高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 15(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（15）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1..如图，已知球。是棱长为1的正方体ABCQ-A】B]Ci的内切球，则

平面AC。1截球。的截面面积为（

2.如图，已知球。是棱长为1的正方体4BCD-4当好劣的内切球，令

则平面AC。1截球。的截面面积为（

3.正方体48。。-&816。1的棱长为1,P为BC的中点，Q为线段CG上的动点，过点A,P,Q的平

面截该正方体所得的截面记为S,则下列结论错误的是（）

A.当0<CQ<；时，S为四边形B.当[<CQ<1时，S为六边形

C.当CQ=1时，S的面积为渔D.当CQ号时，S为等腰梯形

如图两个同心球，球心均为点O,其中大球与小球的表面积之比为

3：1,线段AB与C/）是夹在两个球体之间的内弦，其中A、C两

点在小球上，8、。两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当

四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直线AO与8c的夹

角为。，贝Using=（）

B.立

C.叵

6

D.延

33

5.长方、堑堵、阳马、鳖腌这些名词出自中国古代数学名著仇章算术•商功少，其中阳马和鳖腌

是我国古代对一些特殊锥体的称呼.取一长方，如图长方体4BC0-4B1GD1，按平面4BG5

斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的

棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥A-ABC。称

为阳马，余下的三棱锥。1-BCC2是由四个直角三角形组成的四面体称为燕螃，已知长方体

ABCD-A^^D^AB=2,BC=3,AAr=4,按以上操作得到阳马，则该阳马的最长棱长

6.将边长为5的菱形ABCQ沿对角线AC折起，顶点B移动至处，在以点A,C,。为顶

点的四面体力B'CD中，棱AC、B'D的中点分别为E、F,若4c=6,且四面体AB'CD的外

接球球心落在四面体内部，则线段E尸长度的取值范围为（）

A.殍,2⑹B.殍,4）C.（但2遍）D.（V3.4）

7.AABC是边长为2的等边三角形，M为4c的中点.将△力BM沿BMAP

折起到APBM的位置，当三棱锥P-BCM体积最大时，三棱锥P-7c

BCM外接球的表面积为/

A.n/

B.37r

C.57r

D.7n

8.已知三棱锥P—ABC满足PA=PB=PC=AB=2,ACIBC,则该三棱锥外接球的体积为（）

A.|^V37TB.C.-V37TD.-n

27393

9.三棱锥P-ABC中，PA1底面ABC,△ABC中ZB=AC,BC=2,BC边上的高为2,且P4=1,

则该三棱锥的外接球的表面积是（）

A.—4B.—4C.97rD.57r

10.在三棱锥P-4BC中，PA=PB=PC=2V3,AC1BC,直线PC与平面ABC成60。角，则三棱

锥P-ABC的外接球的体积为

A等B.等C.等D.等

11.若正三棱柱既有内切球，又有外接球，则内切球与外接球的表面积之比为

A.1:3B,1:4C.1:5D.1:6

12.己知直四棱柱4BC0-的底面A8CD为矩形，=2W，且该棱柱外接球。的表面

积为20兀，E为线段AB上一点.则当该四棱柱的体积取最大值时，5E+CE的最小值为（）

A.6B.V5+V17C.2V5+2D.2^10

二、多项选择题（本大题共3小题，共12.0分）

13.如图，在四面体A8CO中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中,

正确的为（）

A.AC1BD

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.异面直线PM与B力所成的角为45。

14.如图所示，在正方体4BCD-41B1GD1中，棱长为1,点P为线段41c

上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（）

A.当砧=3五户时，。小〃平面8。的

B.当中=3中时，&C1平面D4P

C.乙4P£>i的最大值为90。

D.4P+PD］的最小值为平

15.如图，点。是正四面体P-ABC底面ABC的中心，过点。的直p

线交AC,BC于点M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱

PA的延长线相交于点。，与棱尸3的延长线相交于点/?,贝女）

A.若MN〃平面PAB,则4B//RQ

B.存在点S与直线使PC_L平面SRQ

C.存在点S与直线M,使R.（由+PR）=0

一3+上-+上-是常数

D.|PQIIPRIIPS^E"

三、填空题（本大题共U小题，共55.0分）

16.正方体4孔。一力/1的。1中,E是棱的中点，尸是侧面CDCiG上的动点，且&F〃平面&BE,

记名与尸的轨迹构成的平面为a.

