高中数学课时练习10函数的单调性含解析新人教A版必修

函数的单调性

【基础全面练】(20分钟35分)

1.设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且xi《(a,b),x2S(c,d),xi<x2,则f(x)

与f(xj的大小关系为()

A.f(xi)<f(x2)B.f(xi)>f(x2)

C.f(xi)=f(x2)D.不能确定

【解析】选D.由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能

由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的XI,X2不在同一单调区间内，所

以f(x)与f(xj的大小关系不能确定.

2.函数f(x)的图象如图所示，贝N)

A.函数f(x)在［-1,2］上是增函数

B.函数f(x)在［-1,2］上是减函数

C.函数f(x)在［-1,4］上是减函数

D.函数f(x)在［2,4］上是增函数

【解析】选A.函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函

数,故选A.

3.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()

A.y=|x|B.y=3—x

1z,

C.y=-D.y=—x'+4

【解析】选A.因为一1<0,所以一次函数y=-x+3在R上单调递减，反比例函数y=：在

(0,十8)上单调递减，二次函数y=-x?+4在(0,+8)上单调递减.故选A.

4.已知函数f(x)为定义在区间［-1,1］上的增函数，则满足f(x)<f(，的实数x的取值

范围为_.

—1WxWl,

【解析】由题设得，1解得一IWxg.

答案：一1,0

5.函数一3|x|+2的单调减区间是

X2—3x+2,x20,

【解析】化简函数为f（x）=

.X2+3X+2,x<0.

作出函数图象如图,

/31「3"

由图象不难得出，函数的单调减区间为（一8,一矶和［0,百

答案：（一8,--和0,j

V-I-1

6.已知函数f(X)=Q5.

证明函数在（-2,+8）上单调递增.

【证明】设Xi,X2®（-2,+8）,且X2〈X1,

则f(X2)—f(X1)=上言Xi+1

X2-lZXi+2

X2~~Xi

(Xi+2)(X2+2)

因为xi>x2>—2,

所以X2—x】<0,X.+2>0,X2+2>0,

所以（xi+2）（k+2）（°'

所以f（Xl）>f（X2）,

所以f（x）在（-2,+8）上单调递增.

【综合突破练】（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等的实数a,b,总有‘㈠）一［（」>）>o,则必

有（）

A.f（x）先增后减

B.f（x）是R上的增函数

C.f(x)先减后增

D.f(x)是R上的减函数

f(分)一f(卜)

【解析】选B.由一;——:----->0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b),

a—b

所以函数f(x)是R上的增函数.

2.下列四个函数在(一8,0)上为增函数的是()

①y=|x|+l；®y=~;③丫=一工;④丫二乂十上.

x|x||x|

A.①②B.②③C.③④D.①④

【解析】选C.①y=|x|+1=—x+1(xVO)在(一8,0)上为减函数；②y=-1-=-i(xV

2

0)在(一8,0)上既不是增函数也不是减函数；③丫=一工=x(x<0)在(一8,0)上是增函

|x|

数；@y=x+合=x—l(x〈0)在(一8,0)上是增函数.

|x|

3.设函数f(x)在(-8,+8)上为减函数，则()

A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+l)<f(a)

【解析】选D.因为a?+l—a=(a—?+|>0,所以£+l>a,又因为函数f(x)在(一8,

+8)上为减函数，所以f(a2+l)<f(a).

—x2+2x—1xWl

4.(2021•济南高一检测)已知函数f(x)=।若f(1-4)>f(3a),则

Jx—1I,X>1,

实数a的取值范围是()

A.(-4,1)

B.(—8,—4)U(1,+8)

C.(-1,4)

D.(—8,—1)U(4,+°0)

—x2+2x-1,x〈l,

【解析】选D.作出f(x)=的图象如图,

|X—1I,x>1

可知f(x)在R上单调递增,若f(d-4)>f(3a),

则4>3a,解可得a>4或aV—L

【光速解题】通过特殊值0,1验证是否满足不等式确定答案.

5.若函数f(x)=2|x—a|+3在区间［1,+8)上不单调，则a的取值范围是()

A.［1,+8)B.(1,4-oo)

C.(—8,1)D.(—8,1］

2x—2a+3x>a

【解析】选B.因为函数f(x)=2|x-a|+3=°因为函数f(x)=2|x—

a|+3在区间［1,+8)上不单调，所以a>l,所以a的取值范围是(1,+~).

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.已知函数y=-x'+4ax在区间［―1,2］上单调递减，则实数a的取值范围是.

【解析】根据题意，函数y=—xZ+4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x=2a,

若其在区间［-1,2］上单调递减，则2a<—1,

所以aW-g,即a的取值范围为(-8,.

答案：(一8,-1

7.若函数y=—?在(0,+8)上是减函数，则b的取值范围是.

【解析】设OVxiVxz,由题意知f(x)—f(X2)=—上+-=)?七))”>0.

XlX2X1X2

因为0<xi<X2,所以Xi—X2<0,xtX2>0,所以b<0.

答案：(一8,0)

((a-4)x+5(xWl),

8.f(x)={2a,、在(-8,+8)上是减函数，则实数a的取值范围是

【解析】因为f(x)为R上的减函数，

所以当xWl时，f(x)单调递减，即a—4<0①，

当x>l时，f(x)单调递减，即a>0②，

且(a-4)Xl+5N2a③，联立①②③解得，0<aWl.

答案：(0,1]

三、解答题(每小题10分，共20分)

2x+l

9.已知函数f(x+l)=一工3.

(1)求f⑵,f(x).

(2)用定义证明函数f(x)在(-1,+8)上的单调性.

【解析】(1)因为f(x+D=^2x4-1，令x=i，

得f(2)=f(1+1)=1,令t=x+l,则*=1一1,

LLtI/X2t—1/\2x—1

所以f(t)=I.，a即rIf(x)="I..

t+1x+1

(2)证明如下：任取一lVxi〈X2,

/、/、2XL12X2~~1

f(x.)-f(x2)=-^n-

x2+l

3(xi-X2)

(X1+1)(X2+I)

又因为一l<Xi〈X2,Xi—x2<0,(xi+1)(X2+I)>0,

LL23(X1—X2)/、，/\

所以~~TTT~~/~~,,x<0,f(Xi)<f(x),

(Xi+1)(X2+1)2

所以函数f(x)在(-1,+8)上单调递增.

10.已知函数f(x)=x—2+/在(1,+8)上是增函数，求实数a的取值范围.

【解析】设IVxiVxz,所以X[X2>1.

因为函数f(x)在(1,+8)上是增函数,

所以f(x，T(X2)=XL?+1一

=(XLX2)(T)

<0.

因为XI—X2V0,所以l+色->0,

XiX2

即a>—X1X2.

因为IVX1VX2,XIX2>L所以一X1X2V—1,所以a2—1.

所以a的取值范围是[-1,+8).

【应用创新练】

已知f(x)=