（1）如图，作AK⊥BE于K，∴∠ABK+∠BAK＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABK+∠OBC＝90°，∴∠BAK＝∠OBC，由旋转的性质可知，AB＝AE，∵AK⊥BE，∠ABE＝∠AEB，∴∠BAK＝α，∴α＝2∠OBC，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠OEF＝90°，∴∠OBC＝∠OEF，故答案为：α＝2∠OBC，∠OBC＝∠OEF；（2）OC＝OF，理由如下：如图①，过点F作FM⊥BO交BO的延长线于M，过点C作CN⊥BO于N，在△BCN和△EFM中，，∴△BCN≌△EFM（AAS），∴NC＝FM，在△OCN和△OFM中，，∴△OCN≌△OFM（AAS），∴OC＝OF；（3）当α＝45°时，AF与AD在同一条直线上，∵正方形的边长为4，∴AF＝4，∴DF＝4﹣4，∴△CDF的面积＝×DF×CD＝8﹣8，∵AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝∠ACD＝45°，∴∠ABE＝∠ACF＝67.5°，∴∠OBC＝90°﹣∠ABE＝22.5°，∠DCF＝∠ACF﹣45°＝22.5°．∴∠OBC＝∠DCF．在△BCH和△CDF中，，∴△BCH≌△CDF（ASA），∴△BCH的面积＝△CDF的面积＝8﹣8．【点睛】本题考查正方形性质，旋转特征，互余角关系，三角形全等判定与性质，勾股定理，三角形面积，掌握正方形性质，旋转特征，互余角关系，三角形全等判定与性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．11．（2021·江西抚州市·九年级月考）（1）发现问题如图（1），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD边上的动点（均不与端点重合），且∠EAF=45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，发现EF=BE+DF，请你给出证明过程；（2）类比探究①如图（2），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边CB，DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图（3），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，请直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．（不要求证明）（3）拓展应用在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）①不成立，理由见解析；②BE=EF+DF；（3）5【分析】（1）证明△EAF≌△GAF，可得出EF=FG，则结论得证；（2）①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF=FM，则结论得证；②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF=EN，则结论得证；（3）求出DG=2，设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．【详解】（1）证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∠B=∠ADG=90°，∴∠ADF+∠ADG=180°，∴F，D，G三点共线，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=45°，∴∠DAG+∠FAD=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=FG=DF+DG，∴EF=DF+BE；（2）①不成立，结论：EF=DF-BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM，∴∠FAM=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF=FM=DF-DM=DF-BE；②结论为：BE=EF+DF，如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN=AF，∠NAF=90°，∵∠EAF=45°，∴∠NAE=45°，∴∠NAE=∠FAE，∵AE=AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF=EN，∴BE=BN+NE=DF+EF．即BE=EF+DF；（3）解：由（1）可知AE=AG=3，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC=BC=AD=6，∴DG=，∴BE=DG=3，∴CE=BC-BE=6-3=3，设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2=EF2，∴(6-x)2+32=(x+3)2，解得：x=2．∴EF=x+3=5．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．12．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【答案】（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．

