2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第六章 第五节 第1课时 余弦定理、正弦定理含答案

13版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第六章第五节第1课时余弦定理、正弦定理第五节解三角形第1课时余弦定理、正弦定理【课程标准】借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.【考情分析】考点考法:本节内容是新高考卷的必考内容,考查正、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用,同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.正弦定理条件在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径内容asinA=bsinB变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=【微点拨】已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.2.余弦定理条件在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c内容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC变形cosA=b2cosB=c2cosC=a3.三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高)(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径)【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13241.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.在三角形中,已知两边及其一边的对角,不能用余弦定理求解三角形B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此它适用于任何三角形C.利用余弦定理,可以解决已知三角形三边求角的问题D.在三角形中,勾股定理是余弦定理的特例【解析】选BCD.在三角形中,已知两边及其一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的方程,解方程得第三边,故A错误;余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,它适用于任意三角形,故B正确;余弦定理可以直接解决已知三边求角,已知两边及其夹角求第三边的问题,故C正确;当夹角为90°时,余弦定理就变成了勾股定理,故D正确.2.(应用正弦定理求角时漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B等于 ()A.30° B.45°C.30°或150° D.45°或135°【解析】选D.由正弦定理asinA=bsinB得1sin30°=2sinB,sinB=22又因为0°<B<150°,所以B=45°或135°.3.(必修第二册P48练习T2·变条件)在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,则最长边c=________.

【解析】在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,36=108+c2-123×32c,化简得c2-18c+72=0,解得c=6或c因为c是最长的边,所以c=12.答案:124.(2023·上海高考)已知△ABC中,角A,B,C所对的边a=4,b=5,c=6,则sinA=__________.

【解析】a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cosA=b2+c2-又因为A∈(0,π),所以sinA>0,所以sinA=1-cos2A答案:7【核心考点·分类突破】考点一利用正、余弦定理解三角形[例1](1)(2023·北京高考)在△ABC中,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则C=()A.π6 B.π3 C.2π3 【解析】选B.由正弦定理知,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)可化为(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab2(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=2π3,bc=3,且b+c=52a,则a=(A.23 B.33 C.22 D.32【解析】选A.因为A=2π3,bc=3,且b+c=52cosA=b2+c2-a22bc=(b+c)(3)(多选题)(2023·蚌埠模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列各组条件中使得△ABC有两个解的是 ()A.a=23,b=4,A=πB.a=23,b=4,cosA=3C.a=23,b=4,C=πD.a=23,b=4,B=π【解析】选AB.A选项,bsinA=4×sinπ6=2,bsinA<a<b,所以△ABC有两个解,A选项正确.B选项,a<b,cosA>0,A为锐角,sinA=1-cos2A=45,bsinbsinA<a<b,所以△ABC有两个解,B选项正确.C选项,由余弦定理得c=a2+b2-D选项,asinB=23×12=3,asinB<a<b,所以△ABC有唯一解【解题技法】应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用正弦定理变形公式a=bsinAsinB等或余弦定理a2=b2+c2-2bc(2)求角:利用正弦定理变形公式sinA=asinBb等或余弦定理变形公式cosA=(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.【对点训练】1.(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5,则∠B= (A.π10 B.π5 C.3π10 D【解析】选C.由题意结合正弦定理可得sinA·cosB-sinBcosA=sinC,即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,整理可得sinBcosA=0,由于B∈(0,π),故sinB>0,据此可得cosA=0,A=π2,则B=π-A-C=π-π2-π52.(2023·全国甲卷)在△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,BC=6,D为BC上一点,AD为∠BAC的平分线,则AD=________.