@3F,使得B/lCDi

②直线BiF与直线BC所成角的正切值的取值范围是［彳,今

③a与平面CDDiG所成锐二面角的正切值为2e

④正方体力BCD-48165的各个侧面中，与a所成的锐二面角相等的侧面共四个.其中正确

命题的序号是.（写出所有正确的命题序号）

17.正方体4BCD-4/165棱长为3,点E在边BC上，且满足BE=2EC,动点M在正方体表面

上运动，并且总保持MEIS5,则动点M的轨迹的周长为.

18.在四面体4-BCD中，AB=5,BC=CD=3,DB=2®AC=4,乙4co=60。，则该四面

体的外接球的表面积为.

19.下列说法中正确的是（填序号）

①圆柱的母线与轴垂直；

②棱台侧棱延长后都交于一点；

③梯形是平面图形：

④若直线I"平面a，直线mu平面a，地直线I与直线m平行。

20.下列关于简单几何体的说法中正确的是（）

①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③有两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

④空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面.

21.如图，在矩形4BC。中，BC=24B=2,N为BC的中点，将△4BN沿AN翻折成△为秘⑸任平

面4BCD）,M为线段当。的中点，则在AABN翻折过程中，给出以下四个结论：

①与平面々AN垂直的直线必与直线CM垂直；

②线段CM的长为今

③异面直线CM与NB］所成角的正切值为产；

④当三棱锥。-ANBi的体积最大时，三棱锥D-ANBi外接球的表面积是47r.

其中正确结论的序号是.（请写出所有正确结论的序号）

22.已知三棱锥4-BCD中，AB=CD=2V13.BC=AD=同，AC=BD=同,则三棱锥4一BCD

的外接球的表面积为.

23.在棱长为1的透明密闭的正方形容器4BC0-48道1。1中，装有容器总体积一半的水(不计容器

壁的厚度)，将该正方体容器绕BA旋转，并始终保持BQ】所在直线与水平平面平行，则在旋转

过程中容器中水的水面面积的最大值为.

24.(1)已知直线k：ax+y—1=0,直线"：x—y—3=0,若k则。=；若及〃％，则

两平行直线间的距离为.

(2)在空间直角坐标系中，&是点4(-4,3,1)关于y轴的对称点，则①点坐标为,

=-------------

(3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为,该几何体的表面积为

侑视图

(4)己知抛物线y2=轨的焦点为扛过焦点的直线与抛物线交于A,B两点，用+9|BF|最小

值为,此时直线的斜率为.

(5)四面体ABCD中，各棱相等，M是CQ的中点，则直线与平面A8C所成角的正弦值为

(6)已知双曲线［一1=1(£1>0/>0)的左、右焦点分别为&,尸2,若双曲线上存在点尸使

/-PF2F1=120°,则离心率的取值范围是.

(7)已知尸为椭圆：+==1上一个动点，4(-2,1),8(2,-1),设直线AP和BP分别与直线久=4

82

交于M、N两点，若AABP与△MNP的面积相等，则|0P|的值为.

25.三棱锥P-HBC中，平面P2B1平面ABC,△PAB和△ABC均为边长为2百的等边三角形，若三棱

锥P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，求该球的表面积.

26.三棱锥的四个面中，直角三角形个数最多有个

四、多空题(本大题共1小题，共4.0分)

27.已知正方体4BCD-4当6。1的棱长为1,动点P在正方体的表面

上运动，且与点A的距离为度.动点P的集合形成一条曲线，这条

3

曲线在平面COD1G上部分的形状是整条曲线的周长

是

五、解答题(本大题共3小题，共36.0分)

28.(1)给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一

块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，

分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；

(2)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

(3)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与

给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明.

图1图2图3

29.如图所示的△。力B绕x轴和y轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体,

分别计算其表面积.

30.如图，在四棱锥P-ABCD中，P4L^ABCD,AB//CD,ABA.AD,PA=AB,AB=2,AD=y/2,

CD=1.

(1)证明：BD1PC；

(2)求二面角力-PC-。的余弦值;

(3)设。为线段尸力上的点，且器=|，求直线AQ和平面PAC所成角的正弦值。

【答案与解析】

1.答案：D

解析：

本题主要考查正方体的内切球的问题，属于中档题.

先求出截面圆的半径，然后求出答案.

解：设截面圆的半径为，，且球。的半径为R=T，

所以点0到平面4CD1的距离为一3x遮,二R2=r2+今r2=

所以截面圆的面积为£

故选。.