②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题．

（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．②如图2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋转角为2α．故答案为：2α．（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC•CD•BN，S△ACE•AC•EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（2021·江西吉安市·九年级一模）在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF=OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为或.【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，∴OP=.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=OE=，综上所述：OP的长为或.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.14．（2021·赣州市南康区教学研究室九年级一模）在中，，，动点在直线上（不与点，重合），连接，把绕点逆时针旋转90°得到，连接，，分别是，的中点，连接．（特例感知）（1）如图1，当点是的中点时，与的数量关系是______．与直线的位置关系是______．（猜想论证）（2）当点在线段上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？①请在图2中补全图形；②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（拓展应用）（3）若，其他条件不变，连接、．当是等边三角形时，请直接写出的面积．【答案】（1），；（2）①见解析；②结论仍然成立，理由见解析；（3）或【分析】（1）由把绕点A逆时针旋转90°得到，可得AD=AE，∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°由点D为BC中点，AB=AC，∠BAC=90°，可得AD⊥BC，∠ABC=∠BCA=45°，AD=BD=CD，可证DF⊥AC，AF=CF，由FG为△ADC的中位线，FG∥AD，FG，FG⊥BC；（2）①补全图形如图所示；②结论仍然成立，理由如下：如图2，．连结EC，由把绕点A逆时针旋转90°得到，可得AD=AE，∠DAE=90°，可证△BAD≌△CAE（SAS）∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，由，分别是，的中点，可得FG为△DEC的中位线即可；（3）连接，作，由，结合勾股定理AM2+BM2=AB2，即2AM2=2，可求AM2=1，AM=1，当点在点的左侧时，，可得，DM×tan30°=AM，可求DM=，可求的面积为：，当点在点的右侧时，，可得，可求的面积为：即可．【详解】解：（1）∵把绕点A逆时针旋转90°得到，∴AD=AE，∠DAE=90°，∴∠ADE=∠AED=45°∵点D为BC中点，AB=AC，∠BAC=90°，∴AD⊥BC，∠ABC=∠BCA=45°，AD=BD=CD，∴∠DAC=∠ACD=45°∴∠CDE=90°-∠ADE=90°-45°=45°∴DF⊥AC，AF=CF，∵G为DC中点，∴DG=CG，∴FG为△ADC的中位线，∴FGAD，FG，∴FG⊥BC；（2）①补全图形如图所示（下列两图均可）②结论仍然成立，理由如下：如图2，．连结EC，∵把绕点A逆时针旋转90°得到，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∠ABC=∠BCA=45°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴EC⊥BC，∵，分别是，的中点，∴FG为△DEC的中位线，∴，．∴；（3）或．连接，作，∵，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°由勾股定理AM2+BM2=AB2，即2AM2=2∴AM2=1，AM=1，，∴∠BAM=45°∵AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，点F为DE中点，∴AD=AE，∠DAE=90°，AF平分∠DAE，∴∠FAE=45°，∴．