2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十章 第三节 变量的相关性与一元线性回归模型含答案

15版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十章第三节变量的相关性与一元线性回归模型第三节变量的相关性与一元线性回归模型【课程标准】1.结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.2.结合实例,会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.3.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会使用相关的统计软件.4.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查样本相关系数、一元线性回归方程、非线性回归方程;一元线性回归方程是高考热点,三种题型都会出现.核心素养:数学抽象、数据分析、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.变量的相关关系(1)相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.(2)相关关系的分类:正相关和负相关.(3)线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.【微点拨】散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法,观察散点图可以大致看出两个变量的相关关系.2.样本相关系数(1)样本相关系数(2)样本相关系数r的取值范围为[-1,1],是一个描述成对样本数据的数字特征,它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征,它的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度:①当r>0时,成对样本数据正相关;②当r<0时,成对样本数据负相关.③当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;④当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.3.经验回归模型我们将=x+称为Y关于x的经验回归方程,其中=y-x.4.对模型刻画数据效果的分析(1)残差图法在残差图中,如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内,则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系.(2)残差平方和法残差平方和越小,模型的拟合效果越好.(3)决定系数R2法可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好,R2越小,模型的拟合效果越差.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的有 ()A.相关关系是一种非确定性关系B.散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段C.经验回归直线=x+至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点D.样本相关系数的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强【解析】选ABD.由相关关系的定义可知:相关关系是一种非确定性关系,所以选项A正确;因为散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法,观察散点图可以大致看出两个变量的相关关系,所以选项B正确;由经验回归方程=x+过点(x,y)知,不一定过样本数据,所以选项C错误;由相关系数的大小与样本相关关系可知,选项D正确.2.(选修第三册P101例1改编)对于x,y两个变量,有四组成对样本数据,分别算出它们的样本相关系数r如下,则线性相关性最强的是 ()A.-0.82 B.0.78 C.-0.69 D.0.87【解析】选D.由样本相关系数的绝对值|r|越接近1,变量间的线性相关性越强知,各选项中r=0.87的绝对值最接近1.3.(选修第三册P103习题1改编)根据所示的散点图,下列说法正确的是 ()A.身高越高,体重越大B.身高越高,体重越小C.身高和体重呈正相关D.身高和体重呈负相关【解析】选C.根据散点图的分布可得:身高和体重呈正相关.4.(误认为经验回归直线过样本点)某互联网公司借助某平台推广自己的产品,对今年前5个月的月平台推广费用x(单位:百万元)与月利润额y(单位:百万元)进行了初步统计,得到下列表格中的数据:x24568y304060p70经计算,月平台推广费用x与月利润额y满足经验回归方程=6.5x+17.5,则p的值为 ()A.50 B.56.5 C.60 D.70【解析】选A.由于经验回归直线过样本点的中心,x=5,y=200+p5,代入经验回归方程得200+p5=6.5×5+17.【核心考点·分类突破】考点一成对数据的相关性[例1](1)(2023·天津高考)调查某种花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数r=0.8245,下列说法正确的是 ()A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.8245【解析】选C.因为相关系数r=0.8245>0.75,且题中散点图呈左下角到右上角的带状分布,所以花瓣长度和花萼长度呈现正相关.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数不一定是0.8245.(2)(多选题)对于样本相关系数,下列说法正确的有 ()A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性B.样本相关系数可以是正的,也可以是负的C.样本相关系数r∈[-1,1]D.样本相关系数越大,成对样本数据的线性相关程度也越强【解析】选ABC.因为样本相关系数大于0,说明成对样本数据正相关,样本相关系数小于0,说明成对样本数据负相关,所以选项A正确;由样本相关系数公式可知:样本相关系数r∈[-1,1],所以选项B,C正确;样本相关系数的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强,故D错误.【解题技法】判断相关关系的两种方法(1)散点图法:如果所有的样本点都落在某条曲线附近,变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.(2)相关系数法:利用相关系数判定,|r|越趋近于1,相关性越强.【对点训练】1.对四组不同的数据进行统计,获得如图所示的散点图,关于其样本相关系数的比较,下列正确的是 ()A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3【解析】选A.由题中散点图可知图①与图③中的两个变量是正相关,故r1>0,r3>0,图②与图④中的两个变量是负相关,故r2<0,r4<0,又图①与图②中的样本点集中在一条直线附近,所以r2<r4<0<r3<r1.2.若已知是的4倍,是的1.5倍,则相关系数r的值为________.

