2022-2023学年江苏省常州市钟楼区北郊初级中学九年级（上）期中数学试卷（附答案详解）

2022.2023学年江苏省常州市钟楼区北郊初级中学九年级(上)

期中数学试卷

1.一元二次方程4x2+5x=8化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()

A.4,5,0B.4,5,8C.4x2,5x,-8D.4,5,-8

2.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm,圆锥口圆

面半径为3cm,则这个冰淇淋外壳的侧面积等于cm2.()Q]

A.157r\/

B.367r\/

C.307r

D.187r

3.用配方法解方程/-2x=2时，配方后正确的是()

A.(x+I)2-3B.(x+I)2-6C.(x—I)2-3D.(x—l)2-6

4.平面内，。。的半径为3,若直线/与。。相离，圆心。到直线/的距离可能为()

A.1B.2C.3D.4

5.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设

平均每次降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是()

A.150(1-x2)=96B.150(1-%)=96

C.150(1-x)2=96D.150(1-2%)=96

6.如图，正五边形ABCDE内接于。。，点尸为上一点，则D

4EFC的度数为()

D.72。

7.定义新运算a*b：对于任意实数a,匕满足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通

常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=(3+2)(3一2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实

数)是关于x的方程，则它的根的情况是()

A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

8.如图，已知乙4BC=60。，点。为BA边上一点，8。=10,

作线段8。的垂直平分线，交B力于点。，再以点。为圆心,

BODA

线段。8长为半径作弧，交BC于点E,连接DE,则QE的长是（）

A.5V5B.5V3C.5V2D.5

9.方程/=x的根是.

10.一个扇形的圆心角为120。，半径为3,则这个扇形的弧长为.（结果保留〃）

11.关于x的一元二次方程%2+3%+m=0没有实数根，则〃，的取值范围是.

12.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的

测量，测得4B=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为

13.已知的半径长7cm,P为线段。4的中点，若点P在。。上，则OA的长是cm.

14.若a是一元二次方程久2-2久一3=0的一个根，则4a-2a2的值是.

15.将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中x（cm）满足的

一元二次方程：（不必化简）.

16.如图，和OC分别是0。的直径和半径，4BOC=60。，点产

是直径AB上的一个动点，射线CP与O。相交于点Q,若APOQ是

等腰三角形，则NCPB=.

17.解方程：

(1)(%-2)2-3=0；

(2)x2-3%+1=0；

(3)x2—5x-6=0；

(4)(2x+3)2=(3x+2)2.

18.如图，△力BC是OO的内接三角形.N8AC=45。,请用无刻度的直尺按要求画图.

(1)如图①，请在图①中画出弦C£>,使得CD=BC；

(2)如图②，是0。的直径，8M是。。的切线，点A,C,M在同一条直线上.在图中画

出aABM的边8"上的中线力D.

19.已知关于x的一元二次方程*2+(m+3)x+m+1=0.

(1)求证：无论机取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若已知方程的一个根为-2,求方程的另一个根以及m的值.

20.贵州六盘水群舸江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上

有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬

来爬去，如图是月亮洞的截面示意图.

(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28机，洞高AB约是12加,通过计算截面所在圆的半

径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长(结果精确到0.1m).

(2)若=162。，点M在弧CO上，则NCMO=°,

21.已知：如图所示.在△ABC中，NB=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿

AB边向点B以Icm/s的速度移动，点。从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如

果P，Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，APBQ的面积等于4cm2?

22.如图，已知四边形4PBe中，乙4PB=60。，尸4、P8与过A、8、C三点的O。相切于点A、

B.

(1)求乙4cB的度数；

(2)若。。的半径长为4cm,求图中阴影部分的面积.

23.如图，△ABC为。。的内接三角形，45为。。的直径，点。为。0上一点，且4ABD=

&BAC,过点。作OE〃BC交C4的延长线于点E.

(1)求证：OE为。。的切线；

(2)若4E=8,DE=12,求。。的半径.

24.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行

直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品

售价每降低5元，日销售量增加10件.

(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线

下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中所求的售价，则该商品

至少需打折销售.

25.阅读理解：如图1,直线/与。。相离，P为直线/上一动点，过点P作的切线PM,

切点为连接OM、0P,当PM最小时，称线段PM为直线/与。。的“极短切线”.

【理解】

(1)如图2,04的半径为1,4(0,2),分别过x轴上2、0、C三点作OA的切线BM、0P、

CQ,切点分别是M、P、Q,则这三条切线中是x轴与的“极短切线”，该“极短

切线”的长度为.

【应用】

(2)如图3,。力的半径为1,4(0,2),直线/：y=kx-2与的“极短切线”的长度

为百，求上的值.

(3)保持(2)中求得的直线/不动，将04沿着y轴向下平移，若直线/与。4的“极短切线”

的长度小于遍，求点A的纵坐标y的取值范围.