如图3-1中，当点在点的左侧时，∵△ACF是等边三角形，∴∠FAM=∠FAC-∠MAC=60°-45°=15°又∵∠FAM为旋转角，∴，∴，DM×tan30°=AM，∴DM=∴，，∴的面积为：．如图3-2中，当点在点的右侧时，，∴，∴，，∴的面积为：．【点睛】本题考查图形旋转性质，等腰直角三角形性质，三角形中位线，三角形全等判定与性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，三角形面积，掌握图形旋转性质，等腰直角三角形性质，三角形中位线，三角形全等判定与性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，三角形面积是解题关键．15．（2021·江西九年级其他模拟）如图1，菱形绕点顺时针旋转，得到菱形，连接，．特例探索（1）当时，；当时，；拓展应用（2）如图2，若射线，交于点，．①求与的数量关系；②连接，若，，求的值；③当等于多少时，点，，在同一直线上？请直接写出的值，不必说明理由．【答案】（1）180°；90°；（2）①；②100°；③90°，理由见解析【分析】（1）根据旋转的性质进行判断即可；（2）①利用旋转的性质推出∠AEO+∠AEG=∠AEO+∠ABD=180°，再结合四边形的内角和即可推出结论；②结合已知条件可分别先求出各部分角度，然后结合旋转的性质推出∠BOG的度数，再结合①的结论求解即可；③根据前两问的思路，讨论，能够唯一得出∠COF=180°即可得证．【详解】（1）当菱形转动180°，使∠BAD与∠EAG形成一组对顶角时，BD∥EG；当菱形转动90°时，BD⊥EG；故答案为：180°；90°；（2）①由题意，△BAD≌△EAG，∴∠ABD=∠AEG，∵射线，交于点，∴∠AEO+∠AEG=∠AEO+∠ABD=180°，∴在四边形ABOE中，∠BAE+∠O=360°-（∠AEO+∠ABD）=180°，∵，，∴；②如图所示，作AM⊥BD，AN⊥GE，则AM=AN，由菱形的性质知，AB=AD，△ABD为等腰三角形，当时，∠ABD=∠ADB=70°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=70°，∴∠BOA=40°，∵AM=AN，∴OA平分∠BOG，即：∠BOA=∠GOA=40°，∴∠BOG=80°，即：，由①知：，∴；③当时，点，，在同一直线上，理由如下：如图所示，根据菱形的性质可得∠BDC=∠BDA，∴∠CDO=∠ADO，又CD=AD，OD=OD，∴△ODC≌△ODA，∴∠AOD=∠COD，同理可得∠AOE=∠FOE，∵，∴，即：∠BOG=90°，由②可知，∠AOB=∠AOG=45°，∴∠AOD=∠COD=∠AOE=∠FOE=45°，∴∠COF=4×45°=180°，∴点，，在同一直线上．【点睛】本题考查菱形的性质，以及旋转的性质等，熟练掌握菱形和旋转变化的性质是解题关键．16．（2021·江西九年级其他模拟）操作：如图1，正方形ABCD中，AB=a，点E是CD边上一个动点，在AD上截取AG=DE，连接EG，过正方形的中线O作OF⊥EG交AD边于F，连接OE、OG、EF、AC．探究：在点E的运动过程中：（1）猜想线段OE与OG的数量关系？并证明你的结论；（2）∠EOF的度数会发生变化吗？若不会，求出其度数，若会，请说明理由．应用：（3）当a=6时，试求出△DEF的周长，并写出DE的取值范围；（4）当a的值不确定时：①若=时，试求的值；②在图1中，过点E作EH⊥AB于H，过点F作FG⊥CB于G，EH与FG相交于点M；并将图1简化得到图2，记矩形MHBG的面积为S，试用含a的代数式表示出S的值，并说明理由．【答案】（1）OE=OG，理由参见解析；（2）不会发生变化，∠EOF=45°；（3）6，（0＜DE＜3）；（4）①，②S=a2，理由参见解析.【分析】（1）连接OD,由正方形的性质和已知条件得到△AOG≌△DOE即可；（2）由△AOG≌△DOE得到结论，再结合同角或等角的余角相等求出∠EOF；（3）判断出OF垂直平分EG，计算出周长=DE+EF+DF=AG+FG+DF=AD=AB=6即可；（4）①先判断出△AOF∽△CEO，得出S△AOF:S△CEO=AF:CE，进而求出结果．②由△AOF∽△CEO得出对应线段成比例，可导出AF×CE=OA×OC，因为S=AF×CE，所以可求出S=OA×OC=a2.