初中数学试题大全（六十六）圆难题

66初中数学组卷：圆难题

一.选择题（共10小题）

1.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半

径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半

圆，则阴影部分面积为（）

2.如图，正方形ABCD的边AB=1,俞和筱都是以1为半径的圆弧，则无阴影两

部分的面积之差是（）

3.如图，AC是矩形ABCD的对角线，O0是4ABC的内切圆，现将矩形ABCD

按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG.点F,G分别在边AD,

BC上，连结OG,DG.若OGLDG,且。。的半径长为1,则下列结论不成立的

A.CD+DF=4B.CD-DF=2V5-3C.BC+AB=2后4D.BC-AB=2

4.如图，半径为3的。。内有一点A,0人=病，点P在。O上，当NOPA最大时,

PA的长等于（)

5.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30。，得正方形ABiQDi,BiJ交CD

于点E,AB=近，则四边形ABiED的内切圆半径为（）

A加+1B33c我+1D3y

'2'2'3'3

6.如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3,4）,与坐标轴正半轴相交于A,

B两点，当^AOB的面积最小时，^AOB的内切圆的半径是（）

A.2B.3.5C.I4-7&D.4

2

7.如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是余的中点,

点P是半径ON上的点.若。O的半径为I,则AP+BP的最小值为（)

A.2B.,眄C.A/3D.-

2

8.如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的

周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）

9.如图，AB为半圆。的直径，（：是半圆上一点，且NCOA=60。，设扇形AOC、

△COB、弓形BmC的面积为S1、S2.S3,则它们之间的关系是（）

A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S1<S3<S2D.S3Vs2Vsi

10.如图，AB为半圆。在直径，AD、BC分别切。。于A、B两点，CD切。。于

2

点E,连接OD、0C,下列结论：①NDOC=90°,②AD+BC=CD,③S^AOD：SABOC=AD：

A02,④OD：OC=DE：EC,⑤0D2=DE・CD,正确的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

二.填空题（共10小题）

11.如图，AB是。0的直径，点C是。0上的一点，若BC=6,AB=10,OD±BC

12.如图，。0的半径是2,直线I与。0相交于A、B两点，M、N是。。上的

两个动点，且在直线I的异侧，若NAMB=45。，则四边形MANB面积的最大值

13.如图，直线I：y=-Lx+l与坐标轴交于A,B两点，点M(m,0)是x轴上

2

一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作OM,当。M与直线I相切时，

则m的值为.

14.如图，在口ABCD中，AD=2,AB=4,NA=30。，以点A为圆心，AD的长为半

径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是(结果保留Ti).

DC

AEB

15.如图，已知。。的直径AB=6,E、F为AB的三等分点，M、N为第上两点,

且NMEB=NNFB=60°,则EM+FN=.

16.如图，AB是。O的一条弦，点C是。O上一动点，且NACB=30。，点E、F

分别是AC、BC的中点，直线EF与。。交于G、H两点.若。。的半径为7,则

GE+FH的最大值为

17.如图，以点P(2,0)为圆心，我为半径作圆，点M(a,b)是。P上的一

点，则卜的最大值是

a

18.如图，在RtZ\AOB中，OA=OB=3&,。。的半径为1,点P是AB边上的动

点，过点P作。0的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为

19.如图，AB是。。的直径，且经过弦CD的中点H,过CD延长线上一点E作

。。的切线，切点为F.若NACF=65。，则NE=.

20.如图，在矩形ABCD中，AD=8,E是边AB上一点，MAE=1AB.。。经过点

4

E,与边CD所在直线相切于点G(NGEB为锐角)，与边AB所在直线交于另一点

F,且EG：EF=代:2.当边AD或BC所在的直线与。。相切时，AB的长是.

三.解答题(共10小题)

21.如图，在Rt^ABC中，ZA=90°,。是BC边上一点，以。为圆心的半圆与

AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,

tan/BOD=Z.

3

(1)求。O的半径OD；

(2)求证：AE是。O的切线；

(3)求图中两部分阴影面积的和.

22.已知A,B,C,D是。O上的四个点.