2.答案：A

解析:

根据正方体和球的结构特征，判断出平面AC/是正三角形，求出它

的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积.

本题考查了正方体和它的内接球的结构特征，关键是想象出截面图

的形状，考查了空间想象能力.

解：根据题意知，平面力CD】是边长为近的正三角形，故所求截面的

面积是该正三角形的内切圆的面积,

则由图得，△4C以内切圆的半径是立xtan30o=在

26

则所求的截面圆的面积是兀吗

故选：A.

3.答案：B

解析：

本题考查正方体的截面，关键是利用正方体的结构特征确定截面的顶点，是中档题.

延长4P交。C延长线于点例，延长MQ与DDi相交，当交点在线段DDi上时，截面为四边形，当交

点在DDi的延长线上时，截面为五边形，从而可判断答案.

解：如图，延长AP交OC延长线于点M,

当CQ=：时，连接此时M,Q,Di三点共线,

故截面S即为四边形4PQ5，

因为P，Q分别为BC,CC］的中点，

所以PQ〃BC、〃AD\,D1Q=AP=^，

故四边形ZPQDI为等腰梯形，故。正确；

当0<CQ<；时，延长MQ交于点G,连接AG,PQ,

此时点G在线段。么上，故截面S为四边形4PQG,故A正确；

当：<CQ<1时，延长MQ交的延长线于点N,交GA于点E,

连接4N交于点“，连接E"，此时截面S为五边形APQE”，故B错误;

当CQ=1时，。与点G重合，取45的中点F,连接力凡FCi，PCi，

此时4P=AF=FG=PC1=y，

截面S为菱形4PGF,其对角线4Q=b,PF=近，

所以S的面积为Lx疗x&=逅,故C正确；

22

故选民

4.答案：A

解析:

本题考查了几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属中档题.

首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为LV3,内切球和外接球的表面积之比为1：3,符合

题意中的小球和大球的比例.判断当四面体4BCD体积最大时，AB,CO的位置关系，作出异面直

线AC,BC所成的角0,解直角三角形求得sin会

解：设正方体的边长为2,则其内切球半径为1,外接球的半径为座H”=6,

2

••・内切球和外接球的表面积之比为1：3,符合题意中的小球和大球的比例，

依题意CD,A8最长为J（遍尸_/=a,AC最长为小球的直径2.

•••三角形的面积S=9ab-sinC,若a,b为定值，则C=］时面积取得最大值.

画出图象如下图所示，其中A,C分别是所在正方形的中心，

O是正方体内切球与外接球的球心，CD//ADX,CD=ADi,CBJ/AB,CB〔=AB.

=

^A-BCD3^ABD1-CB1D=&-SA.BD1•4C,故此时四面体4—BCD的体积最大.

•••CE//AB,CE=AB,.•.四边形ABCE为平行四边形，

8C〃4E,二NZME是异面直线BC和AO所成角，

"AD=AE,设G是0E的中点，则AG1DE,

|=NG4E,sin”GE11x/6

AE~V22+l2+l2一病—6

故选：A.

5.答案：C

解析:

本题考查由同一个长方体得到的阳马最长棱长问题，由题意可得阳马的最长棱为体对角线可得答案.

解：由题意可得阳马的最长棱长为BO1,

+32+42=V29.

故选c

6.答案：B

解析：

本题考查了棱锥外接球问题，属于难题.

由题意可知AC1平面B'ED,根据外接球到棱锥顶点距离相等，球心。落在线段EF上，结合题意可

OE<EF<EB',即可求解EF长度范围.

解：如图

显然AC_L8'E,BLAC1DE,B'ECDE=E,B'E、OEu平面夕E。,

；•AC1平面9ED,

：E是4c的中点，

二到点A,C的距离相等的点位于平面B'ED内，

同理可知，到点夕，。的距离相等的点位于平面AC尸内，

•••球心。到点A,B',C,。的距离都相等，

球心。位于平面B'ED与平面AC尸的交线上，即直线E尸上，

二依题意可知，球心。落在线段EF上(不含端点E、F),显然EFIB'D,

易知EA=3,EB'=4,则。A?=0E2+9,

且。8'2=OF2+FB'2=OF2+EB'2-EF2

=(EF-0E)2+16-EF2

=OE2+16-2EFOE,

■：OA=OB',

OE2+9=OE2+16-2EF-OE,

OE=—,

2EF

显然OE<EF,白<EF,即EF>姮，

2EF2

又EF<EB'=4,

—<EF<4，

2

故应选3.

