2021年中考数学全真模拟卷(江苏无锡专用)·1月卷(解析版)

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备战2021年中考数学全真模拟卷•1月卷

第一模拟

注意事项：

本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自

己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2020秋•南京期末）-2021的倒数为（）

【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案.

【解答】解：-2021的倒数为：

2021

故选：A.

【知识点】倒数

2.（2020秋♦抚顺县期末）一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为6.5X10,这个数用小数表示为

（）

A.0.00065B.0.000065C.0.0000065D.0.00000065

【分析】把6.5的小数点向左移动6位即可求解.

【解答】解：6.5X106,这个数用小数表示为0.0000065.

故选：C.

【知识点】科学记数法一原数、科学记数法一表示较小的数

3.（2010秋•南川区期末）化简：（-/）一代（一层）］的结果是（）

A.2h2-a2B.-a2C.a2D.cr-Hr

【分析】根据去括号的法则计算即可.

【解答】解：-［-（-t?）-m-什（-/）］=-（a2-/）-（-b1'）--a1+lr+b2=2b2-a2

故选：A.

【知识点】去括号与添括号

4.（2018春•越秀区校级期中）如果3/厂2"-4式小+12=0是关于x、y的二元一次方程，那么相、”的值分

别为（）

A.m=2,〃=3B.m=2,〃=1C.m=-1,n=2D.m=3,〃=4

【分析】利用二元一次方程的定义判断即可.

【解答】解：：3552〃-4）尸［"+12=0是关于工、.丫的二元一次方程,

.f3m-2n=l

1n-m=1

m=3

解得:>

n=4

故选：D.

【知识点】二元一次方程的定义

5.（2020秋•二道区期末）如图，在△ABC中，NB=80°,NC=30°.若△ABC丝ZDAC=35°,

则/E4C的度数为（)

B.35°C.30°D.25°

【分析】利用全等三角形的性质可得NBAC=/OAE,再利用三角形内角和可得NBAC的度数，然后可得

答案.

【解答】解：；/8=80°,NC=30°,

...NBAC=180°-80°-30°=70°,

,//XABC^/XADE,

：.ZBAC=ZDAE,

:.NBAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

：.ZEAC=ZBAD=10°-35°=35°,

故选：B.

【知识点】全等三角形的性质

6.（2020秋•香坊区期末）如图，以△ABC的边A8、AC为边向外作等边△A8Q与等边△ACE,连接BE交

0c于点F,下列结论：①C£>=BE；②以平分/OFE；③/8FC=120°；④绘延”=黑.其中正确

^AEFCFC

的有（）

D

B

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】由“SAS”可证△AOC丝ZVIBE,由全等三角形的性质可推出①②③正确，利用三角形的面积公

式可判断④正确.

【解答】解：过点4作4M，。。于用，ANLBE于N,过点C作C77LBE于4，

D

V/\ABD,△ACE都是等边三角形，

：.AD=AB,AE=AC,ND48=NEAC=60°,

ZDAC=NBAE,

在△4OC和△ABE中，

'AD=AB

<ZDAC=ZBAE.

AC=AE

AAADC^AABE(SAS),

:.CD=BE,ZAEB=ZACD,故①正确

：.AM=AN,

•.•4M_LC£>于M,AN1BE于N,

平分NOFE,故②正确，

,/ZAEB^ZACD,

：.ZAEC+ZACE^120°=ZAEB+ZBEC+ZACE,

：.ZACF+ZBEC+ZACE=120°,

：.ZBFC=\20°,故③正确,

：.ZDFE=120°,

ZDM=ZEM=60°=NCFE,

'：AN1.BE,CHIEF,

:.NFAN=NFCH=30°,

:.AF=2FN,AN=MFN,FC=2FH,HC=gFN,

：.AN=J^-AF,HC=®FC,

22

C7-XEFXAN

二学迎=:----------=黑，故④正确，

SAEFCyXEFXCHFC

故选：A.