(1)如图1,若NADC=NBCD=90。，AD=CD,求证：AC±BD；

23.如图，AB是。。的直径，弦CDLAB与点E,点P在。。上，Z1=ZC,

(1)求证：CB〃PD；

(2)若BC=3,sin/P=3,求。。的直径.

5

24.已知，如图，直线MN交。。于A,B两点，AC是直径，AD平分NCAM交

。。于D,过D作DELMN于E.

(1)求证：DE是。0的切线；

(2)若DE=6cm,AE=3cm,求。0的半径.

25.如图，已知BC是。O的弦，A是。。外一点，^ABC为正三角形，D为BC

的中点，M为。。上一点，并且NBMC=60。.

(1)求证：AB是。。的切线；

(2)若E,F分别是边AB,AC上的两个动点，且NEDF=12O。，的半径为2,

试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

26.如图，AB为。。的直径，P是BA延长线上一点，PC切。。于点C,CG是。

0的弦，CG±AB,垂足为D.

(1)求证：ZPCA=ZABC；

(2)过点A作AE〃PC,交。。于点E,交CD于点F,连接BE.若sin/P=3,

CF=5,求BE的长.

E

27.如图，在^ABC中，ZC=90°,NBAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE

，AD交AB于E,以AE为直径作。O.

(1)求证：点D在。。上；

(2)求证：BC是。O的切线；

(3)若AC=6,BC=8,求4BDE的面积.

28.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,NBAC的角平分线AD交BC边于D.以AB

上某一点。为圆心作。。，使。。经过点A和点D.

(1)判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=3,ZB=30".

①求。0的半径；

②设。。与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部

分的图形面积.(结果保留根号和TI)

29.如图，在^ABC中，AB=AC,以AC为直径作。。交BC于点D,过点D作。

。的切线，交AB于点E,交CA的延长线于点F.

(1)求证：FEXAB；

(2)当EF=6,里用时，求DE的长.

OF5

B

30.如图1,以aABC的边AB为直径的。。交边BC于点E,过点E作。。的切

线交AC于点D,且ED±AC.

(1)试判断^ABC的形状，并说明理由；

(2)如图2,若线段AB、DE的延长线交于点F,ZC=75°,CD=2-遮，求。O

的半径和BF的长.

66初中数学组卷：圆难题

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2015•梧州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为

圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、

ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（）

【分析】根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+ZXDMN的面积-

大半圆的面积，MN的半圆的直径，从而可知NMDN=90。，在RtAMDN中，由

勾股定理可知：MN2=MD2+DN2,从而可得到两个小半圆的面积=大半圆的面积，

故此阴影部分的面积=△DMN的面积，在Rt△AED中，

DE=VAD2+AE2=V62+32=3^,所以MN=6遥，然后利用三角形的面积公式求解

即可.

【解答】解：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+4DMN的面

积-大半圆的面积.

VMN是半圆的直径，

AZMDN=90°.

在《△MDN中,MN2=MD2+DN2,

・•.两个小半圆的面积=大半圆的面积.

阴影部分的面积=4口1\/^的面积.

在RtAAED中，DE=〃D2+AE2=后亲3泥,

阴影部分的面积=/iDMN的面积=£_MN,AD='X仅而乂6=18泥,

故选：B.

【点评】本题主要考查的是求不规则图形的面积，将不规则图形的面积转化为规

则图形的面积是解答此类问题的常用方法，发现阴影部分的面积=Z\DMN的面积

是解题的关键.

2.（2015•黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD的边AB=1,而和京都是以1

为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）

【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积

和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和-正方形的面积=无阴影两部分

的面积之差，即9°兀XIX2-1=工_].

3602

【解答】解：如图：

正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①

两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②

②-①，得：s3-s4=s扇形-S正方形=9。兀x1x2_i=2L_1.

3602

【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法.找

出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键.

