高中数学概念课型及其教学设计

中学数学概念课型与其教学设计

谭国华

【专题名称】中学数学教与学

【专题号】G312

【复印期号】2014年02期

【原文出处】《中学数学探讨》(广州)2013年6上期第4〜8页

【作者简介】谭国华，广州市教化局教研室(510030).

在我国中学数学教学中，有按课型特点设计和组织教学的传

统.但是，对于如何划分课型以与如何相识每一类课的一般结构特点

等问题，始终以来都未得到很好的解决.究其缘由，主要是我们过去

对中学数学课型的探讨基本上是依据广阔老师的教学实践阅历，对课

型结构特点的归纳总结，或者只是泛泛而谈，提出一些基本原则，缺

乏可操作性；或者因人而异，不同人的观点有很大的不同.因此，原

有的课型理论对课堂教学的指导作用有限.

在过去，由于受教化心理学特殊是教学心理学发展所限，要想专

心理学的探讨成果来指导中小学课堂教学的探讨也是心有余而力不

足，更别说是用来指导课型的探讨.但现在的状况大不相同了.从1980

年头以来，教化心理学与中小学课堂教学的关系越来越紧密，对中小

学课堂教学的指导作用越来越干脆而有力.近几年，我们借助教化心

理学的探讨成果，特殊是学习心理学和教学心理学的探讨成果指导课

型的探讨，取得较为可喜的成效.详细做法是，一方面使中学数学课

型的理论保持我国传统课型理论中课型的整体性与综合性特点，以便

利操作；同时，融入现代学习理论关于学习分类的观点，对每一种课

型中涉与的主要学问的类型与其学习的过程、有效学习的条件进行深

化的分析，以此为中学数学教学设计奠定坚实的科学基础.本文仅对

有关中学数学概念课型与其教学设计的探讨成果作简要介绍.

一、中学数学概念课型的基本特点

我国传统的课型概念有两种含义：一是指课的类型，它是按

某种分类基准（或方法）对各种课进行分类的基础上产生的.例如，

《中国大百科全书。教化卷》（1985年版）中关于课的类型，是指

依据不同的教学任务或按一节课主要采纳的教学方法来划分课的类

别.二是指课的模型，它是在对各种类型的课在教学观、教学策略、

教材、教法等方面的共同特征进行抽象、概括的基础上形成的模型、

模式.在这种意义下，课型可以看作是微观的课堂教学模式.

本文所指的课型主要是指课的类型，是依据一节课（有时是连续

的两节或三节课）担当的主要教学任务来划分的，但是同时它也兼具

课的模型的含义.

这是因为依据教学心理学的有关理论，不同的教学任务分属不同

的学问类型，而不同类型学问的学习过程与学习所需的内、外部条件

是不同的，这就导致了不同的课堂教学结构.具有某种特点的课堂教

学结构事实上就是微观的课堂教学模式，也即是课的模型.

在中学数学教学中，数学概念可以划分为原始概念和定义性概念.

原始概念一般是通过对一系列的例证干脆视察和归纳而习得，这类概

念一般不需单独设课讲授，只需结合其他概念或规则的学习附带进行

即可习得.而定义性概念中的那些次要的和易学的数学概念往往也不

单独设课讲授.但是，在中学数学概念中，有很多重要的定义性概念

往往是要单独设课讲授的，这一类课是具有共同的课堂教学结构特点

的，于是，我们将这一类须要单独设课讲授的、重要的定义性概念课

统称为中学数学概念课型.

1.教学任务分析

中学数学概念课型的主要教学任务是使学生驾驭概念所反

映的一类事物的共同本质属性，以与运用概念去办事，去解决问题.

因此，中学数学概念学习主要应作为程序性学问学习.

依据学习心理学关于定义性概念的学习过程与条件的分析，中学

数学概念教学有三项内容：一是要明确数学概念是什么，也就是要帮

助学生习得概念，这将涉与前面提到的四个方面即概念的名称、定义、

属性和例证的分析；二是要运用概念去办事，即将习得的数学概念运

用到各种详细情境中去解决相应的问题；三是要辨明相关概念间的关

系，形成概念系统.其中前两项内容完全属于中学数学概念课型的教

学任务，第三项内容中一般只有部分内容属于概念课型的教学任务，

形成完整的概念系统则属于中学数学复习课型的教学任务，我们将在

复习课型中进行探讨.

2.学与教的过程和条件

中学数学概念学与教的一般过程可以以我国教化心理学家

皮连生创立的“六步三段两分支”教学模型为线索进行分析.（详细

内容请参见参考文献［1］）

第一阶段：习得阶段

主要教学任务是帮助学生习得数学概念，明确数学概念是什

么，重点是促进学生对所学数学概念的理解.教学中，帮助学生习得

数学概念一般须要做好下面四件事情.