【知识点】等边三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质

7.（2020秋•吴兴区期末）如图，将边长为6的正六边形4BCDEF沿HG折叠，点B恰好落在边A尸的中点

上，延长8'C交所于点M,则C'M的长为（）

【分析】过点”作曲延长的垂线“Q,设A”=x,可得AQ=*x,QH=J^-x,可得BH=B'H=AB-AH

=6-x,由A8'=^AB=3,可得8'Q=B'A+AQ=3+^x,在中，根据勾股定理即

可得x的值，再证明△AB'Ms^FMB',对应边成比例即可求出结果.

【解答】解：如图，过点〃作布延长的垂线”。，

；NBAF=120°,

...N/M0=6O°,N〃QA=90°,

AZAHQ=30°,

设AH=x,，4。=当，。"=亚x,

22

H=AB-AH=6-x,

=—AB=3,

2

：.B'Q=B'A+AQ=3+志，

在RtZkB'"Q中，根据勾股定理，得

B'H2=B'Q1+QH2,

(6-x)~=(3+—x)2+—x2,

24

解得x=1,

5

91

：.B'H=6-x^—,

6

■：ZHAB1=NF=NHB'M=120°,

：.AAHB'+ZAB'H=60°,NFB'M+ZAB'H=60°,

：.ZAHB'=NFB'M,

.'.△AB'Ms^FMB',

•B7HAH

「B，ICB，F'

219

."T_~5

•丁M丁

解得8'M=7,

：.CM=B'M-B'C'=7-6=1.

故选:A.

【知识点】翻折变换(折叠问题)、正多边形和圆

8.（2020春•巴马县期末）如图，一次函数》=办+8与一次函数），2=日+4的图象交于点尸（1,3）,则下列

说法正确的个数是（）

①x=l是方程ox+b=3的一个解；

②方程组（Xax+b的解是卜=3；

（y=kx+4Iy=l

③不等式ax+h>kx+4的解集是x>1；

④不等式ax+b<loc+4<4的解集是0VxV1.

丫2=foc+4y

y,=ax~b

【分析】根据函数图象可以宜接作出判断.

【解答】解：①如图所示，一次函数yi=ac+6与一次函数”=心，+4的图象交于点P(1,3).则点?(1,3)

位于直线》=依+6上，所以x=l是方程数+6=3的一个解，故①说法正确.

②如图所示，一次函数yi=ax+b与一次函数>2=履+4的图象交于点P(1,3),则方程组1片2“+5

y=kx+4

的解是｛x：；,故②说法错误.

③如图所示，一次函数yi=or+6与一次函数”=6+4的图象交于点P(1,3),则不等式ax+£>

>辰+4的解集是x>l,故③说法正确.

④如图所示，一次函数yi=ox+〃与一次函数y2=履+4的图象交于点P(1,3),且宜线以=h+4

与y轴的交点是(0,4),则不等式分+b<依+4<4的解集是0<x<l,故④说法正确.

综上所述，说法正确的个数是3,

故选：C.

丫2=Ax+4y

y,=ax-b

【知识点】一次函数与二元一次方程(组)、一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质

9.(2020秋•丰南区期中)如图，一段抛物线：y=-x(x-3)(0«),记为G，它与x轴交于点。,

Ai；将Ci绕点Ai旋转180°得C2,交x轴于点A2；将C2绕点4旋转180°得C3,交x轴于点A3;…,

如此进行下去，直至得C”.若P(32,在第11段抛物线Cu上，则机值为()

A.2B.1.5C.-2D.-2.25

【分析】求出抛物线G与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方，然后求出到抛物

线©3平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线Cu的解析式，然后把点P的坐标代入

计算即可得解.

【解答】解：令y=0,则-x(x-3)=0,

解得笛=0,*2=3,

二4(3,0),

由图可知，抛物线Cu在x轴上方，

相当于抛物线G向右平移6X5=30个单位得到，

抛物线CH的解析式为y=-(x-30)(x-30-3)—■(x-30)(x-33),

'：P(32,m)在第11段抛物线Cu上，

：.m=-(32-30)(32-33)=2.

故选：A.