【解析】如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a,方法一:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos60°=6,因为b>0,所以b=1+3.由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得,12×2×b×sin60°=12×2×AD×sin30°+12×AD解得AD=3b1+b2方法二:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos60°=6,因为b>0,所以b=1+3.由正弦定理可得,6sin60°=bsinB=2sinC,解得sin因为1+3>6>2,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°,又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2.答案:23.(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=39,b=2,A=120°.(1)求sinB的值;(2)求c的值;(3)求sin(B-C)的值.【解析】(1)a=39,b=2,A=120°,则sinB=bsinAa=2×(2)a=39,b=2,A=120°,则a2=b2+c2-2bc·cosA=4+c2+2c=39,化简整理可得,(c+7)(c-5)=0,解得c=5(负值舍去);(3)因为a>c>b,所以B,C为锐角,所以cosB=1-sinc=5,a=39,A=120°,则sinC=csinAa=5×3239=513所以sin(B-C)=sinBcosC-sinCcosB=1313×33926-51326【加练备选】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,sinB=32,C=π6,则c= (A.3 B.3或3C.32或3 D.【解析】选B.由正弦定理知asinA=csinC,则c=asinCsinA=32sinA,sin因为sinB=32,所以cosB=±1-sin2B=±12,故B=π3或2π3.又C=π6,故均满足题设.当B=π3时,sinA=1,此时c=32;当B考点二利用正、余弦定理判断三角形形状[例2](1)(2023·绥化模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC的形状是 ()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.三边比为1∶2∶3的三角形【解析】选B.因为acosA=bcosB,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因为A,B为三角形的内角,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2同理可得B=C或B+C=π2.当A=B时,B+C=π2不可能成立(三角形内角和不等于π);当B=C时,A+B=π2不可能成立;当A+B=π2时,B+所以只有A=B=C,即△ABC为等边三角形.(2)(2023·重庆模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b+①求A;②若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形【解析】①由a-b+cc=ba+b-c整理可得,bc由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=bc②由b-c=33a及正弦定理可得,sinB-sinC=33sinA=所以sinB-sin(2π3-B)=sinB-32cosB-12sinB=12sinB-32cosB=sin(B-因为B∈(0,2π3),所以B-π3∈(-π3,π3),所以B-π3=π6,所以B=【解题技法】三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,如a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosC等,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sinA=sinB⇔A=B;sin(A-B)=0⇔A=B;sin2A=sin2B⇔A=B或A+B=π2等(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sinA=a2R,cosA=b提醒:1.注意无论是化边还是化角,在化简过程中是否出现公因式;2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.【对点训练】1.在△ABC中,sinA=45,cosB=413,则该三角形是 (A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法判断【解析】选A.根据题意,sinB=31713>45于是B>A,从而A,B为锐角.又sinA=45>22=sinπ4,于是A+B>2A因此C为锐角,所以△ABC为锐角三角形.2.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c2-a2+b2=(4ac-2bc)cosA,则 ()A.△ABC一定为直角三角形B.△ABC可能为等腰三角形C.角A可能为直角D.角A可能为钝角【解析】选BC.由余弦定理可得2bccosA=(4ac-2bc)cosA,化简可得bcosA=(2a-b)cosA.当cosA=0时,A=90°,此时△ABC为直角三角形;当cosA≠0时,可得b=2a-b,即a=b,此时△ABC为等腰三角形,cosA=b2+c2考点三正、余弦定理的综合应用【考情提示】正、余弦定理在高考中一般综合考查,主要考查三角形的面积、周长、与边有关或与角有关的最值范围问题.角度1三角形面积问题[例3](一题多法)(2023·泉州模拟)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足ccosB+(b+2a)cosC=0.(1)求C;(2)若CD平分∠ACB,且AD=2DB,CD=2,求△ABC的面积.【解析】(1)方法一:因为ccosB+(b+2a)cosC=0,所以由正弦定理可得,sinCcosB+(sinB+2sinA)cosC=0,即sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0,sin(B+C)+2sinAcosC=0,所以sinA+2sinAcosC=0,又sinA>0,所以cosC=-12.因为C∈(0,π),所以C=23方法二:在△ABC中,由余弦定理得cosB=a2+c2-又因为ccosB+(b+2a)cosC=0,所以a2+c2-b22a+a2+b2-所以cosC=a2+b2-c22ab=-12(2)方法一:因为AD=2DB,所以CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=2两边平方得,CD2=49CB2+19CA2+49CB·CA,即4a又因为CD平分∠ACB,所以ba=ADDB=2,即b=2a由①②,解得a=3,b=6,所以S△ABC=12absin∠ACB=9sin23π=方法二:在△ABC中,AD=2DB,所以ADDB=2.又因为CD平分∠ACB,所以ba=即b=2a①.