图3备用图

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4x2+5x=8,

4x2+5x—8=0,

所以一元二次方程4/+5x=8化为一般式后的二次项系数一次项系数、常数项分别为4,5,-8,

故选：D.

先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可.

本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二

次方程的一般形式是a/+匕刀+c=0(a、b、c为常数，a#0).

2.【答案】B

【解析】解：•♦•底面圆的半径为3cm,

二底面圆的周长为6兀(czn),即圆锥侧面展开图扇形的弧长为67rcm,

.•.这个冰淇淋外壳的侧面积=1x12x6?r=36?r(cm2)

故选：B.

根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式

计算，得到答案.

本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关

键.

3.【答案】C

【解析】解：x2-2x=2,

X2—2x+1=2+1,即(x—1)2=3.

故选：C.

方程左右两边都加上1,左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果.

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：丫。。的半径为3,若直线/与。。相离，

•••圆心。到直线)的距离＞3,

故选：D.

根据直线/与O。相离得到直线/与圆心的距离大于半径，于是得到结论.

本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握①当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交：②当

直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，③当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切是

解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：第一次降价后的价格为150x(1-X),两次连续降价后售价在第一次降价后的价格

的基础上降低x,为150x(1-x)x(l-x),

则列出的方程是150(1-％)2=96.

故选：C.

可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格x(l-降低的百分率)=96,把相应

数值代入即可求解.

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,

变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)2=b.

6.【答案】D

【解析】解：•.•正五边形ABCDE内接于O0，

.“欧=经窄皿=1。8。，

•••四边形CDEF是。0外接四边形，

•••乙EFC+乙CDE=180°,

乙EFC=180°-Z.CDE=180°-108°=72°,

故选D.

先由正多边形内角和定理求出NCDE,再根据圆内接四边形的性质即可求出NEFC.

本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题

的关键.

7.【答案】B

【解析】解：根据题中的新定义化简得：(%+fc)(x-fc)-l=2x,

整理得：x2—2%—1—fc2=0,

4=4-4(-1-k2)=4/c2+8>0,

•••方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可.

此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：由题意得，为圆的直径，

则NBED=90。，

•••Z.ABC=60°,

乙BDE=30°,

BE=^BD=5,

DE=y/BD2-BE2=5V3,

故选：B.

根据圆周角定理求出NBE。=90。，再根据勾股定理计算即可.

本题考查的是线段垂直平分线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理求出NBED=90。是解题的关

键.

9.【答案】%]=0,x2=1

【解析】解：%2-%=0,

x(x—1)=0,

・•・x=0或％-1=0,

%]=0,%2=1・

故答案为与=0,x2—1.

先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x(x-1)=0,方程就可转化为两个一元一次方程

%=0或工一1=0,然后解一元一次方程即可.

本题考查了利用因式分解法解一元二次方程aM+bx+c=0的方法：先把方程化为一般式，再把

方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可.

10.【答案】27r

【解析】解：根据弧长的公式，=黑,

loU

得到：1=又常=2兀,

1OU

故答案是：27r.

根据弧长的公式，=黑进行计算即可.

loU

本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键.

11.【答案】2.25

【解析】解；根据题意得：21=9-4m<0,

解得：m>2.25,

故答案为：2.25.

先计算的值.再根的判别式求解.

本题考查了根的判别式，正确计算是解题的关键.

12.【答案】ycm

【解析】解：连接AC,

图1

v/.ABC=90°,且乙4BC是圆周角，

•••4C是圆形镜面的直径，

由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V122+52=13(cm),

所以圆形镜面的半径为学cm,

故答案为：-^-cm.

连接AC,根据=90。得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可.

本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得

出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键.

13.【答案】14

【解析】解：根据点和圆的位置关系，得OP=7cm,

再根据线段的中点的概念，得。4=2OP=14cm.

故答案为：14.

根据点与圆的位置关系和中点定义进行解答即可.

本题考查了点与圆的位置关系，中点定义，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决

问题的关键.

14.【答案】-6

【解析】解：•••a是一元二次方程M—2x-3=0的一个根，

**.a?-2Q—3=0,

即小—2a=3,

A4a—2a2

=-2（小—2d）

=-2x3

=—6.

故答案为：—6.

根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.

本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题

型.

15.【答案】15x(10-乃=360

【解析】解：由题意可得：长方体的长为：15,宽为：(20-2x)-2=10-x,

则根据题意，列出关于x的方程为：15x(10-%)=360.

故答案为：15x(10-x)=360.

根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可.

此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键.