首先，揭示概念所反映的一类事物的本质属性，给概念下定义.

其次，辨别概念的正例和反例，并结合定义赐予恰当的说明.

再次，用不同的语言形式对概念加以说明,如将概念的定义由文

字语言表述转换为用符号语言或图形语言表述.

最终，对概念做深化分析，着重在以下四点：

①辨明所学数学概念与原有相关数学概念之间的关系；

②分析所学数学概念的其他一些重要属性或特征；

③分析所学数学概念与其形成过程中蕴含的数学思想方法；

④分析所学数学概念与其形成过程中蕴含的情感教化内容.

当然,并非每一个数学概念的教学都要完成全部这些事情.对于

一些简洁的、次要的数学概念，有时只需完成前三件事情就可以了.

习得概念的基本形式有两种:一种叫概念形成,另一种叫概念同

化.

①概念形成这是一种从辨别概念的例证动身，渐渐归纳概括出概

念的本质属性的学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的上位学习模式

来说明.（详细内容见参考文献［1］）

学与教的基本过程：

知觉辨别（供应概念的正例，引导学生分析概念例证的特征）

一提出假设（对概念例证的共同本质特征作出假设）一检验假设，使

假设精确化一概括（给概念下定义）一辨别概念的正例、反例（正例

应有助于证明概念的本质属性，反例应有助于剔除概念的非本质属

性）一用不同的语言形式对概念加以说明一对概念做深化分析（分析

与相关数学概念之间的关系，揭示概念的其他一些重要属性或特征）.

学习的内部条件（即学生自身应具备的条件）：

学生必需能够辨别正、反例证.

学习的外部条件（即教学应供应的条件）：

第一，必需为学生供应概念的正、反例，正例应有两个或两

个以上，正例的无关特征应有改变，以帮助学生更好地辨别概念的本

质属性和非本质属性；正例应连续呈现，最好能同时让学生意识到，

以帮助学生形成概括.

其次,学生必需能从外界获得反馈信息,以检验其所做的假设是

否正确.

第三，供应适当的练习，并赐予矫正性反馈.

采纳概念形成的学习方式涉与如何给概念下定义的问题.明确概

念的定义方式，对于老师更好地分析概念以与促进学生形成概括是有

帮助的.在中学数学中，对于一些重要的数学概念大多数采纳属加种

差的定义方式.这里的属是指属概念，种是指种概念.属概念和种概念

是指具有包含关系的两个概念，即假如概念A的外延真包含概念B的

外延，则称概念A为概念B的属概念，而概念B即为概念A的种概念.

通常，也称概念A为概念B的上位概念，而概念B即为概念A的下位

概念.可用公式表示：

被定义概念=种差+最邻近的属概念.

公式中，最邻近的属概念是指在被定义概念的全部上位概念中外

延最小的上位概念（属概念），种差就是被定义概念在它的最邻近的

属概念里区分于其他种概念的那些本质属性.

例如，一元二次不等式的定义是:只含有一个未知数且未知数的

最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.这个定义中，被定义概

念是一元二次不等式；最邻近的属概念是不等式；种差是“只含有一

个未知数且未知数的最高次数是2"，这是一元二次不等式独有的而

且能够将一元二次不等式与其他不等式区分开来的本质属性.

②概念同化概念同化是通过干脆下定义来揭示一类事物的共同

本质属性，从而习得概念的一种学习方式，其心理机制可用奥苏伯尔

的下位学习模式来说明.

学与教的基本过程：

呈现概念的定义一分析定义，包括揭示概念的本质属性和构

成定义的各部分的关系一辨别概念的正例、反例（正例应有助于证明

概念的本质属性，反例应有助于剔除概念的非本质属性）一用不同的

语言形式对概念加以说明一对概念做深化分析（分析与相关数学概念

之间的关系，揭示概念的其他一些重要属性或特征）.

学习的内部条件：

学生的原有认知结构中应具有同化新概念的适当的上位概

念（或结构），而且这一上位概念（或结构）越巩固、越清楚就越有

利于同化新的下位概念.

学习的外部条件：

第一，言语指导，以帮助学生更好地理解概念的本质属性.

其次，供应符合概念定义的正例和不符合概念定义的反例.

第三，供应适当的练习，并给以矫正性反馈.

其次阶段：转化阶段

第一阶段习得的概念仍属于概念的陈述性形式.若要运用概

念对外办事，则还需将它转化为程序性形式，也就是转化为办事的技

能.这是本阶段的主要教学任务，重点是要明确运用概念办事的情境

和程序，并在一些典型的情境中尝试运用概念.转化的关键条件是要

供应变式练习.