在△ACD中,由余弦定理,得CA2+CD2-AD2=2CA·CDcos∠ACD,即b2+4-49c2=2b②在△BCD中,由余弦定理,得CD2+CB2-BD2=2CD·CBcos∠DCB,即4+a2-19c2=2a③由①②③解得a=3,b=6,所以S△ABC=12absin∠ACB=9sin23π=方法三:过D点作DE∥AC交CB于点E,因为∠ACB=120°,且CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠CDE=∠DCE=60°,所以△CDE为等边三角形,所以CD=CE=DE=2.又因为DEAC=BEBC=BDBA所以BC=3,AC=6,所以S△ABC=12absin∠ACB=9sin23π=【解题技法】求解三角形面积问题的方法技巧(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.【加练备选】(2022·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cosC=35(1)求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面积.【解析】(1)由于cosC=35,sinC>0,则sinC=4由正弦定理知4sinA=5sinC,则sinA=55(2)因为a=54c,cosC=35>0,所以C>A,C<π2,则A<C故b=acosC+ccosA=35a+255c=115a=11,则a=5,S△ABC=12角度2三角形中的最值与范围问题[例4]金榜原创·易错对对碰(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-b)cosC=ccosB,①求角C;②若c=2,求△ABC面积的最大值.(2)设△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+12c=①求角A的大小;②若a=2,求锐角△ABC面积的取值范围.【解析】(1)①因为(2a-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB,所以2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosC=12,因为C∈(0,π),所以C=π②因为c2=a2+b2-2abcosC,所以4=a2+b2-ab≥ab,当且仅当a=b=2时取等号,所以S△ABC=12absinC=34ab≤当a=b=2时,S△ABC取最大值3.(2)①因为acosC+12c=b,所以由正弦定理,得sinAcosC+12sinC又在△ABC中,sinB=sin(π-B)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC+12sinC=sinAcosC+cosAsinC,则12sinC=cosAsin又0<C<π,则sinC>0,所以cosA=12,又0<A<π,所以A=π②因为a=2,则bsinB=csinC=asinA=2×23=43,所以b=43S△ABC=12bcsinA=12×43sinB×43sinC×32=433sinBsinC=43=433sinB(32cosB+12sinB)=2sinBcosB+=sin2B+33(1-cos2B)=233(32sin2B-12cos2B)+33=233sin(因为△ABC为锐角三角形,所以0<B<π2π3+B>π2,解得B∈(π6所以12<sin(2B-π6)≤1,故233<233sin(2B-π6)+33≤3,则S△【解题技法】解三角形中的最值或范围问题的两种解法(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围.【对点训练】(2023·牡丹江模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2c=bcosC+3bsinC.(1)求角B;(2)若b=3,求△ABC周长的取值范围.【解析】(1)因为a+2c=bcosC+3bsinC,整理得,sinA+2sinC=sinBcosC+3sinBsinC,sin(B+C)+2sinC=sinBcosC+3sinBsinC,cosBsinC+2sinC=3sinBsinC,因为sinC≠0,所以3sinB-cosB=2,sin(B-π6)=1,B-π6=π2,可得,B(2)因为asinA=csinC=bsinB=3sin2π3=23,所以a=2所以周长=a+b+c=23sinA+23sinC+3=23(sinA+sin(A+2π3))=23(12sinA+32cosA)+3=23sin(A+π3)+3,因为0<A<π3,所以π3<A32<sin(A+π3)≤1,所以△ABC周长的取值范围为(6,3+23【加练备选】(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a-c(1)求角B的大小;(2)若BC的中点为D且AD=3,求a+2c的最大值.【解析】(1)因为2a-ccosC=b所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB,所以2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,又0<A<π,所以sinA≠0,所以cosB=12,又0<B<π,所以B=π(2)设∠BAD=θ,则在△ABD中,由B=π3知0<θ<2π由正弦定理得BDsinθ=ABsin(2π3-θ)=ADsinπ又BD=a2,所以a=4sinθ,c=2sin(2π3-θ),所以a+2c=4sinθ+4sin(2π3=6sinθ+23cosθ=43sin(θ+π6).因为0<θ<2π3,所以π6<θ+π所以12<sin(θ+π6)≤1,所以23<a+2c≤43,所以a+2c的最大值为4第2课时余弦定理、正弦定理应用举例【课程标准】能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.【考情分析】考点考法:正、余弦定理的应用主要解决与距离、高度、角度等有关的实际问题,主要以选择、填空题的形式考查.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角.如点B的方位角为α(如图②).【微点拨】仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对正北方向而言的.3.方向角相对某一正方向的水平角,即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方向线与指北或指南方向线成45°角,则称为东北方向、西南方向等.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③);(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度),坡度又称为坡比.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13241.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.东南方向就是指南偏东45°的方向B.若从A处看B处的仰角为α,从B处看A处的俯角为β,则α+β=180°C.点A在B的南偏西20°方向上,若以点B为基点,则点A的方位角为200°D.俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0,π2【解析】选AC.根据方向角与方位角的定义知A,C正确.根据仰角、俯角的定义可知B,D错误.2.(弄错方向角的含义)如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的 ()A.