3.（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，。0是4ABC的内切圆，现

将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点0重合，折痕为FG•点F,G

分别在边AD,BC上，连结OG,DG.若OGLDG,且。。的半径长为1,则下列

A.CD+DF=4B.CD-DF=275-3C.BC+AB=2后4D.BC-AB=2

【分析】设。0与BC的切点为M,连接M0并延长M0交AD于点N,证明△

OMG^AGCD,得至UOM=GC=1,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.设AB=a,BC=b,

AC=c,。。的半径为r,。。是Rt^ABC的内切圆可得r=L（a+b-c）,所以c=a+b

2

-2.在RtAABC中，利用勾股定理求得&2=1二打（舍去）'从而求

出a,b的值，所以BC+AB=2后4.再设DF=x,在Rt^ONF中，FN=3+夷-lr,

OF=x,ON=1+V3-1=V3>由勾股定理可得（2+J5-x）2+（相）2=*2,解得x=4f后，

从而得至UCD-DF=Vj+l-（4-对）=2对一3,CD+DF=Vj+l+4-如=5.即可解答.

【解答】解：如图，

设。0与BC的切点为M,连接M0并延长M0交AD于点N,

•..将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点0重合，折痕为FG,

.\OG=DG,

VOG±DG,

AZMGO+ZDGC=90°,

VZMOG+ZMGO=90°,

AZMOG=ZDGC,

在△OMG和AGCD中，

'NOMG=/DCG=90°

'ZMOG=ZDGC

QG=DG

/.△OMG^AGCD,

.,.OM=GC=1,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.

VAB=CD,

BC-AB=2.

设AB=a,BC=b,AC=c,。。的半径为r,

©0是RtAABC的内切圆可得r=l（a+b-c）,

2

/.c=a+b-2.

在RtAABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b-2）2,

整理得2ab-4a-4b+4=0,

又：BC-AB=2即b=2+a,代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0,

解得ai=lS，&2=1二巧（舍去）’

：.a=l+y/3,b=3+V5，

，BC+AB=2杼4.

再设DF=x,在RtaONF中，FN=3+V3-l-x-OF=x,ON=1+我-1=75，

由勾股定理可得（2+会-x）2+（我）2=*2，

解得x=4-y/3,

/.CD-DF=V3+1-（4-A/3）=2V3-3»CD+DF=V3+1+4-A/3=5.

综上只有选项A错误，

故选A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性

质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质.

4.（2014•乌鲁木齐）如图，半径为3的。O内有一点A,OA=g,点P在。0

上，当NOPA最大时，PA的长等于（）

。

A.V3B.'、£C.3D.2M

【分析】当PA_LOA时，ZOPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股

定理求PA的值即可.

【解答】解：如图所示：••PA、0P是定值，

.•.PALOA时，NOPA最大，

在直角三角形OPA中，OA=M，0P=3,

**,PA=7OP2-OA2=^,

【点评】本题考查了解直角三角形.解答此题的关键是找出"当PAXOA时，Z

OPA最大"这一隐含条件.

5.（2015•遵义）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°,得正方形ABiCiDi,

BiJ交CD于点E,AB=如,则四边形ABiED的内切圆半径为（）

A我+1B3』c返+1D33

'2-23'3

【分析】作NDAF与NABiG的角平分线交于点O,则0即为该圆的圆心，过0

作OFXABi，AB=«,再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形

内切圆的圆心.

【解答】解：作NDAF与NABiG的角平分线交于点0,过。作OF^ABi,

则NOAF=30°,ZABiO=45",

故BiF=OF=l-OA,

2

设BF=x,贝l]AF=«-x,

故（V3-x）2+x2=（2x）2,

解得x=-^+3或x="^-3（舍去），

22_

・•.四边形ABiED的内切圆半径为：~^+3.

2

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的性质，要熟练掌握正

方形的性质及直角三角形的性质，是解答此题的关键.

6.(2013•武汉模拟)如图，在直角坐标系中，直线AB经点P(3,4),与坐标

轴正半轴相交于A,B两点，当AAOB的面积最小时，^AOB的内切圆的半径是

()

【分析】设直线AB的解析式是y=kx+b,把P(3,4)代入求出直线AB的解析

式是y=kx+4-3k,求出0A=4-3k,OB=3k_4,求出AAOB的面积是1・OB・OA=12

k2

-lk1+16=12,(2k+l),根据一旦k-g,2」(空)k.(卫)=12和当且仅当-

2k2k2kV2Jkk；

—k=-2时，取等号求出k=--,求出0A=4-3k=8,0B=^~^=6,设三角形AOB

2k3k

的内切圆的半径是R,由三角形面积公式得：A.X6X8=1X6R+1X8R+1X10R,

2222

求出即可.