【详解】（1）OE=OG，理由：如图1，连接OD，在正方形ABCD中，∵点O是正方形中心，∴OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，∵AG=DE，∴△AOG≌△DOE，∴OE=OG；（2）∠EOF的度数不会发生变化，理由：由（1）可知，△AOG≌△DOE，∴∠DOE=∠AOG，∵∠AOG+∠DOG=90°，∴∠DOE+∠DOG=90°，∴∠DOE=∠AOG，∵∠EOG=90°，∵OE=OG，OF⊥EG，∴∠EOF=45°，∴∠EOF恒为定值；（3）由（2）可知，OE=OG，OF⊥EG，∴OF垂直平分EG，∴△DEF的周长为DE+EF+DF=AG+FG+DF=AD，∵AB=a=6，∴△DEF的周长为AD=AB=a=6，（0＜DE＜3）；（4）①如图2，∵∠EOF=45°，∴∠COE+∠AOF=135°∵∠OAF=45°，∴∠AFO+∠AOF=135°，∴∠COE=∠AFO，∴△AOF∽△CEO，∴S△AOF:S△CEO=(OF:OE)2，∵O到AF与CE的距离相等，∴S△AOF:S△CEO=AF:CE，∴（）2=，∵＞0，∴=，②猜想：S=a2，理由：如图3，由（1）可知，△AOF∽△CEO，∴，∴AF×CE=OA×OC，∵EH⊥AB，FG⊥CB，∠B=90°，∴S=AF×CE，∴S=OA×OC=．考点：1.正方形的性质；2.线段的垂直平分线的判定和性质；3.相似三角形的性质和判定.17．（2020·江西南昌市·九年级三模）（概念建立）如图1，点D是中点，点E是中点，连接，则称为的中位线，则①；②．（概念辨析）给出中位线的两个逆命题：（ⅰ）若点E是的中点，，则点D是的中点；（ⅱ）若点E是的中点，，则点D是的中点．（1）判断这两个命题是真命题，还是假命题，若是真命题，则证明；若是假命题，则举例说明．（解决问题）如图2，点P，Q，M，N分别是四边形各边的中点，（2）求证：．（综合运用）（3）如图3，已知，，，点M、N分别是、的中点，求的长度．（4）如图4，已知点P、Q分别是，的中点，且，求证：．【答案】（1）命题（ⅰ）是假命题，说明见解析；命题（ⅱ）是真命题，证明见解析；（2）证明见解析；（3）1；（4）证明见解析．【分析】（1）命题（ⅰ）：画出图形，举出反例即可；命题（ⅱ）：如图（见解析），先根据中位线定理可得，再根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，由此即可得证；（2）如图（见解析），先根据中位线定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，同理可得，然后根据面积的和差即可得；（3）如图（见解析），先根据中位线定理可得，，再根据平行线的性质可得E、M、N三点共线，然后根据线段的和差即可得；（4）如图（见解析），先根据中位线定理可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据等量代换可得，从而可得E、B、C三点共线，由此即可得证．【详解】（1）①命题（ⅰ）是假命题，举例说明如下：如图，点E是的中点，点F是AB的中点，是的中位线，，由圆的性质得：，，但点D不是的中点；②命题（ⅱ）是真命题，证明如下：如图，取BC的中点为点F，连接EF，点E是的中点，是的中位线，，，四边形BDEF是平行四边形，，，即点D是的中点；（2）如图，连接AC、BD，点P、N分别是AB、AD的中点，是的中位线，，，，即，同理可得：，，，，，；（3）如图，取AD的中点为点E，连接EM、EN，点M是BD的中点，是的中位线，，同理可得：，，，又，点E、M、N共线，；（4）如图，连接DP，并延长至点E，使得，连接BE、CE，点P是DE的中点，点Q是CD的中点，是的中位线，，，，即，点P是AB的中点，，在和中，，，，，又，，点E、B、C共线，．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、圆的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（4），通过作辅助线，构造全等三角形和中位线是解题关键．18．（2020·江西九年级一模）（1）方法导引：问题：如图1，等边三角形的边长为6，点是和的角平分线交点，，绕点任意旋转，分别交的两边于，两点．求四边形面积．讨论：①小明：在旋转过程中，当经过点时，一定经过点．②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出．③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积．老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积：________．（2）应用方法：①特例：如图2，的顶点在等边三角形的边上，，，边于点，于点，求的面积．②探究：如图3，已知，顶点在等边三角形的边上，，，记的面积为，的面积为，求的值．③应用：如图4，已知，顶点在等边三角形的边的延长线上，，，记的面积为，的面积为，请直接写出与的关系式．【答案】（1）；（2）①的面积；②xy=12；③．