北偏东10°方向上B.北偏西10°方向上C.南偏东80°方向上D.南偏西80°方向上【解析】选D.由条件及题图可知,△ABC为等腰三角形,所以∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.3.(必修第二册P49例9·变条件)如图所示,为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离,已经测得岸边的A,B两点间的距离为m,∠CAB=α,∠CBA=β,则C,A间的距离为 ()A.msinβsinαC.msinβsin(α【解析】选C.因为ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,所以AC=4.(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732) ()A.346 B.373 C.446 D.473【解析】选B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q为相应的垂足(图略),由题意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM=100tan15°=B'C',所以BN=B'A'=100tan15°·sin45°sin75°=100cos15°sin45°sin15°sin75°=502sin【核心考点·分类突破】考点一测量距离问题[例1](1)(2023·龙岩模拟)如图所示,为了测量A,B两处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 ()A.206海里 B.106海里C.20(1+3)海里 D.10(1+3)海里【解析】选B.在三角形ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,∠CAD=180°-105°-30°=45°,由正弦定理得CDsin45°=ACsin105°=20×(sin60°cos45°+cos60°sin45°)sin45°=10(3+1).在三角形BCD中,∠BDCAB=AC2+B(2)萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.如图为萧窑出土的一块三角形瓷器片,其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片,现测得如下数据:AB=34.64cm,AD=10cm,BE=14cm,A=B=π6,则D,E两点间的距离为__________cm.(参考数据:3≈1.【解析】如图,延长AD,BE交于点C,因为A=B=π6,所以C=2π故ACsinB=BCsinA=ABsinC,所以AC=BC=34由题意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C=2π3,故DE==14(cm),故D,E两点间的距离为14cm.答案:14【解题技法】距离问题的类型及解法(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.【对点训练】1.(2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为__________海里.

【解析】在三角形ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=135°+15°=150°,∠CAD=180°-150°-15°=15°,所以AD=CD=8,所以AC=64+64-2×8×8×cos150°在三角形BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=15°+120°=135°,∠CBD=180°-15°-135°=30°,由正弦定理得8sin30°=BC=8·sin15°sin30°=16×sin(45°-30°)=16×(22×32-22×12在三角形ABC中,∠ACB=120°,所以AB=A=256+64×2+3×2-3答案:852.(2023·吉安模拟)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.(1)求线段MN的长度;(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN,即MN2=22+22-2×2×2×(-12)=12,可得MN=23,所以线段MN的长度为23千米(2)设∠PMN=α∈(0,2π3),因为∠MPN=π3,所以∠PNM=2π3在△PMN中,由正弦定理得MNsin∠MPN=PMsin∠PNM=PNsin∠所以PM=4sin∠PNM=4sin(2π3-α),PN=4sin∠PMN=4sinα因此PM+PN=4sin(2π3-α)+4sinα=4(32cosα+12sinα=6sinα+23cosα=43sin(α+π6),因为0<α<2π3,所以π6<α+π6<5π6,所以当α+π6=π2,即α=π3考点二测量高度问题[例2](1)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为 ()A.91m B.74m C.64m D.52m【解析】选B.在Rt△ABC中,AC=2AB=74,在△MCA中,∠MCA=105°,∠MAC=45°,则∠AMC=180°-∠MCA-∠MAC=30°,由正弦定理得MCsin∠MAC=即MCsin45°=74sin30°,解得MC=742,在Rt△MNC(2)一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶,在A,B,C三处测得道路一侧山顶P的仰角分别为30°,45°,60°,其中AB=a,BC=b(0<a<3b),则此山的高度为 ()A.122ab(aC.125ab(a【解析】选D.如图,设点P在地面上的投影为点O,则∠PAO=30°,∠PBO=45°,∠PCO=60°,设山高PO=h,则AO=3h,BO=h,CO=3h在△AOC中,cos∠ABO=-cos∠CBO,由余弦定理可得:a2+h整理得h2=3ab(a+b【解题技法】测量高度问题的求解策略(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键.(2)在实际问题中,若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.【对点训练】1.(2023·广州模拟)赤岗塔是广州市级文物保护单位,是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一,与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔.如图,在A点测得塔底位于A点北偏东60°方向上的点D处,塔顶C的仰角为30°,在A的正东方向且距D点61m的B点测得塔底位于B点北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面),则塔的高度CD约为(参考数据:6≈2.45) ()A.40m B.45m C.50m D.55m【解析】选C.由题意,BD=61,∠DAB=30°,∠DBA=45°,所以ADsin45°=61sin30°,则AD=612m,又∠DAC所以CD=13AD=13×6122.(2023·江门模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,BC的距离比AC短40米.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.(1)求