【解答】解：设直线AB的解析式是y=kx+b,

把P(3,4)代入得：4=3k+b,

b=4-3k,

即直线AB的解析式是y=kx+4-3k,

当x=0时,y=4-3k,

当y=0时，x=3kY,

k

即A(0,4-3k),B(3kY,o),

k

2

△AOB的面积是_L・OB・OA=L・^Z£・(4-3k)=12-.9k±16-12-(2k+&),

22k2k2k

要使^AOB的面积最小，

.•.必须更自旦旦最大，

2k

Vk<0,

-k>0,

・---詈24告严,

当且仅当-旦k=-反时，取等号，解得：k=±l,

2k3

Vk<0,

/.k=--,

3

即OA=4-3k=8,OB=3kY=6,

k

2

根据勾股定理得：AB=^62+82=10,

设三角形AOB的内切圆的半径是R,

由三角形面积公式得：1X6X8=1X6R+1-X8R+2.X10R,

2222

R=2,

故选A.

【点评】本题考查了勾股定理，取最大值，三角形的面积，三角形的内切圆等知

识点的应用，关键是求OA和OB的值，本题比较好，但是有一定的难度.

7.（2012•天台县校级模拟）如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等

分点，点B是余的中点，点P是半径ON上的点.若。。的半径为I,则AP+BP

【分析】本题是要在MN上找一点P,使PA+PB的值最小，设A是A关于MN的

对称点，连接AB,与MN的交点即为点P.此时PA+PB=AB是最小值，可证△

OAB是等腰直角三角形，从而得出结果.1

【解答】解：作点A关于MN的对称点N,连接AB,交MN于点P,则PA+PB

最小，

连接OA,AA,OB,

•••点A与A关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

AZA,ON=ZAON=60°,PA=PA',

:点B是弧AN八的中点，

AZBON=30°,

ZA,OB=ZA,ON+ZBON=90°,

XVOA=OA,=1,

PA+PB=PA'+PB=A'B=&.

故选B.

【点评】正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有

原题，因此加强课本题目的训练至关重要.

8.（2014•泰安模拟）如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的

各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈

数是（）

C.6D.10

【分析】因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正

好一周，另外五边形的外角和为360。，所以小圆在五个角处共滚动一周，可以

求出小圆滚动的圈数.

【解答】解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚

动正好一周，在五条边上共滚动了5周.由于每次小圆从五边形的一边滚动到另

一边时，都会翻转72。，所以小圆在五个角处共滚动一周.因此，总共是滚动了

6周.

故选：C.

【点评】本题考查的是对圆的认识，根据圆的周长与五边形的边长相等，可以知

道圆在每边上滚动一周.然后由多边形外角和是360。，可以知道圆在五个角处

滚动一周.因此可以求出滚动的总圈数.

9.（2016•黄冈校级自主招生）如图，AB为半圆。的直径，C是半圆上一点，且

ZCOA=60",设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为SI、S2>S3,则它们之间

的关系是（）

A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S1<S3<S2D.S3Vs2Vsi

【分析】设出半径，作出ACOB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形

的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解.

【解答】解：作ODLBC交BC与点D,

VZCOA=60°,

ZCOB=120",则ZCOD=60°.

•c.“_60冗R2冗R2

3606

c-1207TR2KR2

、扇形BOC---------------------二-----•

3603

在三角形OCD中，NOCD=30°,

/.OD=K,CD=/^R,BC=V^R,

22

..圣谢=谴，S1谑肆L--3付R?,

（4兀-3V^）R2、HR2、遮R2

~L264

.*.S2<S1<S3.

故选B.

【点评】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的

面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形-三角

形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系.