【分析】（1）连接、，利用ASA证出，从而得出的面积与四边形的面积相等，过点作于点，利用锐角三角函数求出OH即可求出△OBC的面积，从而得出结论；（2）①根据等边三角形的性质可得，从而求出∠BOD，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OD和BD，从而求出结论；②过点作于，于，根据相似三角形判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，然后根据三角形的面积公式即可求出结论；③过点作交的延长线于，于，根据相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，分别求出OM和ON，再结合三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：（1）连接、∵是等边三角形，∴∵是和的角平分线交点∴∴，∴∴∴的面积与四边形的面积相等过点作于点∵，∴∵，∴，∴∴四边形的面积为．故答案为：．（2）①∵是等边三角形，∴∵于点，∴∵，∴，，∴的面积②过点作于，于．由①得：，同理：∵是等边三角形，∴∵，∴∴，∴∴，∴∴③过点作交的延长线于，于．∵，∴∴，∵∴，∴∴∵，，∴，∴∵，，∴，∴∴【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．19．（2020·江西吉安市·九年级其他模拟）已知菱形中，为对角线，点是的中点，连接交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接.（1）若，求证：四边形是正方形（2）已知，求的长；（3）若固定，设，将绕着点从点开始逆时针旋转过程中，菱形也随之变化，且满足，若是直角三角形，直接写出的值；【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）由菱形的性质可得，由垂直平分线的性质可得，，由等边对等角可得：，等量代换可得，由平行线的判定及性质可得，＝90°，继而由正方形的判定求证结论；（2）由菱形的性质可知，，由相似三角形的判定可得，继而由相似三角形对应边成比例的性质可得：，根据题（1）可知，进而可证△BGE∽△BAD，由此可知，代入数据，求出，最后由线段垂直平分线的性质求解；（3）根据题意，从旋转过程中可看出，线段在旋转360°的过程中，由0°增大到90°再减小到0°再增加到90°再到0°，据此结合图形即可求解．【详解】解：（1）∵四边形是菱形∴，∴，∵的垂直平分线交于点∴，∴，∴∴∴∵，∴∵四边形是菱形∴四边形是正方形（2）∵四边形是菱形∴，∴；∴∴∵∴△BGE∽△BAD，∴∵∴∵的垂直平分线交于点∴．（3）若是直角三角形时的值可能是60°，90°，270°或300°∵从旋转过程中可看出，线段在旋转360°的过程中，由0°增大到90°再减小到0°再增加到90°再到0°∴第一次出现是直角三角形时，如图1所示，此时为的一半，可得旋转角度即为60°；第二次出现是直角三角形时，如图2所示，此时（1）中已证明旋转角度即为90°；当继续旋转时到达的下方，同理可得旋转角度为270°和300°．【点睛】本题主要考查四边形的综合题，涉及到菱形的性质、正方形的判定、相似三角形的判定及其性质、线段垂直平分线的性质及图形的旋转等知识点，熟练运用所学知识是解题的关键．20．（2020·江西九年级二模）如图，正方形的对角线交于点O，，．（1）在图1中，点A与点E重合，与相交于点P，连接，求证：是等腰三角形．（2）猜想与的位置关系，并说明理由．（3）如图2，将绕点D逆时针旋转度角（）．①当旋转角为30°时，判断的形状，并说明理由．②在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，直接写出旋转的度数；如果不存在，直接作出判断，不必说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）①是等边三角形，理由见解析；②存在，旋转的角度为或．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得和的度数，再根据正方形的性质可得，从而可得的度数，然后根据三角形的内角和定理可得的度数，最后根据等腰三角形的定义即可得证；（2）如图（见解析），过点O作于点G，过点F作于点H，先根据正方形的性质得出，再根据等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质得出，然后根据直角三角形的性质可得，最后根据矩形的判定与性质即可得；（3）①先根据旋转的性质得出，再根据正方形的性质、角的和差得出，从而可得垂直平分EF，然后根据垂直平分线的性质可得，又根据（2）的结论、等腰三角形的三线合一可得垂直平分AB，从而可得，最后根据等量代换可得，由此即可得出结论；②根据等腰三角形的定义，分、和，先确定点E、F的运动轨迹，从而可得为等腰三角形时，点E、F的位置，再结合①的结论，三角形全等的判定定理与性质求解即可得．