【解析】由,得r=34.答案:3【加练备选】1.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位:千元)与利润率统计表如下:月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据,下列说法正确的是 ()A.利润率与人均销售额呈现正相关关系B.利润率与人均销售额呈现负相关关系C.利润率与人均销售额成正比例函数关系D.利润率与人均销售额成反比例函数关系【解析】选A.由题中统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系,也不是反比例关系,排除C,D;其属于正相关关系,A正确,B错误.2.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同),用经验回归方程=x+近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是 ()A.线性相关关系较强,的值为1.25B.线性相关关系较强,的值为0.83C.线性相关关系较强,的值为-0.87D.线性相关关系较弱,无研究价值【解析】选B.由题中散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近,所以线性相关关系较强,且应为正相关,所以经验回归方程的斜率应为正数,且从散点图观察,经验回归方程的斜率应该比直线y=x的斜率要小一些,综上可知应选B.考点二回归模型及其应用角度1一元线性回归模型及其应用[例2]为保证新能源汽车的推广,某市逐渐加大充电基础设施的建设,该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量(单位:个),得到如下数据:年份编号x12345年份20182019202020212022数量y/个37104147196226(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;(2)求y关于x的经验回归方程,并预测2026年该市新能源汽车充电站的数量.参考数据:参考公式:相关系数经验回归直线=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=y-x.【解析】(1)由已知数据得x=15×(1+2+3+4+5)=3,y=1所以r≈4703.16×149.因为y与x的相关系数近似为0.99,接近1,说明y与x的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.(2)由(1)得=y-x=142-47×3=1,故所求经验回归方程为=47x+1,将2026年对应的年份编号x=9代入经验回归方程得=47×9+1=424,故预测2026年该市新能源汽车充电站的数量为424个.【解题技法】求经验回归方程的步骤【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系,经调查得到如下样本数据:x34567y3.52.41.1-0.2-1.3根据表格中的数据求得经验回归方程为=x+,则下列说法中正确的是 ()A.>0,>0 B.>0,<0C.<0,>0 D.<0,<0【解析】选B.由已知数据可知y随着x的增大而减小,则变量x和y之间存在负相关关系,所以<0.又x=15×(3+4+5+6+7)=5,y=15×(3.5+2.4+1.1-0.2-1.3)=1.1,即1.1=5+,所以=1.1-5>0.2.某智能机器人的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表所示:广告费用x(万元)2356销售额y(万元)28314148根据此表可得经验回归方程为=5x+,据此模型预测广告费用为8万元时,销售额为________万元.

【解析】由题中表格,得x=2+3+5+64y=28+31+41+484所以37=5×4+,即=17,所以预测当广告费用为8万元时,销售额为5×8+17=57(万元).答案:57角度2非线性回归模型及其应用[例3]某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据,绘制了散点图.参考数据:(其中ui=1x参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为(1)观察散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为非原料成本y与生产该产品的数量x(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y与x的回归方程.(3)试预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本.【解析】(1)由散点图可知,y=a+bx适宜作为非原料成本y与生产该产品的数量x(2)令u=1x,则y=a+bu=y-u=3608-100×0.34=11,所以=11+100u=11+100x;(3)当x=10(千件)时,=11+10010=21(元).故预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本为21元.【解题技法】非线性回归分析的步骤【对点训练】1.(2023·郑州模拟)用模型y=aebx+1(a>0)拟合一组数据时,令z=lny,将其变换后得到经验回归方程=2x+,则ba= (A.e B.1e C.12 D【解析】选D.对y=aebx+1(a>0)两边同时取对数,则lny=ln(aebx+1)=lna+bx+1,令z=lny,则z=bx+lna+1,所以b=2,2.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y=2e2x+1的图象附近,设z=lny,将其变换后得到经验回归方程为=x+,则mn=________.