16.【答案】100°或40°或80°

【解析】解：当OP=QP时，点尸在。3上时，

乙Q=（POQ,

设NQ=乙POQ=a,

OC=OQ,

：•Z-C=Z-Q=a,

•・•zC+乙COQ+4Q=180°,

•••a+a+60°+a=180°,

解得a=40。,

・・・Z,Q=Z.POQ=40°,

・・・乙CPB=Z-OPQ=100°；

当OP=QP时，点P在。4上时,

AB

叭/

**.jQ=乙POQ,

设“=(POQ=a,

•・•OC=OQ,

v乙BOC=60°,

・・・Z.COP=120°,

・•・Z-C=4=Q,

・・・NC+“OQ+“=180°,

Aa+a+120°4-a=180°,

解得a=20。，

・•・4=(POQ=20°,

・•・乙CPB=40°；

当OQ=QP时，

・•・Z.POQ=ZOPQ,

・・•OC=OQ,

，设“=Z-Q—a,

・•・Z.POQ=4OPQ=£=a+60°,

vzC4-Z.COQ+Z-Q=180°,

・・・a+a+60°+a+60°=180°,

解得y=20°,

即NC=20°,

・・・乙CPB=Z.C+Z.COP=20°+60°=80°；

当OP=OQ,

•••点尸是直径AB上的一个动点，

当OP=OQ时，点P,。重合，

•••此情况不存在.

综上所述，若^POQ是等腰三角形，则NCPB=100。或40。或80。.

若APOQ是等腰三角形，分。P=QP,0Q=QP,OP=0Q三种情况进行分类讨论解答即可.

本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质.有两条边相等的三角

形叫做等腰三角形.等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等.

17.【答案】解:(1)Q—2/一3=0,

(x—2y=3,

x—2=+V3,

解得/=2+y/3,x2=2-V3；

(2)x2—3x+1=0,

"a=1,b=—3,c=1>

•••b2-4ac=(-3)2-4xlxl=5>0,

_-b±Jb2-4ac_3±V5

"*==F'

解得/=¥，小=竽；

(3)x2—5x-6=0,

(%-6)(%+1)=0,

x—6=0或％+1=0,

解得%i—6,x2——1;

(4)(2%+3)2=(3x+2)2,

(2久+3)2-(3%+2)2=0,

[(2x+3)+(3x+2)][(2x4-3)-(3x+2)]=0,

(5x+5)(—%+1)=0,

—5(%+1)(%—1)=0,

x+1=。或%—1=0,

解得％i=—1»x2—1.

【解析】(1)方程利用直接开平方法求解即可；

(2)方程利用公式法求解即可；

(3)方程利用因式分解法求解即可；

(4)方程利用因式分解法求解即可.

本题考查了解一元二次方程，掌握提公因式法因式分解以及求根公式是解答本题的关键.

18.【答案】解：(1)如图①所示，

DC即为所求；

(2)如图②：AD即为所求.

【解析】(1)利用连接8。并延长交

圆于点D,连接CD,则CD=BC.CD图②

即为所求作的图形；

(2)连接0M交BC于点P,连接AP并延长交8M于点Q,则A。就是边8M上的中线.即为

所求作的图形.

本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再

逐步操作.

19.【答案】(1)证明：•・•/=(m+3)2-4xlx(ni+l)

=m2+6m+9—4m—4

=zn2+2m+1+4

=(m+1)2+4>0,

・•・无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：设方程的另外一根为a,

根据题意，得：『；2=一：一3,

解得：”°1，

=-1

所以方程的另一根为0,，"的值为-1.

【解析】(1)由4=(机+3)2-4x1x(m+1)=(m+1)2+4>0可得答案；

(2)设方程的另外一根为“，根据根与系数的关系得出｛:3,解之即可得出答案.

题主要考查根与系数关系、根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程a-+bx+c=0(aK0)

的根与4=/-4ac有如下关系：①当4>0时，方程有两个不相等的实数根；②当4=0时，方

程有两个相等的实数根；③当4<0时，方程无实数根.与，冷是方程/+px+q=0的两根时,

XX

%14-X2=-p，12=q，反过来可得p=-(%14-%2)，q=%62・

20.【答案】99

【解析】解：(1)设04=0C=Rm,

v0ALCD.

1

/.CB=BD=^CD=14m,

在RtZkCOB中，0C2=OB2+CB2,

・・・R2=142+(R-12)2,

85

•**Rn=

o

85

・•・0C=-g-x14.2m.

(2)补全。0,在CO的下方取一点N,连接CN,DN,

CM,DM,

1

•・・Z.N="C0D=81°,

•・•乙CMD+乙N=180°,

:.乙CMD=99°.

故答案为：99.

(1)设。4=。。=Rm,利用勾股定理求出R即可；

(2)补全O。，在CD的下方取一点N,连接CMDN,CM,DM,利用圆周角定理，圆内接四边

形的性质求解即可.