运用数学概念办事大致可分两种状况:一种是为数学概念自己办

事，解决与数学概念本身有关的问题；另一种是运用概念的本质属性

和一些重要的非本质属性去解决有关数学运算、推理、证明问题以与

解决实际问题.例如，函数概念的运用，一种是为函数自己办事，如

求函数的解析式、函数值、定义域、值域，作函数的图象，判定函数

的单调性和奇偶性，求函数的最值等；另一种是运用函数的概念、图

象、性质等解决与方程、数列、不等式等相关问题，或建立函数模型

解决实际问题.函数概念教学与变式练习的重点就在于娴熟驾驭每一

种情境中办事的程序和步骤.

第三阶段：迁移与应用阶段

这是其次阶段的延长.通过变式练习，学生已能在一些典型

的情境中运用概念，已初步形成运用概念对外办事的技能.本阶段是

要进一步供应概念应用的新情境，以促进迁移，其关键条件是供应综

合练习.综合练习中问题的类型或情境应多样化，和其次阶段相比有

类似的，也有新的呈现，以有效地帮助学生在不怜悯境中独立运用概

念解决问题.这一阶段既可在课内完成，也可在课外完成，但通常都

要反复多次才能完成.

3.中学数学概念课教学的基本程序

依据上面的分析，结合广义学问学与教的“六步三段两分

支”教学模型，我们可以将中学数学概念课型教学的基本程序简要归

纳为：

第一阶段：习得阶段(习得数学概念)

(1)引起留意与告知目标，使学生对学习新概念产生肯定

的预期，从而激发学生的学习动机.

(2)提示学生回忆原有学问，以便为同化新概念做好打算.

(3)引入概念，使学生初步感知概念的本质属性.这里，既要从

学生接触过的详细内容引入，也要留意从数学内部提出问题.

(4)采纳概念形成或概念同化的形式帮助学生习得概念的陈述

性形式，即理解概念.

其次阶段：转化阶段(将习得的概念转化为办事的技能)

(5)通过变式练习促进学生将习得的陈述性形式的概念转

化为程序性形式，即转化为办事的技能.

第三阶段：迁移与应用阶段（运用概念对外办事）

（6）通过课外作业、复习、间隔练习和在后续课程内容中

应用概念等多种形式，为学生供应概念应用的情境，促进保持与迁移.

依据中学数学教学的特点，第一、二两个阶段的5步通常是在课

内完成.第三阶段即第6步为概念的巩固、迁移和应用阶段，通常是

在课外和后续的课程中完成.

对于以学案自学为主的教学则需考察其学案编写以与老师课堂

上供应的帮助是否有助于学生完成学习的三个阶段.

二、中学数学概念课型教学设计举例

下面以《对数函数与其性质》（详细内容见参考文献［2］第

节）的教学过程分析为例，详细说明中学数学概念课型的教学设计过

程.

1.教学任务分析

本节教材有两项学习内容：

（1）对数函数的概念；

（2）反函数的概念.

第（1）项内容属于定义性概念学习，需达到驾驭水平.对对数函

数概念的学习需采纳数形结合方法从数和形两个方面绽开.

第（2）项内容也属于定义性概念学习.中学数学课程标准对反函

数的学习要求已经降低.本课学习反函数的概念，主要为了帮助学生

明确对数函数和指数函数间的关系，从而深化对数函数概念的理解.

因此，本节教材主要是对数函数概念的学习，反函数概念的学习只需

达到了解水平即可.

本节教材的主要教学任务是对数函数概念的教学，属于概念课

型，需按中学数学概念课的课型特点来设计整个教学过程.详细教学

要做到三点：

第一，要帮助学生明确对数函数概念是什么，包括四个方面:

对数函数的定义、名称、例证和属性.依据函数的特点，对对数函数

属性的探讨应包括形和数两个方面.

其次,要运用对数函数概念去办事,教材主要要求能解决三方面

问题：求对数型函数的定义域，比较两个对数值的大小，解决简洁的

实际问题.

第三，要明确对数函数与指数函数与函数的关系.其中,辨明对

数函数概念与指数函数概念的关系须要先介绍反函数概念.

本节教材一般应支配2课时.第1课时学习对数函数的概念、图

象与性质.第2课时学习运用对数函数解决简洁的两数大小比较、运

用对数函数模型解决简洁实际问题和反函数概念.为了帮助学生形成

运用对数函数概念去办事的实力，须要补充适量的变式练习题.

2.教学的基本过程

第一阶段：习得阶段.习得对数函数的概念.