10.（2015•达州）如图，AB为半圆。在直径,AD、BC分别切。。于A、B两点,

CD切。O于点E,连接OD、OC,下列结论：①NDOC=90°,②AD+BC=CD,③S△

AOD：SABOC=AD2：AO2,④OD：OC=DE：EC,⑤OD2=DE・CD,正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】连接OE,由AD,DC,BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角

为直角，且利用切线长定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代换可得

出CD=AD+BC,选项②正确；由AD=ED,OD为公共边，利用HL可得出直角三角

形ADO与直角三角形EDO全等，可得出NAOD=NEOD,同理得到NEOC=NBOC,

而这四个角之和为平角，可得出NDOC为直角，选项①正确；由NDOC与NDEO

都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出

三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE・CD,选项⑤正确;

由△AODs^BOC,可得必幽=(毁「=注？「=迎】，选项③正确；由

^ABOCOBAOAO2

-△OEC,可得强理，选项④错误.

OC-0E

【解答】解：连接0E,如图所示：

：AD与圆0相切，DC与圆0相切，BC与圆0相切，

AZDAO=ZDEO=ZOBC=90°,

ADA=DE,CE=CB,AD〃BC,

；.CD=DE+EC=AD+BC,选项②正确；

在RtAADO和RtAEDO中，

lDA=DE

ARtAADO^RtAEDO(HL),

AZAOD=ZEOD,

同理RtACEO^RtACBO,

AZEOC=ZBOC,

XZAOD+ZDOE+ZEOC+ZCOB=180°,

：.2(ZDOE+ZEOC)=180",即NDOC=90。，选项①正确；

AZDOC=ZDEO=90°,又NEDO=/ODC,

.,.△EDO^AODC,

...西=迈，即OD2=DC»DE,选项⑤正确；

CD0D

ZAOD+ZCOB=ZAOD+ZADO=9Q",

ZA=ZB=90°,

/.△AOD^ABOC,

也旺（包旭_「二迪二选项③正确;

lJ

SABOCOB^A0A02

同理△ODEs^OEC,

西口，选项④错误；

OCOE

故选c.

【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等

三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的

关键.

二.填空题（共10小题）

11.（2015•长沙）如图，AB是。O的直径，点C是。。上的一点，若BC=6,AB=10,

ODLBC于点D,则OD的长为4.

【分析】根据垂径定理求得BD,然后根据勾股定理求得即可.

【解答】解：,•,ODLBC,

.*.BD=CD=1BC=3,

2

V0B=ljXB=5,

2

AOD=VOB2-BD2=4-

故答案为4.

【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握.

12.(2014•陕西)如图，。。的半径是2,直线I与。O相交于A、B两点，M、

N是。O上的两个动点，且在直线I的异侧，若NAMB=45。，则四边形MANB面

积的最大值是4亚.

【分析】过点。作OCLAB于C,交。。于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、

EA、EB,根据圆周角定理得NAOB=2NAMB=90。，则^OAB为等腰直角三角形，

所以AB=J^OA=2由于S四边形MANB=SAMAB+SANAB，而当M点到AB的距昌最大，

△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，4NAB的面积最大，即M点

运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S^DAB+S

△EAB=LB・CD+17XB・CE=17XB(CD+CE)=1T\B・DE=LX2,RX4=4

22222

【解答】解：过点。作OCLAB于C,交。。于D、E两点，连结OA、OB、DA、

DB、EA、EB,如图，

VZAMB=45°,

AZAOB=2ZAMB=90°,

••.△OAB为等腰直角三角形，

.•.AB=V^OA=2m，

•*S四边形MANB二S4MAB+S^NAB，

，当M点到AB的距离最大，^MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，

△NAB的面积最大，

即M点运动到D点，N点运动到E点，

此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=SADAB+SAEAB=LXB・CD+L\B-CE=L\B

(CD+CE)=LXB・DE」X2忻X4=4、&

22

故答案为：4五.

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两

条弧.也考查了圆周角定理.

13.(2015•烟台)如图，直线I：y=-Lx+1与坐标轴交于A,B两点，点M(m,

0)是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作。M,当。M与直

线I相切时，则m的值为2-2立或2+2亚..