7.答案：C

解析：

本题考查棱锥的结构特征，球的表面积的求法，考查构造法、长方体的外接球等基础知识，考查化

归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力，是中档题

当平面PMB1平面BCM时，三棱锥P-BCM体积最大，此时MP,BM,CM两两互相垂直，以MP,

BM,CM为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P-BCM的外接球，由此能求出此三棱锥

的外接球的表面积.

解：通过几何分析可知，当平面PMBL平面BCM时，三棱锥P-8CM体积最大，

此时MP,BM,CM两两互相垂直，

MP——1,BM=V3，CM—1

以MP,BM,CM为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P-BCM的外接球，

此三棱锥的外接球半径R=回亘=叵,

22

•・・此三棱锥的外接球的表面积S:4TTX5TT-

故选C.

8.答案：A

解析：

本题考查空间几何体的结构特征，考查球的体积公式，属中档题.

依题意，根据几何体的结构特征，得APAB外接圆的半径为球的半径,

由APAB为正三角形，边长为2,求得球的半径为出，进而求得结果.

3

解：因为P4=PB=PC=4B=2,AC1BC,

得APAB为正三角形，△ABC为直角三角形，

顶点尸在底面的射影为Rt△4BC的外心即斜边AB的中点E.

即PEL平面且PE经过球心，所以过PAB的截面为球的大圆,

即APHB外接圆的半径为球的半径，又APAB为正三角形，边长为2,

所以外接圆的半径为一一=壁，即球的半径为出，

2sin60033

三棱锥外接球的体积为：7TX/，

3\3)27

故选4.

9.答案：A

解析：

本题考查了三棱锥的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥外接球的性质，正弦定理和余弦定

理的应用，属于中档题.

取8C的中点例，则力MLBC,△力BC的外接圆的圆心记为01，则01在直线AM上，记4。1=r,取

P4的中点为“，连接。“，0。1，则。为三棱锥P-ABC外接球的球心，连0B,记。B=R,结合

正弦定理和余弦定理即可求解.

解：AB=AC,BC=2,BC边上的高为2,

取BC的中点M,贝以1M1BC,即AM=2,MC=MB=1,

得4B=4C=6，

△4BC的外接圆的圆心记为。「则。1在直线AM上，记40i=r,

取PA的中点为H,连接0H,。。［,则0为三棱锥P-4BC外接球的球心，连0B,记OB=R,

如图所示：

由余弦定理得,

5+5-43

cosZ.BAC=

2Xyf5X\/59

在△力BC中，sin^BAC=-,

,c8c25

由正弦定理得，2r==7=2,

5

得401=r=|,

则BO】=AO1=

在直角三角形001B中，

*呼+以建，

则该三棱锥的外接球的表面积是4兀炉=4兀x雪=冬.

164

故选A.

10.答案：A

解析：

本题考查三棱锥及其结构特征，考查三棱锥外接球的体积的求法，属于中档题.

作图，取AB中点连接根据AC1BC知AM=BM=CM,由已知条件可得^PAM,APBM,

△PCM全等，即可得到"MA=4PMB=4PMC,进而得解PM_L平面ABC,球心。在PM上，Z.PCM

是PC与平面ABC所成的角，Z.PCM=60°,求出CM=U，PM=3,即可得到外接球的半径R,

再根据球的体积公式即可得解.

R=2,所以V=（兀&=子.

解：取AB中点M,连接PM,CM,

由4c1BC知AM=BM=CM,

vPA=PB=PC,

/.△PAM,APBM,△PCM全等，

・•・4PMA=EPMB=乙PMC,

・・・Z.PMA+乙PMB=180°,

••.PM_L平面ABC球心。在PM上，NPCM是尸。与平面

ABC所成的角，z_PCM=60°,

VPC=2V3,

CM=V3,PM=3,

•••所以外接球的半径R2=(3—卜产+3,

・•・R=2,

所以V=［兀R3=等.

IL答案：C

解析：

本题考查正三柱的结构特征，以及球的表面积，属于中档题.

设内切球的半径为1,求出内切球与外接球的表面积，即可得到答案.

解：设内切球的半径为1,则它在底面的投影为底面正三角形的内切圆，半径也为1,

底面正三角形的高为3,边长为2g,三棱柱的高为2,外接球半径为万存=遍，

二表面积之比为1:5.