【详解】（1），点A与点E重合，，四边形ABCD是正方形是等腰三角形；（2），理由如下：如图，过点O作于点G，过点F作于点H，则四边形ABCD是正方形是等腰直角三角形斜边上的中线（等腰三角形的三线合一）在中，四边形OFHG是平行四边形平行四边形OFHG是矩形；（3）①是等边三角形，理由如下：由旋转的性质得：由正方形的性质得：，，，即平分是等腰三角形垂直平分EF（等腰三角形的三线合一）如图，连接OE、AE，延长OE交AB于点M由（2）可知，是等腰三角形垂直平分AB（等腰三角形的三线合一）是等边三角形；②根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：（ⅰ）当时，为等腰三角形由①可知，此时旋转的度数（ⅱ）当时，为等腰三角形如图，由题意可知，在旋转的过程中，点E、F的运动轨迹在以点D为圆心，DA长为半径的圆上过点O作的平行线，交圆D于点P由①可知，由三角形的三边关系定理得：则以点B为圆心，BP长为半径画圆，与圆D必相交于两点，即点P、Q即只有当点E运动至点P或点Q时，才有当点E运动至点P时，由①可知，此时旋转的度数当点E运动至点Q时，连接BQ、CQ、DQ则由①可知，为等边三角形，，在和中，由旋转的性质知，则此时旋转的角度为故此时或（ⅲ）当时，为等腰三角形同（ⅱ）可得：此时或综上，在旋转的过程中，存在为等腰三角形的情况，此时旋转的角度为或．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（3）②依据题意，确认出点E、F的运动轨迹是解题关键．21．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，点D为BC边上一动点，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE．（1）当AD平分∠BAC时，如图1，四边形ADCE是形；（2）过E作EF⊥AC于F，如图2，求证：F为AC的中点；（3）若AB=2，①当D为BC的中点时，过点E作EG⊥BC于G，如图3，求EG的长；②点D从B点运动到C点，则点E所经过路径长为．(直接写出结果)【答案】（1）菱形；（2）证明见解析；（3）①EG；②2．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ADCE为平行四边形，证明AD=AE，根据菱形的判定定理证明结论；（2）证明△BAD≌△FAE，根据全等三角形的性质得到AB=AF，根据直角三角形的性质得到AC=2AB，证明结论；（3）①作EF⊥AC于F，连接EC，根据勾股定理求出BC，根据等腰三角形的性质求出CG，根据勾股定理计算，得到答案；②根据线段垂直平分线的判定定理得到E'E''垂直平分AC，证明△E'AE''≌△BAC，得到E'E''=BC=．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC=30°．∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE=60°，∴∠EAC=30°，∴∠EAC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，∴AE∥DC，AD=DC．∵AE=AD，∴AE=CD，∴四边形ADCE为平行四边形．∵AD=AE，∴平行四边形ADCE为菱形．故答案为：菱形；（2）在△BAD和△FAE中，，∴△BAD≌△FAE(AAS)，∴AB=AF，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴AC=2AF，∴F为AC的中点；（3）①如图3，作EF⊥AC于F，连接EC，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，∴BC2，∵D为BC的中点，∴BDBC，∴AD，∵AF=FC，EF⊥AC，∴EC=AE=AD，∵EC=EA=ED，EG⊥DC，∴CGCD，∴EG；②如图4，当点D与点B重合时，点E在E'处，点E'是AC中点；当点D与点C重合时，点E在E''处，其中△ACE''是等边三角形，由（1）得：AE=CE，∴点E始终落在线段AC的垂直平分线上，∴E'E''垂直平分AC，∴点E的运动路径是从AC的中点E'，沿着AC垂直平分线运动到E''处，在△E'AE''和△BAC中，，∴△E'AE''≌△BAC(AAS)，∴E'E''=BC=2．故答案为：2．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、菱形的判定、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（2020·江西抚州市·金溪一中九年级一模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值．（拓展提升）（3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D．①当时，则_________；②如图4，当点B落在直线上时，求的值．【答案】（1）是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）；（3）①；②．【分析】（1）过点A作于点D，先求出AD的长度，然后得到，即可得到结论；（2）根据题意，由“金底”的定义得，设，，由勾股定理求出AB的长度，根据比值即可求出的值；（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，则，即可求出DF的长度，然后得到CD的长度；②由①可知，得到CE和AC的长度，分别过点，D作，，垂足分别为点G，F，然后根据相似三角形的判定和性质，得到，然后求出CD和AD的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A作于点D，∵，，∴．