MO

【分析】根据直线ly=-lx+1由x轴的交点坐标A(0,1),B(2,0),得至UOA=1,

OB=2,求出AB=J^；设。M与AB相切与C,连接MC,则MC=2,MC±AB,通

过△BMCs^ABO,即可得到结果.

【解答】解：在y=-L<+l中，

令x=0,则y=l,

令y=0,则x=2,

，A(0,1),B(2,0),

AAB=V5；

如图，设。M与AB相切与C,

连接MC,则MC=2,MC±AB,

VZMCB=ZAOB=90°,NB=NB,

.,.△BMC-AABO,

•CMBMpn2BM

OA-AB1一证

BM=2、石，

.•.0M=2遥-2,或0M=2遍+2.

m=2-2、而或m=2+2\,,r5.

故答案为：2-2旄，2+2旄.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，相似三角形的判定

和性质，注意分类讨论是解题的关键.

14.（2015•安顺）如图，在口ABCD中,AD=2,AB=4,ZA=30°,以点A为圆心，

AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是3-U（结

2—

果保留n）.

DC

AEB

【分析】过D点作DF±AB于点F.可求口ABCD和4BCE的高，观察图形可知阴

影部分的面积=MBCD的面积-扇形ADE的面积-4BCE的面积，计算即可求解.

【解答】解：过D点作DFLAB于点F.

VAD=2,AB=4,ZA=30°,

.*.DF=AD«sin30°=l,EB=AB-AE=2,

・•・阴影部分的面积:

_30X71X呼

4X12X14-2

360

=4-AJT-1

3

=3-AJI.

3

故答案为：3-In.

3

【点评】考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部

分的面积aABCD的面积-扇形ADE的面积-4BCE的面积.

15.（2013•扬州）如图，已知。0的直径AB=6,E、F为AB的三等分点，M、N

为篇上两点，且NMEB=NNFB=6O°,则EM+FN=_V33_.

【分析】延长ME交。O于G,根据圆的中心对称性可得FN=EG,过点O作OH

LMG于H,连接MO,根据圆的直径求出OE,OM,再解直角三角形求出OH,

然后利用勾股定理列式求出MH,再根据垂径定理可得MG=2MH,从而得解.

【解答】解：如图，延长ME交。O于G,

VE>F为AB的三等分点，NMEB=NNFB=6O。，

；.FN=EG,

过点。作OHLMG于H,连接MO,

VOO的直径AB=6,

.*.OE=OA-AE=1X6-1X6=3-2=1,

23

OM』X6=3,

2

VZMEB=60",

.*.OH=OE«sin60°=lX些=后，

22

在Rt^MOH中，MH=7QM2^H2=

根据垂径定理，MG=2MH=2xYH=疝,

即EM+FN=V33.

故答案为：V33.

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线

并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点.

16.（2013•陕西）如图，AB是。O的一条弦，点C是。。上一动点，且NACB=30。，

点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与。。交于G、H两点.若。0的半径

为7,则GE+FH的最大值为10.5.

【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=1AB=3.5

2

为定值，则GE+FH=GH-EF=GH-3.5,所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值.而

直径是圆中最长的弦，故当GH为。0的直径时，GE+FH有最大值14-3.5=10.5.

【解答】解：当GH为。0的直径时，GE+FH有最大值.

当GH为直径时，E点与。点重合，

，AC也是直径，AC=14.

VZABC是直径上的圆周角,

AZABC=90",

VZC=30°,

/.AB=1AC=7.

2

•••点E、F分别为AC、BC的中点，

.•.EF=17XB=3.5,

2

；.GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5.

故答案为：10.5.

【点评】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度.确

定GH的位置是解题的关键.

17.(2017•永新县模拟)如图，以点P(2,0)为圆心，E为半径作圆，点M

(a,b)是。P上的一点，则巨的最大值是—立

a

【分析】当卜有最大值时，得出tan/MOP有最大值，推出当0M与圆相切时，

a

tanZMOP有最大值，根据解直角三角形得出tan/MOP=J^,由勾股定理求出

0M

当k有最大值时，即tan/MOP有最大值,

a

也就是当0M与圆相切时，tanNMOP有最大值,

此时tanNMOP」lL,

0M

在Rtz^OMP中，由勾股定理得：（DMy°p2_pM气22_（«）”L

则tanNMOP=b=MP=V3=^,

aOM1

故答案为：Vs.