本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参

数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

21.【答案】解：设经过x秒以后，aPB。面积为4cm2,

由题意得，。点从8到C所用时间为7+2=3.5,

0<%<3,5,

此时/P=xcm,BP=(5-x)cm,BQ=2xcm,

由”P.BQ=4得其5-工)X2x,

整理得：X2-5X+4=0,

解得：x=1或％=4(舍)；

答：1秒后APBQ的面积等于4cm2.

【解析】经过x秒钟，APSQ的面积等于4cm2,根据点P从A点开始沿AB边向点8以lcm/s的

速度移动，点。从B点开始沿BC边向点C以2on/s的速度移动，表示出3P和8Q的长可列方程

求解.

此题主要考查了一元二次方程的应用以及直角三角形面积的应用，找到关键描述语“△PBQ的面

积等于4cm2”得出等量关系是解决问题的关键.

22.【答案】解：(1)如图，连接04,OB,0P,

vPA.尸8与过A、B、C三点的。。相切于点A、B.

・・・Z,0AP=乙0BP=90°,

•・・Z-APB=60°,

・•,乙A0B=360°-40BP-Z.0AP-Z.APB=120°,

vZ-AOB=2Z,ACB=120°,

・・•乙ACB=60°；

(2)・・・Z_04P=40BP=90°,OA=OB,OP=OP,

^,RtOAP^WRtOBP^P,

(OP=OP

lOA=OB'

・•・RtAOAP三RtAOBP(HL),

・・・Z,AOP=乙BOP=^/.AOB=60°,

:.AP=OA•tan60°=4>/3(cm),

・•・阴影部分的面积=2△0Ap的面积一扇形AOB的面积

11207rx42

=2x-xAO•AP-------c----

L360

1厂16

=2x—x4x4v3—71

=16A/3—

••・阴影部分的面积为16百-竽7E

【解析】(1)连接OA,OB,OP,利用切线的性质可得41OB=120。，然后根据圆周角定理即可解

决问题；

(2)利用⑴的结论可证Rt△OAP三Rt△OBP,从而利用全等三角形的性质可得〃0P=lBOP=

^AOB=60%然后在RMCMP中，利用锐角三角函数的定义求出AP的长，最后根据阴影部分

的面积=2△0Ap的面积-扇形AOB的面积，进行计算即可解答.

本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题

目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

23.【答案】(1)证明：连接0。，如图.D

E

•・・48为。。的直径，点。在。。上，

・・・乙ACB=90°,

•・・DE//BC,

・・.Z,E=180°-乙ACB=90°.

11

-Z.ABD=^AODfZ.ABD=^Z.BAC,

••Z.AOD=Z.BACf

:.OD//CE,

・・・4ODE+4E=180°,

•・・乙E=90°,

:.(ODE=90°,

即。。1DE,

。。是。。的半径，

OE为。。的切线；

(2)解：过点A作AF_L。。于点F,如图，

vZ.AFD=乙FDE=Z.E=90°,

四边形AEQF为矩形，

•••DF=AE=8,AF=DE=12.

设。。的半径为R，则04=R,OF=R-8.

在RtAOA尸中，OF2+AF2=OA2,

即(R-8)2+122=R2,

解得R=13,

即。。的半径为13.

【解析】(1)连接OD,如图.根据圆周角定理得到N4CB=90。,根据平行线的性质得到NE=1800-

乙4cB=90。.根据平行线的判定定理得到OD〃CE,得到。“JLDE,根据切线的判定定理即可得到

结论；

(2)过点A作AF_L。。于点F,如图，根据矩形的性质得到CF=AE=8,4F=DE=12.设。。的

半径为R,贝i」OA=R,OF=/?-8.根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线

垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

24.【答案】八

【解析】解：(1)设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为(％-40)元，每天可售出20+10X

雪=(140-2x)件，

依题意得：(x-40)(140-2x)=(60-40)X20,

整理得：x2-110x+3000=0,

解得：xx=50,x2=60,

又•••商家想尽快销售完该款商品，

x—50.

答：每件售价应定为50元.

(2)设该商品打y折销售，

依题意得：62.5x看W50,

解得：y<8,

该商品至少需打八折销售.

故答案为：八.

(1)设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为(X-40)元，每天可售出(140-2x)件，利用总

利润=每件的销售利润x每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值

即可得出结论；

(2)设该商品打)，折销售，利用售价=原价x折扣率，结合售价不超过50元，即可得出关于y的一

元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，

正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

25.【答案】OP娼

【解析】解：(1)如图1,「PM是。。的切线，

•••4PM。=90°,

•・•。。的半径OM是定值，PM=7OP2—OM2,

•••OP最小时，PM最小,此时0P1，，

在图2中，•••4。_Lx轴，

•••0P是x轴与的“极短切线”，

OP=>JOA2—AP2=>/22—I2=V3>

故答案为：OP,V3；

(2)当k<0时，设直线/交x、y轴于，、G,FE是直线/与。4的“极短切线”，如图：

•••G（0