【解析】由z=lny,则lny=ln2e2x+1,即z=ln2+lne2x+1=ln2+2x+1,则z答案:2ln2+2考点三残差分析[例4](1)(多选题)下列说法正确的是 ()A.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均减少2.3个单位B.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,相对于样本点(1,1.2)的残差为-0.25C.在残差图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,其模型的拟合效果越好D.若两个变量的决定系数R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好【解析】选BCD.对于A,根据经验回归方程,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均减少0.85个单位,故A错误;对于B,当解释变量x=1时,响应变量=1.45,则样本点(1,1.2)的残差为-0.25,故B正确;对于C,在残差图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,说明拟合精度越高,即拟合效果越好,故C正确;对于D,由决定系数R2的意义可知,R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好,故D正确.(2)新能源汽车的核心部件是动力电池,电池占了新能源整车成本的很大一部分,而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始,碳酸锂的价格不断升高,下表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据:月份代码x12345碳酸锂价格y(万元/kg)0.50.61m1.5根据表中数据,得出y关于x的经验回归方程为=0.28x+,根据数据计算出在样本点(5,1.5)处的残差为-0.06,则表中m=________.

【解析】由题设,1.5-=1.5-(0.28×5+)=-0.06,可得=0.16.又x=1+2+3+4+55y=0.5+0.所以0.28×3+0.16=3.6+m5,可得m答案:1.4【解题技法】检验回归模型的拟合效果的两种方法(1)残差分析:通过残差分析发现原始数据中的可疑数据,判断所建立模型的拟合效果.(2)R2分析:通过公式计算R2,R2越大,残差平方和越小,模型的拟合效果越好;R2越小,残差平方和越大,模型的拟合效果越差.【对点训练】色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标,现抽检一批产品测得数据列于表中,已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系,且=0.8x+,现有一对测量数据为(30,23.6),则该数据的残差为 ()色差x21232527色度y15181920A.-0.96 B.-0.8 C.0.8 D.0.96【解析】选C.由题意可知,x=21+23+25+274=24,y=15+18+19+20将(24,18)代入=0.8x+,即18=0.8×24+,解得=-1.2,所以=0.8x-1.2,当x=30时,=0.8×30-1.2=22.8,所以该数据的残差为23.6-22.8=0.8.第四节列联表与独立性检验【课程标准】1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查分类变量与列联表、独立性检验;独立性检验是高考热点,常以解答题的形式出现.核心素养:数学抽象、数据分析、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.分类变量为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.2.列联表与独立性检验(1)2×2列联表①2×2列联表给出了成对分类变量数据的__交叉分类频数__.

②定义一对分类变量X和Y,我们整理数据如表所示:XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d像这种形式的数据统计表称为2×2列联表.(2)独立性检验①定义:利用χ2的取值推断分类变量X和Y__是否独立__的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”.简称独立性检验.

②χ2=n(ad-bc)2(a+b(3)独立性检验解决实际问题的主要环节①提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.③根据检验规则得出推断结论.④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数B.事件A和B的独立性检验无关,即两个事件互不影响C.χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量D.在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间关系越强【解析】选AC.由2×2列联表可知,表中的数据是两个分类变量的频数,所以选项A正确;由独立性检验可知:事件A和B的独立性检验无关,说明事件A和B关联性不大,不一定互不影响,所以选项B错误,选项C正确;在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,说明卡方值越小,即两个分类变量之间关系不强,所以选项D错误.2.(选修第三册P134练习4改编)某课外兴趣小组通过随机调查,利用2×2列联表和χ2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得χ2=6.748,经查阅临界值表知P(χ2≥6.635)=0.010,则下列判断正确的是 ()A.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生B.若某人数学成绩优秀,那么他为男生的概率是0.010C.有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”【解析】选D.因为χ2=6.748≥6.635,所以有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”,即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.所以A,B,C错误.3.(选修第三册P133例4改编)在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量χ2≈56.632.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,下面说法正确的是 ()A.因为随机变量χ2>10.828=x0.001,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001B.因为随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001C.因为随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001D.因为随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001【解析】选A.由题意知,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量χ2≈56.632>10.828=x0.001,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“吸烟与患肺癌有关系”.4.(不理解独立性检验方法)已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中,某研究员搜集数据并计算得到χ2=7.235,则根据小概率值α=________的χ2独立性检验,分析喜欢该项体育运动与性别有关.