12.答案：D

解析：

本题考查直棱柱的结构特征，体积和基本量的计算及外接球的表面积，考查了基本不等式的应用，

属于中档题.

首先求得外接球的半径，再设出矩形的长，宽分别为x,y,根据外接球的直径就是直四棱柱

的对角线长，得到/+>2=8,进而由基本不等式得到个的最大值，即可得到体积的最大值.

解：设外接球。的半径为R,则球。的表面积SITTR2，

由题意，』TTR220TT）解得R=花，

设矩形48CZ）的长，宽分别为x,»

则+y2+12=（2V5）2，即/+y2=8,

・♦・直四棱柱的体积为U=2\p3xy<V3（x2+y2）=8\/3，当且仅当x=y=2时取等号，

即底面为边长为2的正方形时，四棱柱的体积最大，

将平面438沿AB展开，与ABC15处于同一平面，

则DiE+EC2Z\C=JCCJ+G。/=2同・

故选。.

13.答案：ABD

解析：

本题主要考查线面平行的性质与判定、异面直线所成角、线线位置关系，属基础题.

首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移

到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断.

解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ〃MN、QM//PN,

"PQ<4平面ACD,MNu平面ACD,

则PQ〃平面ACD,

同理可得QM〃平面BDA,

•••PQu平面A3C,平面4BCC平面AC。=4C,

故PQ〃4C,同理QM〃BD,

由PQ1QM可得ACJ.BD,故A正确；

由PQ〃/IC,PQu截面PQMN,ACC截面PQMN,

AC〃截面PQMN,故8正确；

异面直线PM与8。所成的角等于PM与QM所成的角（或其补角），故。正确：

•••BD//PN,PQ//AC.

.”_4NMN_DN_

"BD-AD'AC-AD'

而当4NRON时，由PN=MN,知BO力4C,

故C错误.

故选ABD.

14.答案：ABD

解析：

本题考查了正方体的几何特征，空间线面位置关系的判定，属于中档题.

利用三棱锥的体积可知当#3Mp时，P为4c与平面A&Di的交点，根据平面

48/1〃平面BD。1可判断A,根据4停1平面AB］。1可判断8,根据等边三角形ABiA可判断C,根

据Rt△AxAC=Rt△40道可判断D.

解：连接AB1,B也,AD1,

则Ei出4=；x"x「：，

SMBIC=|XV2xV2Xsin60°=AXC=V3>

设&到平面的距离为h,则工x理xh=匕

326

解得九=立，.♦.九=：必仁

3J

;当笳=：病了时，P为&C与平面48山1的交点.①

•.•平面ABiDi〃平面BDG，Z\Pu平面力为D1，

•••0』〃平面BCG，故A正确；

由①可知Pe平面4%。1，

•••4停1平面281。1，;4也1平面。遇「，故B正确；

可知当笳3A了时，尸为等边△力B1D1的中心，

z/lPDj=120°,故C错误；

连接AC,DC贝三Rt^AiOiC,AP=DTP,

.­•AP的最小值为笥券=乎，;AP+PDi的最小值为芈故。正确.

故选：ABD.

15.答案：ABD

解析：

本题考查正四面体的结构特征，线面平行的性质定理，线面垂直的判定与性质，空间向量的线性运

算和数量积，空间向量基本定理的应用，属较难题.

利用线面平行的性质定理判断4利用线面垂直的判定定理判断8和C;利用空间向量的基本定理的

推论中的四点共面的充要条件证明D.

解：对于4

MN//平面PAB,MNu平面4BC,平面ABCn平面P4B=AB,MN//AB,

同理，MNu平面SMN,平面SMNCI平面P4B=RQ,二MN〃RQ,二4B〃RQ,故A正确；

对于B:

设O在直线PC上的射影（垂足）为S,并设在底面内MN10C,则•••P。J_底面ABC,MNu平面ABC,

•••POA.MN,又•.•MN1C。，POCCO=0,P。u平面PCO,COu平面PCO,•••MNJ_平面PCO,

MN1PC,XvOS1PC,MNHOS=0,MNu平面SMN,OSu平面SMN,PC1平面SMM

故8正确；

对于C:

由于。为正三角形48c的垂心，C。1AB,XvPO1AB,POnCO=0,POu平面尸CO,COu平

面PCO,

AB1平面尸。C,AB1PC,若是存在点S与直线MN,使西.（丽+而）=0,取RQ的中点X,

则两-2两=0,••.PSJ.PX,即PCIPX,结合PCIAB,PX,4B是平面P4B中的两条相交直线，

.•・PC1平面PA8,但正四面体中，C在平面PAB中的射影是三角形PA8的中心，不可能是P,故矛

盾，故C不正确；

对于。：

设正四面体的棱长为“，丫。为△ABC的重心，

PO=|(M+PB+PC)