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、坐标与图形性质、切线的性质等

知识点，关键是找出符合条件的M的位置，题目比较典型，但是有一定的难度.

18.（2013•咸宁）如图，在RtAAOB中，0A=0B=36，©0的半径为工，点P

是AB边上的动点，过点P作。。的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的

最小值为2近.

【分析】首先连接OP、0Q,根据勾股定理知PQ2=OP2-0Q2,可得当OPLAB时,

即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案.

【解答】解：连接OP、0Q.

•；PQ是。0的切线，

.•.OQ±PQ；

根据勾股定理知PQ2=OP2-0Q2,

.,.当POLAB时，线段PQ最短，

：在RtAAOB中，OA=OB=3我,

.*.AB=V2OA=6,

.,.0P=°A・C）B=3,

AB

•*,PCi=ylop232

故答案为：2圾.

o

B

【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.此题难

度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当POLAB时，线段PQ最短是关键.

19.（2015•泰安）如图，AB是。。的直径，且经过弦CD的中点H,过CD延长

线上一点E作。。的切线，切点为F.若NACF=65。，则NE=50°.

:■

【分析】连接DF,连接AF交CE于G,由AB是。。的直径，且经过弦CD的中

点H,得到众=右，由于EF是。。的切线，推出NGFE=NGFD+NDFE=NACF=65°

根据外角的性质和圆周角定理得到NEFG=NEGF=65。，于是得到结果.

【解答】解：连接DF,连接AF交CE于G,

VAB是。O的直径，且经过弦CD的中点H,

•••筋④，

VEF是。。的切线，

ZGFE=ZGFD+ZDFE=ZACF=65°,

VZFGD=ZFCD+ZCFA,

VZDFE=ZDCF,

ZGFD=ZAFC,

ZEFG=ZEGF=65",

AZE=180°-ZEFG-ZEGF=50°,

故答案为：50°.

方法二:

连接OF,易知OF±EF,OH1EH,故E,F,0,H四点共圆，又NAOF=2NACF=130。,

故NE=180--130°=50°

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是

解题的关键.

20.（2014•温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8,E是边AB上一点,且AE=_LAB.O

4

0经过点E,与边CD所在直线相切于点G（NGEB为锐角），与边AB所在直线

交于另一点F,且EG：EF=V5：2.当边AD或BC所在的直线与。。相切时，AB

的长是12或4.

2_G_c

;

【分析】过点G作GNLAB,垂足为N,可得EN=NF,由EG：EF=依：2,得:

EG：EN=A/5：1-依据勾股定理即可求得AB的长度.

【解答】解：边AB所在的直线不会与。0相切；边BC所在的直线与。0相切时,

如图，过点G作GNLAB,垂足为N,

，EN=NF,

XVEG：EF=V5：2,

AEG：EN=V5：1，

又：GN=AD=8,

...设EN=x,则GEW^x,根据勾股定理得：

(V^x)2-x2=64，解得：x=4,GE=4-/5,

设。0的半径为r,由OE2=EN2+ON2

得：r2=16+(8-r)2,

Ar=5..，.0K=NB=5,

；.EB=9,

又AE=LXB,

4

.\AB=12.

同理，当边AD所在的直线与。。相切时，连接0H,

.*.0H=AN=5,

.\AE=1.

又AE=LXB,

4

AAB=4.

【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题

的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径.

三.解答题（共10小题）

21.（2015•黔南州）如图，在RtAABC中，ZA=90°,。是BC边上一点，以O

为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,

已知BD=2,AE=3,tanZBOD=A.

3

（1）求。O的半径OD；

（2）求证：AE是。。的切线；

（3）求图中两部分阴影面积的和.