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、抛物线与x轴的交点、二次函数的

性质

10.(2020•青山区模拟)已知。。的半径为2,A为圆内一定点，AO=l.P为圆上一动点，以AP为边作等

腰△APG,AP=PG,ZAPG=U0Q,0G的最大值为（）

C.2+V3D.2M-1

【分析】如图，将线段0A绕点。顺时针旋转120°得到线段OT,连接47,GT,OP.则40=07=1,AT

=、乃，利用相似三角形的性质求出GT,再根据三角形的三边关系解决问题即可，

【解答】解：如图，将线段OA绕点。顺时针旋转120°得到线段07,连接4T,GT,OP.则AO=OT=1,

AT=心

,：/\AOT,/XAPG都是顶角为120°的等腰三角形,

：.ZOAT=ZPAG=3Q°,

pAPA/3

：.ZOAP^ZTAG,==2

ATAG

•OAAL

,•瓦=「而’

：./\OAP^/\TAG,

二型=怨=返，•/op=2,

TGTA3

：.TG=2y/3,

'：OG^OT+GT,

，OGW1+26

；.OG的最大值为1+2«,

故选：B.

【知识点】等腰三角形的性质、圆周角定理

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上)

11.(2020春•番禺区校级月考)分解因式：a/-4a=.

【分析】直接找出公因式“，进而提取公因式得出答案.

【解答】解：ab3-4a=a(b3-4).

故答案为：a(〃-4).

【知识点】因式分解-提公因式法

12.(2020秋•武侯区校级期中)已知实数a满足4a-2021+12020-a|=a,则a-2020』.

【分析】根据二次根式有意义的条件得到。》2021,根据绝对值的性质化简得到“=202()2+2021,把。的值

代入所求的式子计算,得到答案.

【解答】解：要使Ua-2021有意义,则〃-2021》0,

解得，。》2021,

•Wa-2021+a-2020=。，

•••■-2021=2020,

；.4=20202+2021,

：.a-202()2=2021,

故答案为:2021.

【知识点】二次根式有意义的条件、实数的运算

13.（2020春•甘井子区期末）如图，A8〃C£）,/FG8=150°,FG平分NE"）,则NAEF的度数等于

【分析】利用平行线的性质计算出/GF£＞的度数，进而可得/EFD的度数，然后再利用平行线的性质可得

答案.

【解答】解：,：AB//CD,NFGB=150°,

：.ZGFD=30°,

■:FG平令乙EFD,

:.NEFD=60°,

'CAB//CD,

；.NAEF=NEFD=60°,

故答案为：60.

【知识点】平行线的性质

14.（2020秋•海淀区校级月考）如图，梯形ABC。中，AB//CD,A8=A£）=14,BC=18,CO=34,/4、

NO的角平分线交于点E,NB、NC的角平分线交于片则EF=.

【分析】延长AE交CD于G,延长8尸交CD于4，根据平行线的性质、角平分线的定义得到ND4G=N

AGD,根据等腰三角形的判定定理得到OG=A£＞,根据等腰三角形的性质得到AE=EG,同理得到

8F=尸”，根据梯形中位线定理计算，得到答案.

【解答】解：延长4E交C£＞于G,延长8/交。。于H,

'JAB//CD,

J.ZBAG^ZAGD,

平分/BAO,

：.ZBAG=ZDAG,

：.ZDAG=ZAGD,

：.DG=AD=\4,

•.例平分/57，

J.AE^EG,

同理，CH=BC=18,BF=FH,

:.GH=DC-DG-CH=2,

"：AE=EG,BF=FH,

：.EF=—X(AB+GH)=—X(14+2)=8,

22

【知识点】梯形

15.（2020秋•大邑县期中）己知“、虫c满足一L=——=^=h从下列四点：①（1,A）.②（2,

a+cc+ba+b2

1）；③（1,-小；@（L7）,中任意取一点恰好在正比例函数尸质图象上的概率是—.

【分析】根据。、b、。满足上=-—=，一=%,可求出k的值，再判断四个点中在正比例函数y=h图

a+cc+ba+b

象上的情况，进而求出概率即可.

【解答】解：•••卫-=」-=-^=上

a+cb+ca+b

・

a+b+c------l.r

a+c+b+c+a+b

2

当％=微■时，正比例函数y=*x,

下列：①（1，*）；②（2,1）；③（1,-y）；④（1,-1）四个点中，

只有点①（1,*）在正比例函数尸点的图象上，

•.•产p仔取也恰好在正比例函数）•=心图象：.-_----1-

4

故答案为：-y.