_1f\PA\PQ画•乐\PC\PS\_a/PQ_P£_PS\

—3\\PQ\|PR||PS|73l同十两十两1，

・•・。在平面QRS中，且所，而，可为不共面的三个向量，

■aaa_]

••3|砌十3|函十3|网—'

高+高+高7为常数，故口正确•

综上，选ABD.

16.答案：①②③④

解析：

本题考查简单多面体及其结构特征，空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成角，二面角的概

念，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于综合题.

由题意，结合图形利用异面直线所成角，二面角的概念和性质对每个小命题逐一判断即可.

解：如图,

取OC的中点M,连接BM,EM,则EM〃&B,平面&BE即为平面&BME,

取DiG的中点G,GC的中点“，连接G”，B]G,BiH,则GH〃EM,

又GH仁平面AiBME,EMu平面&BME,

故GH〃平面AiBME,

连接E”，易得EH44iBi，四边形&EHB1为平行四边形，

B\H"A\E,同理可证当“〃平面&BME,

又GHCB]H=H,GH、/"u平面8传”，

平面为8ME〃平面&GH,

故当点F在G”上时，B/u平面B]GH,此时B]F〃平面力1BE,

•••点F的轨迹为线段GH,平面a为平面81GH,

取GH的中点为N,连接&N、GN,

对于①，=GH//CDX,.•.当点尸为GH的中点N时，/F_LGH,•••当尸1CZ\,故①正

确；

对于②，•••二直线8/与直线8c所成角即为直线8/与直线BiG所成角，

不妨设正方体的棱长为2,则Ci"=CiG=l,C[N=与,B]H=B1G=乘,B1N=学,

三L

B]C£+GN?=B[N'2,二4B[C]N=90°,tan乙gB^N=C'N=—=—>

11

BxCr24

在RMBiC1”中，tanz.CiB1H=

故直线8]F与直线&Ci所成角的正切值的取值范围是[彳,刍，故②正确；

对于③，由上可得4GNB1是a与平面CDDiG所成锐二面角的平面角，

在RMBiGN中，tan/GNBi=^=£=2&,故③正确；

2

对于④，在三棱锥G—BiGH中，侧面G&H,侧面G&G与底面&G//所成角相等，

侧面GGH与底面B]GH所成角不同于另外两个侧面与底面所成角，故正方体ABCO-&B1C1D1的各

个侧面中，与a所成的锐二面角相等的侧面共四个，故④正确.

故答案为①②③④.

17.答案:6A/2

解析：

本题考查了棱柱的结构特征，线面垂直的判定，属于中档题.

在48,B当上分别取点P,Q,使得BP=2P4BQ=2QBr则M的轨迹为APEQ,求出APEQ周

长即可.

解：由正方体的特点可知BDi1平面力CBi，

在AB,BBi上分别取点P,Q,使得BP=2PA,BQ=2QB、,

连接尸E,PQ,EQ,则PE//4C,EQZ/ByC,

XvACu平面48传，PE仁平面ABC

BiCu平面ABiC,QEC平面4BiC,

PE〃平面ABCEQ〃平面ABC

又•；PECEQ=E,PEu平面PEQ,EQu平面PEQ,

••・平面4B1C〃平面PEQ,

：.BO11平面PEQ,

：.M的轨迹为4PEQ,

•••正方体棱长为3,

AC=3^2，

PE=|AC=2>/2,

•••△PEQ的周长为3PE=6A/2.

故答案为6A/5.

18.答案：257r

解析：

本题主要考查了四面体的结构特征，四面体外接球表面积的求法，涉及余弦定理以及勾股定理知识

的运用，考查了空间想象能力，属于中档题.

2222

由已知4B2=BC+AC,利用余弦定理得AD,得AB2=BD+AD,确定四面体外接球的直径为

AB,即可计算球的表面积.

解：AB=5,BC=3,AC=4,

AB2=BC2+AC2,

ABC1AC,

在4ACD^CD=3,AC=4,AACD=60。，

由余弦定理得4。2=42+32-24cos60°=13,

又BD=2V3.所以AB?=BD2+AD2,

BD1AD,

•••4B是两个圆的直径，

是四面体4-的外接球的直径，

2R=5,即R=g,

.♦.该四面体的外接球的表面积为S=4TT/?2=257r.