【解析】因为6.635<7.235<10.828,所以根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,分析喜欢该项体育运动与性别有关.答案:0.01【核心考点·分类突破】考点一分类变量与列联表[例1](1)为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高堆积条形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 ()【解析】选D.在等高堆积条形图中,aa+b与(2)如表是2×2列联表,则表中a,b的值分别为 ()项目y1y2合计x1a835x2113445合计b4280A.27,38 B.28,38C.27,37 D.28,37【解析】选A.a=35-8=27,b=a+11=27+11=38.【解题技法】比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法(1)通过计算χ2的大小判断:χ2越大,两变量有关联的可能性越大.(2)通过计算|ad-bc|的大小判断:|ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大.(3)通过计算aa+b与【对点训练】1.(2023·莆田模拟)为考察A,B两种药物对预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到如下等高堆积条形图,根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是 ()A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果C.药物A,B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A,B对该疾病均没有预防效果【解析】选B.根据题干中两个等高堆积条形图知,药物A试验显示不服药与服药时患病差异较药物B试验显示明显大,所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果.2.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表:性别打篮球合计喜爱不喜爱男生6女生10合计48已知在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.请将上面的2×2列联表补充完整【解析】在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为23,故喜爱打篮球的学生共有48×23=32(人),因为喜爱打篮球的女生有10人,故喜爱打篮球的男生有22人,结合题意可知不喜爱打篮球的女生有48-32-6=10(人)性别打篮球合计喜爱不喜爱男生22628女生101020合计321648考点二列联表与独立性检验[例2](2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:公司准点情况准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?附:χ2=n(α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635【解析】(1)根据题中表格数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A公司长途客车准点事件为M,则P(M)=240260=12B共有班次240次,准点班次有210次,设B公司长途客车准点事件为N,则P(N)=210240=7所以A公司长途客车准点的概率为1213B公司长途客车准点的概率为78(2)列联表公司准点情况合计准点班次数未准点班次数A24020260B21030240合计45050500χ2=n=500×(240×30-210×20)根据临界值表可知,有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【解题技法】独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表.(2)根据公式χ2=n(ad-bc)(3)比较χ2与临界值xα的大小关系,作统计推断.【对点训练】为了减少自身消费的碳排放,“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚.为获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况,某地研究机构将“90后与00后”作为A组,将“70后与80后”作为B组,并从A,B两组中各随机选取了100人进行问卷调查,整理数据后获得如下列联表:(单位:人)年龄段认知情况合计知晓不知晓A组(90后与00后)7525100B组(70后与80后)4555100合计12080200(1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取16人,问应在A组、B组中各抽取多少人?(2)能否依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关?【解析】(1)由题意知,在A组中抽取的人数为16×75120=10.在B组中抽取的人数为16×45120(2)零假设为H0:对“绿色消费”意义的认知情况与年龄无关.由题意,得χ2=200×(75×55-25×45)2120×80×100×100=18.75>10.828=x0.001,故依据小概率值α考点三独立性检验的综合应用[例3](2023·福州模拟)甲、乙两所学校高三年级分别有1000人,1100人,为了了解两所学校全体高三年级学生数学测试情况,采用分层随机抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在[120,150]内为优秀.分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)甲校频数1298乙校频数231015分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]甲校频数1010x3乙校频数15y31(1)计算x,y的值;(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,依据小概率值α=0.025的独立性检验,能否认为两个学校的数学成绩有差异?(注:x0.025=5.024)数学成绩学校合计甲校乙校优秀非优秀合计【解析】(1)由题可知,采用分层随机抽样共抽取105人,1000∶1100=10∶11,所以甲校抽取105×1021=50(人),乙校抽取105