4

【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、概率公式

16.（2021•虹口区一模）如图，图中提供了一种求cotl5°的方法.作RtZXABC,使NC=90°,NABC=30°,

再延长C8到点O,使80=84,联结AD,即可得/。=15°.如果设4c=r,则可得C£>=（2+«）r,

那么cotl5°=cotQ="g=2+J5.运用以上方法，可求得cot22.5°的值是.

Av

D匚

B

【分析】利用题中的方法构建一个RtAAZJC,使/£>=22.5°,然后利用余切的定义求解.

【解答】解：作RlZVlBC,使/C=90°,/48C=45°,再延长CB到点。，使8O=BA,联结

■:AB=BD,

：.ZBAD=ZD,

"：NABC=NBAD+ND,

ZD=—ZABC=22.5°,

2

设AC=f,则BC=f,AB=®t,

：.CD=BC+BD=t+y[2t=（V2+Dt,

在RtAADC中，cot£>=丝=-虫+1）弋=&+1,

.".cot22,5°=V2+1.

故答案为圾+1.

【知识点】含30度角的直角三角形、解直角三角形

17.（2020秋•涪城区月考）如图，抛物线y=Y-尊v+5与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），

Oo

与），轴交于C,在其对称轴上有一动点俯，连接AM、MC,AC,则当△MAC的周长最小时•，点M的坐

标是-.

【分析】点A关于函数对称轴的对称点为点8,连接C8交函数对称轴于点M,则点M为所求点，即可求

解.

【解答】解：点A关于函数对称轴的对称点为点8,连接CB交函数对称轴于点例，则点M为所求点，

理由：连接AC,由点的对称性知，MA=MB,

△MAC的周K=AC+MA+yWC=AC+M8+MC=CA+BC为最小，

令了二会2--^金+5=0,解得x=l或3,令x=0,则y=5,

oo

故点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,5),

则函数的对"称轴为x=£(1+3)—2,

设直线8c的表达式为y=fcr+b,则|°=3k+b,解得|卜二万，

1b=5b=5

故直线BC的表达式为尸-疑5,

RR

当x—2时，y=-?X+5=K

33

R

故点A7的坐标为(2,y).

【知识点】二次函数的最值、二次函数的性质、轴对称-最短路线问题、抛物线与x轴的交点

18.(2020•浙江自主招生)如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以CB为半径作OC,交AC于点。，交

AC的延长线于点E,连结8£),BE.若黑=/，N8AC的平分线AF=2,则0C的半径为___.

BC3

【分析】先证明再根据A8：8c=4：3,可设A8=4,BC=3,求出AC的值，再利用(I)

中结论可得A82=4Z>4E,进而求出AE的值，所以tanE=2D=£殳，设A8=4x,8c=3x,由于

BEAE

已知4尸的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道半径3x的值.

【解答】解：•.•NABC=90°,

/.ZABD=90°-ZDBC,

由题意知：/)E是直径，

:.NDBE=90°,

:.NE=90°-NBDE,

*：BC=CD,

:.NDBC=ZBDE,

：.ZABD^ZE,

；NA=N4,

'：AB：BC=4：3,

.•.设AB=4,BC=3,

/MC=VAB2+BC2=5,

“：BC=CD=3,

J.AD^AC-CD^5-3=2,

,?△A8QSZ\AEB,

,,AEAB^BE'

:.AB2=AD-AE,

.♦.42=2AE,

：.AE=S,

在RlADBE中

「AB：BC=4：3,

，设AB=4x,BC=3x,

，由上可知；AE=Sx,AD=2x,

：.DE=AE-AD=6x,

尸平分N54C,

.BF_AB

•♦丽-AE'

.BF4X=1

，-EF=8x2,

•；tanE=—,

2

cosE--'^-,sin£=^-^-,

55

BE_275

1一,

DE5

12恒

BE=■A,

5

EF=ZBE=MAX,

35

sin£=—=2^,

EF5

MF=^x,

5

tanE=—,

2

5

AM=AE-ME=—24x,

5

AF2=AM2+MF2,

)2+(之)2,

5

8

OC的半径为：3x=g叵.