∴．∴是“准黄金”三角形．（2）∵点A，D关于BC对称，∴，．∵是“准黄金”三角形，BC是“金底”，∴．不防设，，∵点为的重心，∴．∴，．∴．∴．（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如图：由题意得AE=3，∵，∴BC=5，∵，∴，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，∴，∴；∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，∴△ACE∽△DAF，∴，设，则，∵∠ACD=30°，∴，∴，解得：∴．②如图，过点A作于点E，则．∵是“准黄金”三角形，BC是“金底”，∴．∴．∵，∴．∴．∴，．分别过点，D作，，垂足分别为点G，F，∴，，，则．∵，∴．∴．∴设，，．∵，∴，且．∴．∴．∴，解得．∴，．∴．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．23．（2020·江西省石城二中九年级其他模拟）（问题情境）定义：如图1，点E在四边形ABCD的边CD上，若AE、BE将四边形ABCD分割成三个相似的三角形，则称点E为该四边形的相似点．（1）若相似点在四边形ABCD的边CD上，且AE、BE将四边形ABCD分割成三个正三角形，则四边形ABCD的四边形之比(按边长从小到大排序)为_______

．（2）若相似点在四边形ABCD的边CD上，且AE、BE将四边形ABCD分割成三个全等的等腰直角三角形，则四边形ABCD的四边形之比(按边长从小到大排序)为_______．（3）（探索研究）如图2，点E为四边形ABCD边上的相似点，且AE、BE将四边形ABCD分割成三个全等的三角形，已知∠ABC=90°，AD=AB=BC=2，求边CD的长．（4）（问题解决）如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为四边形ABCD的边CD上的相似点，且AD=a，AB=b，BC=c(其中a≠c)，此时边CD的长为多少？请用含a、b、c的代数式直接写出所有可能的结果．【答案】（1）四边长度的比为1:1：1:2；（2）四边之比为1:1：：2；（3）CD=；（4）CD=【分析】（1）根据相似点的定义以及分成三个正三角形得出这三个三角形全等，从而得出边之比；（2）根据等腰直角三角形边之间的关系为设参数即可得出答案；（3）根据全等以及寻找出特殊角度的三角形再进行求解；（4）根据和相似点的定义判断出四边形是平行四边形，从而得出，再根据对应边成比例计算，从而得出答案．【详解】（1）∵均为正三角形，且三个三角形相似∴这三个三角形全等设∴则∴四边长度的比为（2）∵三个三角形为等腰直角三角形∴设，则∴四边之比为（3）过点A作AF⊥DE如图：∵∴∴在直角三角形中：在直角三角形中,,∴=++=（4）∵根据相似点的含义可知，∴,,∵∴四边形是平行四边形∴∴∴∴【点睛】本题考查定义新运算与相似、全等的综合，掌握相关的线段与角度之间的转化是解题关键．24．（2020·江西景德镇市·九年级一模）如图，抛物线（）的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形为它的内接正方形．（1）当抛物线是美丽抛物线时，则______；当抛物线是美丽抛物线时，则______；（2）若抛物线是美丽抛物线时，则请直接写出，的数量关系；（3）若是美丽抛物线时，（2），的数量关系成立吗？为什么？（4）系列美丽抛物线（为小于的正整数）顶点在直线上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为．求它们二次项系数之和．【答案】（1），；（2）；（3）答：成立．见解析；（4）这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为．【分析】（1）分别求出美丽抛物线的顶点A的坐标，根据正方形的性质得到点B的坐标，代入函数解析式求出a或k；（2）由（1）得到规律；（3）利用抛物线的平移的性质即可得到答案；（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，（，为小的正整数，且），它们的内接正方形的边长比为，解得，得到这两条美丽抛物线分别为和，根据，，求出，即可得到答案.【详解】（1）∵抛物线，∴顶点A的坐标为（0,1），∴BD=OA=1，∴点B的坐标为（-0.5,0.5），将点B的坐标代入，得到0.25a+1=0.5，解得a=-2，同理，抛物线是美丽抛物线，∴顶点A（0，k），∴B（-，），将点B的坐标代入，得，解得k=-4，故答案为：，；（2）由（1）知：当a=-2时，k=1；当a=时，k=-4，∴；（3）答：成立．