【分析】（1）由AB为圆。的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB,在直角

三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan/BOD及BD的值，求出OD

的值即可；

（2）连接OE,由AE=0D=3,且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四

边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA

与AE垂直得至UOE与AC垂直，即可得证；

（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积-扇形DOF的面

积-扇形EOG的面积，求出即可.

【解答】解：（1）...AB与圆0相切,

AODXAB,

在Rt^BDO中，BD=2,tan/BOD=%Z,

OD3

.*.OD=3；

（2）连接OE,

VAE=OD=3,AE〃OD,

四边形AEOD为平行四边形,

.•.AD〃EO,

：DALAE,

AOEXAC,

又•••0E为圆的半径,

，AE为圆0的切线;

(3)VOD//AC,

•BD_0Dpn2_3

ABAC2+3AC

AAC=7.5,

Z.EC=AC-AE=7.5-3=4.5,

•,S阴影一SABDO^SAOEC一S扇形FOD一S扇形EOG

=J_X2X3+J-X3X4.5-9°n二史

22360

=3+27_97L

44

=39-9冗

~1~

【点评】此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行

四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题

的关键.

22.（2014•厦门）已知A,B,C,D是。O上的四个点.

（1）如图1,若NADC=NBCD=90。，AD=CD,求证：AC±BD；

（2）如图2,若ACLBD,垂足为E,AB=2,DC=4,求。。的半径.

【分析】（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；

（2）连结DO,延长交圆。于F,连结CF、BF.根据直径所对的圆周角是直角,

得NDCF=NDBF=90°,则BF〃AC,根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=MAB,则

CF=AB.根据勾股定理即可求解.

【解答】解：(1)VZADC=ZBCD=90°,

.'.AC、BD是。0的直径，

AZDAB=ZABC=90°,

・••四边形ABCD是矩形，

VAD=CD,

•••四边形ABCD是正方形，

AACXBD；

(2)连结DO,延长交圆。于F,连结CF、BF.

VDF是直径，

AZDCF=ZDBF=90°,

AFBXDB,

XVAC±BD,

，BF〃AC,NBDC+NACD=90。，

VZFCA+ZACD=90°

AZBDC=ZFCA=ZBAC

等腰梯形ACFB

.*.CF=AB.

根据勾股定理，得

CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=2O,

/.DF=2辰,

.*.OD=V5，即。O的半径为遥.

【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及

勾股定理.学会作辅助线是解题的关键.

23.(2013•黔西南州)如图，AB是。。的直径，弦CDLAB与点E,点P在。O

上，Z1=ZC,

(1)求证：CB〃PD；

(2)若BC=3,sinNP=』，求。。的直径.

【分析】(1)要证明CB〃PD,可以求得N1=NP,根据徐黄可以确定NC=NP,

又知Nl=/C,即可得N1=NP；

(2)根据题意可知NP=NCAB,则sinNCAB=是，即双二所以可以求得圆的

AB5

直径.

【解答】(1)证明：,••NC=NP

又,.•Nl=/C

.*.Z1=ZP

.♦.CB〃PD；

(2)解：连接AC

VAB为。O的直径，

ZACB=90°

又：CDLAB,

BC=BD，

AZP=ZCAB,

XVsinZP=2,

5

.*.sinZCAB=2,

5

即区=3,

AB5

又知，BC=3,

，AB=5,

・•.直径为5.

【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本

题的关键.

24.（2013•兰州）已知，如图，直线MN交。。于A,B两点，AC是直径，AD

平分NCAM交。O于D,过D作DELMN于E.

（1）求证：DE是。O的切线；

（2）若DE=6cm,AE=3cm,求。。的半径.

【分析】（1）连接OD,根据平行线的判断方法与性质可得NODE=NDEM=90。，

且D在。。上，故DE是。O的切线.

（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACDs^ADE.根据相似

三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径.

【解答】（1）证明：连接OD.

VOA=OD,

AZOAD=ZODA.

VZOAD=ZDAE,

AZODA=ZDAE.

ADO/7MN.

VDE±MN,

AZODE=ZDEM=90".

即OD，DE.

,；D在。。上，OD为。。的半径，

ADE是。。的切线.

(2)解：VZAED=90°,DE=6,AE=3,