故答案为257r.

19.答案：②③

解析：

本题考查圆柱、棱台的定义性质及一些相关概念的理解，空间中直线与直线的位置关系，属于基础

题目，逐项判断即可；

解：①圆柱的母线与轴平行；故①错误；

②棱台侧棱延长后都交于一点；正确；

③梯形是平面图形；正确

若直线I//平面a,直线mu平面a,则直级与直线m平行或异面。故错误；

故答案为②③

20.答案：④

解析：

本题考查了棱柱、棱锥、棱台、球的结构特征，属于中档题，准确理解几何体的定义是真正把握几

何体结构特征的关键，直接利用棱柱、棱锥、棱台、球的结构特征逐一核对四个结论得答案.

解：①符合棱柱的结构特征，可取一个简单的组合体说明错误，如下面是一个正三棱柱，上面是一

个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱，故①错误;

②棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故②错误;

③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，若侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体

不是棱台，故③错误;

④在空间中，满足到定点的距离等于定长的所有点的集合为球面，故④正确;

故答案为④.

21.答案：①②④

解析:

本题考查翻折过程中点线面的位置关系，相关角度，长度，球的表面积的计算，考查空间想象能力

与运算能力，属于中档题.

①CM〃平面Bp4N,则可判断；②通过线段相等CM=NE,可求出线段NE的长即可；③异面直线

CM与NB］所成角为ZENG，求出其tan/ENB］即可；④找出球心，求出半径即可.

解：取A名的中点E,A。的中点F,连接EM,EN,FBX,FN,

贝ijEM//力D,EM=^AD,又NC"AD,NC=^AD,

则EM〃NC,EM=NC,则四边形EMCN为平行四边形，

故CM//EN,

又CM仁平面B14N,后/7<3平面8遇从

故CM〃平面B/N,

则与平面SAN垂直的直线必与直线CM垂直，故①正确;

CM=NE=JB1N2+Bp=故②正确；

乙ENBi即为异面直线CM与NBi所成的角(或其补角)，

tan"N&=^=：,故③错误；

当平面/AN1平面ANQ时，三棱锥D-ANBi的体积最大，

•:ABLNB、,取AN中点。，则B1014N,

•••平面BiANn平面AND=AN,Br0u平面&AN,

则Bi。JL平面AND,FOu平面AND,

则Bi。1FO,计算得Bi。=F。=率则F&=1,

此时凡4=FD=FN=FB[=1,显然F为三棱锥位-AND外接球球心，

且R=F4=1,三棱锥。一川VB1外接球表面积是4乃，故④正确.

其中正确结论的序号是①②④.

故答案为①②④.

22.答案:777r

解析：

本题考查球的表面积、球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是构造

球的内接长方体，利用体对角线的长为球的直径解决问题，属于基础题.

三棱锥力-BCD的四个面两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，体对角线的长为球的直

径，然后解答即可.

解：三棱锥A-BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，

且此长方体的面对角线的长分别为：2尺,V41.闹，

又•••体对角线的长为球的直径，d=(52+41+61)=V77.

;它的外接球半径是且，

2

外接球的表面积是S=4nR2=77it,

故答案为777r.

23.答案：V2

解析:

本题主要考查等价转化的数学思想，空间向量的应用，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转

化能力和计算求解能力.

设点E在AB】上，点尸在CD上，满足&E=CF,则原问题等价于求解四边形BFD/的最大值.建立空间

直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值.

解：如图所示，在棱长为1的正方体中，

点E在上，点F在CD上，满足4/=CF,

则原问题等价于求解四边形BFD/的最大值.

作于点G,当EG最大时，四边形BF%E有最大值.

建立如图所示的空间直角坐标系，

设E(m,O,l)(O<m<1),设G(x,y,z),

由于B(1,O,OM1(O,1,1),由前=4两可得:

/X——4+1

(X-l,y,z)=2(-1,1,1),则：Iy=A,

\z=A

故G(-4+1,A,A),

故：GE=+M=(一1,1，1)，

,-,-1•/日.2-m1+m

由GE-BA=—+l—2+1—4=0，可得：入=^―,1-4=^―.