8

【知识点】圆的综合题

三、解答题(本大题共10小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤)

19.(2020春•漂水区期末)因式分解：

(1)a3-2a2+a；

(2)4a2(2x-y)+b2(y-2x).

【分析】(1)先提公因式”，再利用完全平方公式进行因式分解即可；

(2)先提公因式(2r-y),再利用平方差公式进行因式分解即可；

【解答】解：(1)原式=a(a2-2a+\)=a(a-1)2,

(2)原式=(2r-y)(4a2-b2)=(2x-y)(2a+b)(,2a-b).

【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

20.(2020秋•金水区校级期中)解下列方程：

(1)4f-8x-3=0；

(2)(x+4)2=5(x+4).

【分析】(1)利用配方法解出方程；

(2)利用提公因式法解出方程.

【解答】解：(1)4X2-8X-3=0,

移项，得f-2x=W，

配方，得f-2x+l=W+1,

4

则(X-1)2=±2/Z,

_2

.'.x=±2ZZ+i,

2_

/.Xl=-^^-+1,X2=^-+\;

22

(2)(x+4)2=5(x+4),

移项，得(x+4)2-5(x+4)=0,

(x+4)(x+4-5)=0,

(x+4)(x-1)=0,

：.X\=-4,X2=l.

【知识点】解一元二次方程-配方法、解一元二次方程-因式分解法

21.(2020•镇江)(1)解方程：2-=」一+1；

x+3x+3

4x+2>x-7,

(2)解不等式组:

3(x-2)<4+x.

【分析】(1)解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1,检验；

(2)先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部分求解即

可.

2x=l+x+3,

2x-x=1+3,

x=4,

经检验，x=4是原方程的解,

・•・此方程的解是x=4；

‘4x+2>x-7①

(2)〈/、/­，

3(x-2)<4+x②

①4x-x>-2-7,

3x>-9,

x>-3；

②3x-6<4+x,

3x-x<4+6>

2x<10,

x<5,

不等式组的解集是-3<x<5.

【知识点】解分式方程、解一元一次不等式组

22.(2020秋・盐湖区期末)运城市对市民开展了有关雾霾的调查问卷，调查内容是“你认为哪种措施治理

雾霾最有效”，有以下四个选项：

4绿化造林&汽车限行C：拆除燃煤小锅炉》使用清洁能源.

调查过程随机抽取了部分市民进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

(1)这次被调查的市民共有多少人？

(2)请你将统计图1补充完整.

(3)求图2中。项目对应的扇形的圆心角的度数.

(4)请你结合自己的实际情况对有效治理雾霾提几点建议.(至少写一条)

人数人

图1图2

【分析】(1)从两个统计图可得，“A组”的有20人，占调查人数的10%,可求出调查人数;

(2)求出“C组”人数，即可补全条形统计图：

(3)样本中，“。组”占黑，因此圆心角占360。的黑，可求出度数；

200200

(4)从减少尾气排放、增加植树造林等方面提出意见和建议..

【解答】解：(1)20・10%=200(人)，

答：本次调查的人数为200人；

(2)200-20-80-40=60,补全条形统计图如图所示：

40

(3)360°X3-=72°,

200

答：图2中。项目对应的扇形的圆心角的度数为72°；

(4)①建议绿色出行，尽量乘坐公共交通工具上班，减少开车的次数,

②加强植树造林，增加绿化面积，提高绿化率，还绿水青山.

图1

【知识点】条形统计图、调查收集数据的过程与方法、扇形统计图

23.(2020春•市南区期末)某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，并规定：顾客每

购买30元的商品就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾

客就可以获得100元、50元，20元的购物券，(转盘被等分成20个扇形)，已知甲顾客购物320元

(1)他获得购物券的概率是多少？

(2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？

(3)若要让获得20元购物券的概率变为告，则转盘的颜色部分怎样修改？请说明理由.

5

【分析】(1)根据题意直接利用概率公式求出答案；

(2)根据题意直接利用概率公式求出答案；

(3)利用概率公式找到改变方案即可.