第一步引起留意与告知目标.

通过本课的学习，学生应能做到：

（1）初步驾驭对数函数的概念.包括：

①能陈述对数函数的定义，并能列举正例、反例加以说明；

②能用描点法画出详细对数函数的图象，并能用自己的话描

述一般对数函数的图象特征和基本性质；

③能依据对数函数的单调性比较两个对数值的大小.

(2)了解反函数的概念，进一步明确对数函数和指数函数之间

的关系.

(3)通过对实际问题的分析，能初步相识到对数函数模型与现

实生活以与与其他学科的亲密联系和应用价值，提高数学应用的意识.

其次步复习原有学问.

对本课学习影响较大的原有学问,一是函数概念和指数函数概

念，二是描点法画函数的图象.对数函数的定义是属加种差的定义方

式，函数是其上位概念，也是其最邻近的属概念.因此，在学习新课

之前，应帮助学生回忆函数和指数函数的定义，以与函数图象的画法.

第三步采纳概念同化方式习得对数函数的定义.

习得对数函数的定义可以采纳概念形成的方式，也可以采纳概念

同化的方式.如采纳概念形成方式则需列举两至三个正例.我们这里

是采纳概念同化方式.

(1)引入概念

教材供应了一个引例：通过碳14的含量测量出土文物的年

头.这个引例能起两方面的作用：一是使学生初步感知对数函数的概

念；二是使学生相识对数函数的应用价值，激发学生的学习动机.老

师应引导学生视察教材中给出的t和P的取值的对应表，体会“对每

一个碳14的含量P的取值，通过对应关系巴J,都有唯一的生物死

亡年数t与之对应”，从而说明t是P的函数.

(2)呈现并分析定义

依据对数函数的定义方式，分析时要讲清两点：一是最邻近

的属概念，二是种差.在对数函数的定义中，最邻近的属概念是函数，

函数与对数函数构成了上下位关系，即对数函数是一种函数；种差是

指两个变量间的对应关系为回I(a>0,且aWl),种差也就是对数

函数区分于其他函数的本质属性，即对数函数是一类特殊的函数.

分析定义的目的是为了帮助学生形成对定义的深化理解.老师可

以提出一些问题供学生思索.例如：定义中为什么要规定a>0,且

aWl?为什么对数函数I曰J(a>0,且aWl)的定义域是(0,+°°)?

(3)列举正例与反例

通过列举正例、反例，帮助学生进一步加深对概念的理解.

第四步采纳概念形成方式习得对数函数的图象与性质.

对各种不同的函数的概念学习都包括数和形两个方面，画函数图

象既是为了获得函数的性质，也是为了从形的方面更好地理解函数概

念.将图象上视察到的共同特征用代数语言表达出来，就得到一类函

数的性质.这一过程体现了数形结合的基本思想.

(1)在同一坐标系内采纳描点法画出对数函数的图象

应分0Va<l和a>l两种状况，每种状况至少举两个对数

函数的例子，在同一坐标系内采纳描点法画出它们的图象.有的老师

在教学时，每种状况都只举一例，这是不能形成对共有的关键特征的

概括的.有的老师说教材也只举一例，这是不对的.教材中有一段话：

“选取底数a（a>0,且aWl）的若干个不同的值，在同一平面直角

坐标系内作出相应的对数函数的图象.视察图象，你能发觉它们有哪

些共同特征吗？”教学时应落实教材的这个意图.

（2）通过视察图象的特征，概括出一般对数函数的性质

视察和分析图象，归纳它们的共同特征和性质，并由此概括

出一般对数函数的图象特征和性质.

其次阶段:转化阶段.将•习得的对数函数概念转化为办事的技能.

第五步样例学习和变式练习

这一步主要任务是帮助学生学会如何运用概念去办事，其核

心是驾驭运用的方法与步骤.依据教材的要求，分为三种状况.

（1）运用对数函数定义解决求对数型函数的定义域问题

教材中供应了两个例题，均属于对数型的函数.

教学中应结合这两个例题分析对数型函数与对数函数的异同，以

与总结求这类函数定义域的基本方法.

例1求函数［MJ（a>0,且aWl）的定义域.

通过样例学习后让学生小结求对数型函数的定义域的步骤，并进

行变式练习.如求下列函数的定义域：

（2）运用对数函数性质解决比较两个对数值大小的问题

教材中供应了三个例题，三个例题分属三种类型.教学中应

结合这三个例题，总结运用对数函数的单调性比较两个对数值的大小

的基本方法.同样，先学习样例，然后再进行变式练习.

例2比较下列两个值大小：

回

在学习例2时，老师可以提出一些问题引发学生的思索.如

本题