辽1/m+1\7/2-m\/2-m”1(-----,------------

故：阳=卜一£2+?+(亍_邛=§.0时_m+1),

结合二次函数的性质可知：当m=0或m=l时，GE取得最大值，

S=S

此时S取得最大值，最大值为：maxBDD1BA=A

24.答案：(1)1;2企

(2)(43-1);2g

5百「

(3)—;12+V3

(4)16;±V3

V2

⑸可

(6)(1,2)

V107

⑺丁

解析：

(1)本题考查了两条直线平行和垂直的条件应用.根据直线的一般式方程，得到结果.

解：lr:axy—1=0,直线-y-3=0,

•・•若匕_LZ2,

・，・a+1x(—1)=0,

・•・a=1;

••喏

a1,-1

二彳=二K?

・•・a=—1,

：•Zx:-%4-y-1=0,

即：x-y+1=0,

两平行线间距离：d=噌=2或，

V2

故答案为1;2班.

(2)本题考查了空间直角坐标系中点坐标的应用，以及空间两点间距离公式的应用.

解：••・依题意：①是点4(-4,3,1)关于y轴的对称点，

22

\AAr\—>/8+0+2—V68=2V17.

故答案为(4,3,-1);2g.

(3)本题考查了立体几何的三视图的应用，以及组合体的体积，三棱柱、三棱锥的体积公式的应用,

组合体的表面积.

解：・•・根据三视图可得：三棱柱，上部截去一个小三棱锥而形成的组合体.

•••K=ix2xV3x2-ix-x2xV3xl,

232

56

=-----:

3

S.长面积=—x2xy/34~2x—x(14-2)x24--x2x2-f-2x2,

=12+V3.

故答案为W；12+百.

(4)本题考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，以及基本不等式求最值的应用.

解：•••设|AF|=m,|BF|=n,

.一+」=1,

mnp'

A\AF\+9\BF\=m+9n,

=(m+9n)©+J

=10+-n+—m,

“、t°+,r2人Im了9n=1y6,，

当且仅当£=某时，即：6=4,九=券寸，等号成立,

\AF\+|BF|的最小值为16；

♦.•不妨取|AF|=4,

•••4点横坐标为3,

・•.纵坐标为±2旧，

kAF七瓜

・••直线的斜率为土魂.

故答案为16;+V3.

(5)本题考查了线面夹角，正四面体的结构特征.

解：•••过M点作MML面ABC,

N是正448C的中心,

・・•设正四面体的棱长为〃,

.・.MN=——。，

6

展a厂

.•.在RtAMNB中，sin(zMBN)=器=量=等，

2

.••直线BM与平面ABC所成角的正弦值为匹.

3

故答案为五.

3

(6)本题考查了双曲线的特征，以及余弦定理的应用，根据双曲线的性质，得到离心率.

・

解：••依题意，zPF2Fi=120°,

・・・P点位于双曲线的右支上，

・,・设P点坐标(XoJo),

\PF1\=ex0+a,\PF2\=ex。-a,

・22

依余弦定理：(ex0+a)2=(ex0-a)+4c-2(ex0-a)-2c-cosl20°,

2222222

:.ex04-2aex0+a=ex0-2aex04-a+4c+2cex0-Zac,

・・2

•4aexQ—2cexQ=4c—2ac,

4c2-2ac

"X°=4ae-2ce'

yx0>a,e>1,

A1<e<2.

故答案为(1,2).

(7)本题考查了椭圆的标准方程，三角形面积公式的应用.

解：设P点坐标Qo，yo)，

•••椭圆5+5=1,4(-2,1),e(2,-l),

82

；・A,8两点在椭圆上，且关于原点对称,

，：^AABP=S〃MNP，

qPA.PBsinUPB=VM.PNsiMMPN,

空=

PM

w

一-

一

一2

所

=乌

yo4

25.答案：207r

解析：

本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查推理能力和计算能力，属于中档题.

求出外接球的半径即可求得其表面积.

解：由题意可知，设AABC和△P4B的外接圆的半径为万.2，

外接圆圆心分别为。1，。2,三棱锥P-A8C的外接球球心为0,

则2/,i2/'>=-2^^4>r[=七=2，

*

取AB的中点”，连接P4,HC,

因为平面PA3,平面ABC,

平面PABn平面4BC=AB,

PHLAB,

易得PH，平面ABC,HCu平面ABC,

所以PH1HC,

易得四边形。2“。1。为正方形，

02H=。1“=0。1=1,AH=V3,

222

R=AO=AH+0担2+。]。2=5,R=衣,

所以球的表面积为S=