【解答】解：(1)•••共有20种等可能事件，其中满足条件的有11种,

：.P(获得购物券)=聂

20

（2）由题意得：共有20种等可能结果，其中获100元购物券的有2种，获得50元购物券的有

4种，获得20元购物券的有5种，

=2=工

：.P（获得100元）~20-10

P（获得50元）=20"S-：

旦=工

P（获得20元）=20-T

（3）直接将3个无色扇形涂为黄色.

【知识点】概率公式

24.（2020秋•芝景区期中）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图①是他的电脑液晶显示器的

侧面图，显示屏A8可以绕。点旋转一定角度，图②是平面示意图.研究表明：当眼睛E与显示屏顶端

A在同一水平线上｛AE//CD'）,且望向显示器屏幕中心形成一个18°俯角（即点尸是AB中点，ZAEP

=18°）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线垂直时，观看屏

幕最舒适，此时测得N8CD=30°,ZAPE=90°,液晶显示屏的宽A8为32c〃?.（参考数据：sinl8°-

0.31,cosl8°入0.95,正亡1.41,«七1.73）

（1）求眼睛E与显示屏顶端4的水平距离AE；（结果精确到0.1c%）

（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC.（结果精确到0.1c机）

【分析】（1）由己知得根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平

距离AE；

（2）如图，过点8作4c于点F,根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示

屏顶端4与底座C的距离AC.

【解答】解：（1）由已知得

在RtAAPE't1,

AP

VsinZAEP=—,

AE

碧-3.3皿

""sin/AEPsinl80.3

答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53.3o%;

(2)如图，过点3作引UAC于点立

VZEAB+ZBAF=90°,NEAB+NA"=90°,

：.ZBAF=ZAEP=\S°,

在RtZ\A8/中，

4尸=A8・cosN8A尸=32Xcos180-32X0.95*30.4,

BF=AB-sinZBAF=32Xsinl8°^32X0.31^9.92,

■:BF//CD,

：.ZCBF=ZBCD=30°,

CF=B/-'.tanZCBF=9.92Xtan300=9.92X返=5.72,

3

."C=A尸+C尸=30.4+5.72=36.1(cm).

答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为36.1CM.

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

25.(2020秋•香坊区期末)已知：等边△ABC,点。为AC上一点，DF±BC,垂足为点F,点、E为BC延

长线上一点，分别连接。8、DE,AD=CE.

(I)如图1,AD^CD,求证：BF=EF：

(2)如图2,点G为BC中点，连接OG,若AD=CD,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图

中所有是△OFG面积二倍的三角形.

【分析】(I)作。M〃8c交A8于例，根据等边三角形的性质得/4=/4&?=/4。8=60°,AB=AC,

则N£>CE=120°,由。历〃BC得乙4Mo=60°,可证△4MO为等边三角形，则4£>=DW=4例，

而4C=CE,则。M=EC,所以MB=OC,利用“S4S”可判断丝△£>",则BD=£)E,然

后根据等腰三角形的性质由OFLBC得到BF=EF；

(2)由直角三角形的性质和等边三角形的性质可得BG=GC=2CF=AD=CE,由三角形的面

积公式可求解.

【解答】证明：作QM〃BC交A8于M,如图，

•••△ABC为等边三角形，

：.ZA=ZABC=ZACB=60°,AB=AC,

...NOCE=120°,

'JDM//BC,

/.Z4MD=60°,

；./BMD=120°,△AMO为等边三角形，

：.AD=DM^AM,

'：AD=CE,

：.DM=EC,

：.AB-AM=AC-AD,

：.MB=DC,

在△BMC和△OCE中，

rIB=DC

<ZBMD=ZDCE,

DM=CE

：./\BMD^ADCE(SAS),

：.BD=DE,

而DFLBC,

：.BF=EF；

(2),JAD^CD,△ABC是等边三角形，

J.BDLAC,NABD=NCBD=30°,

；.BC=2CD,

,：ZACB=60Q,DFLBC,

：.ZCDF=30°,

：.CD=2CF,

：.BC=4CF,BF=3CF,

•••G是BC中点，

BG=GC=2CF=AD=CE,

：.ADGC,ADBG,△0CE的面积是△。尸G面积的二倍.

【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定与性质

26.(2020秋•南沙区期中)如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是边CZX8c上的两点，且/区4Q=45°,

AE、AF分别交正方形的对角线8。于G、”两点，将△AOE绕点4顺时针旋转90°后，得到△ABQ,

连接EF.