∵美丽抛物线沿轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线．∴美丽抛物线沿轴经过适当平移后沿到美抛物线．∴．（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，（，为小的正整数，且），它们的内接正方形的边长比为，∴，得．∴这两条美丽抛物线分别为和．∵，，∴，．∴．答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查新定义形式的二次函数，二次函数的性质，正方形的性质，正确理解新定义是解题的关键，此题是一道较难的综合题.25．（2020·江西九江市·九年级其他模拟）在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针旋转角度得．（1）若线段与线段相交点，则：图1中的取值范围是________；图3中的取值范围是________；（2）在图1中，求证（3）在图2中，正方形边长为4，，边上的一点旋转后的对应点为，若有最小值时，求出该最小值及此时的长度；（4）如图3，当时，直接写出的值．【答案】（1），；（2）见解析；（3）最小值：，此时＝2+；（4）【分析】（1）根据正多边形的中心角的定义即可解决问题；（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，连接．利用全等三角形的性质分别证明：BE＝，即可解决问题；（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小，即有最小值．（4）利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；【详解】（1）由题意图1中，∵△ABC是等边三角形，O是中心，∴∠AOB＝120°∴∠α的取值范围是：0°＜α≤120°，图3中，∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，∴∠BOC＝，∴∠α的取值范围是：0°＜α≤，故答案为：0°＜α≤120°，0°＜α≤．（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，连接．∵∠OEB＝∠OF＝90°，根据题意，O是中心，∴OB＝OC，∴∠OBE＝∠，∴△OBE≌△OF（AAS），∴OE＝OF，BE＝F∵，∴Rt△≌Rt△（HL），∴，∴．（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小．∵∠＝135°，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠＝45°，∴∥BC，∵OK⊥BC，OB＝OC，∴BK＝CK＝2，OB＝2，∵∥，OK＝KE，∴，∴＝＝，∴＝2+，在Rt△中，＝．∵，∴有最小值，最小值为，此时＝2+．（4）如图3中，∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，∴∠BOC＝，∵OC⊥，，∴∠＝∠＝∠BOC＝，∴α＝．【点睛】本题属于多边形综合题，考查了正多边形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图像、性质进行了探究，下面是小明同学探究过程，请补充完整：如图1，已知在，，，，点为边上的一个动点，连接．设，．（初步感知）（1）当时，则①________，②________；（深入思考）（2）试求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；（3）通过取点测量，得到了与的几组值，如下表：00.511.52.2.533.5421.81.7_____22.32.63.0_____（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）1）建立平面直角坐标系，如图2，描出已补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；2）结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①________________________________；②________________________________．【答案】（1）①；②；（2）；（3）1.8，3.5；1）作图见解析；2）①的最小值为（或1.7），②当时，随增大而减小．【分析】（1）根据含30度直角三角形的性质求出BP，CP即可；（2）过作于，分两种情况：①当时，②当时，分别利用勾股定理计算即可；（3）分别求出x＝1.5和x＝4时y的值，即可补全表格；1）描点、连线即可；2）根据函数图象，可从最值和增减性方面写出函数的性质．【详解】解：（1）当时，BP＝BC＝1，CP＝，故答案为：①；②；（2）过作于，由（1）可知，，，①当时，如图1-1，，，∴；②当时，如图1-2，，，综合①②可得：；（3）当x＝1.5时，，当x＝4时，，00.511.52.2.53