(1)求证：以平分NQAE.

(2)求证：EF=BF+DE.

(3)试试探索84、HG、GO三条线段间的数量关系，并加以说明.

【分析】(1)将△4OE绕点A顺时针旋转90°得到△A8。，根据旋转的性质可得/34。=/D4E,则可得

出结论；

(2)先判断出点Q、8、F三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AQF全等，根据全

等三角形对应边相等可得EF=QF,再根据QF=8Q+BF等量代换即可得证.

(3)把△A8“绕点A逆时针旋转90°得到△AOM.连结GM.证明△A”G丝ZXAMG(SAS),

由全等三角形的性质得出MG=HG.求出NGDM=90°,由勾股定理就可以得出结论HG2=

GE^+BH1.

【解答】(1)证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△A8Q,此时A8与AO重合，

由旋转可得：ZBAQ^ZDAE,

：NE4F=45°,

：.ZDAE+ZBAF=ZBAD-ZEAF=90Q-45°=45°,

ZBAQ=ZDAE,

：.ZBAQ+ZBAF=45a,

即月

：.FA平分/04E.

(2)证明：•.•将△月。E绕点4顺时针旋转90°得到△ABQ,此时AB与AO重合，

：.AB^AD,BQ=DE,/ABQ=/£>=90°,

：.ZABQ+ZABF=900+90°=180°,

因此，点。，B,F在同一条直线上，

'：AQ=AE,ZQAF=ZEAF,AF=AF,

:.△QM:9l\EAF(SAS),

：.QF=EF,

:.EF=BF+DE；

(3)解：BH、HG、GO三条线段间的数量关系为〃G2=Gr>2+8〃2.

证明：如图，在正方形48c力中，A8=AO,N8AO=90°,

/.ZABH=ZADG=45°.

把△4BH绕点A逆时针旋转90"得到连结GM.

:.DM=BH,AM^AH,/A£)M=/A3H=45°,NDAM=NBAH.

ZADB+ZADM=45°+45°=90°,

即NGZ)M=90°.

VZEAF=45°,

...N544+/D4G=45°,

.../£>AM+NZME=45°,

即NMAG=45°,

，/MAG=ZHAG.

在△A/7G和aAMG中，

fAH=AM

</HAG=/MAG，

AG=AG

.♦.△4HG丝△AMG(SAS),

:.MG=HG.

'：ZGDM=9QQ,

：.MG2^GD2+DM2,

:.HG2^GD2+BH2.

【知识点】四边形综合题

27.(2020秋•东海县期中)【问题情境】如图1,C,。是/AOB的边OA上两点，在边08上找一点P,使

得NCPQ最大.

【问题解决】小明在解决这个问题时认为：如图2,同时过C、。两点的圆与OB边相切于点P,当且仅

当取此切点时，/CPO才最大.

（1）小明证明自己结论的思路是：在射线。8上任取另一点P1（不同于切点P）,证明

即可请完成小明的证明；

【结论应用】请和小明一起，利用“问题情境”的结论解决下列问题：

（2）如图3,一幢楼BC上有一高为2m的信号塔A8,当观测点E在水平地面C。上，且满足CE=6万

时，看信号塔A3的视角（即/AEB）最大，求楼高8C；

（3）如图4,四边形ABC£>中，/4=/B=90°,ZBCD=60°,BC=9,对角线AC平分NBCD点

E是8C上一点，请问当8E的长满足什么条件时，在线段4。上恰好只存在一点P,使得NBPE=60。?

（直接写出结果，不必写出解答过程）

【分析】（l）NCPD=NCED,ZCED>ZCP}D,即可求解；

（2）证明OECF为矩形，以0为圆心08为半径的圆0,必与C。切于点E,则0B=0E,得

到8F=1；在直角三角形08尸中，有0丹2=8尸+。尸，即（］+x）2=（6/而产+1,即可求解；

（3）①当以BE为弦的圆与AQ相切时，符合题设要求，得到解得r

=2退，进而求解；②如图4,当以8E为弦的圆过点C时，符合题设要求，即点P、Z）重合，

进而求解；③