2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版四十六 空间向量的运算及其坐标表示含答案

2版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版四十六空间向量的运算及其坐标表示含答案四十六空间向量的运算及其坐标表示(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC的值为 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选B.在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·CD+(AB+BC)·(AB-AD)+AD·BC=AB·CD+AB·AB+AB·BC-AB·AD=AB·(BC+CD)+AB·(AB-AD)=AB·BD+AB·DB=0.2.(5分)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ= ()A.9 B.-9 C.-3 D.3【解析】选B.由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以2x-y=73.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=1,则BD1·AD等于 (A.1 B.2 C.3 D.6【解析】选A.由长方体的性质可知AD⊥AB,AD⊥BB1,AD∥BC,AD=BC=1,BD1=BA+BC+所以BD1·AD=(BA+BC+B=BA·AD+BC·AD+BB1=0+BC2+0=14.(5分)如图,在空间四边形ABCD中,若向量AB=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则EF的坐标为 ()A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)【解析】选B.取AC的中点M,连接ME,MF(图略),ME=12AB=MF=12CD=而EF=MF-ME=(-2,-3,-3).5.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ()A.32 B.C.105 D.【解析】选C.由题知,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,所以BB1⊥BC,CC1⊥AB,因为AB1=BB1-BA,BC所以AB1·BC1=BB1·BC+BB1·CC1-BA因为AB1=5,BC所以cos<AB1,BC1>=AB1·BC1AB16.(5分)如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·AD=________【解析】由题干图可得:AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=0+3BD·=3(BA+AD)·AD=3·|AD|2=3.答案:37.(5分)(2023·西安模拟)空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点,且满足AM=23AB,DN=34DC,若点G在线段MN上,且满足MG=3GN,若向量AG满足AG=xAB+yAC+zAD,则x+y+【解析】空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点,且满足AM=23AB,DN=34DC,若点G在线段MN上,且满足由于MG=3GN,得AG-AM=3(AN-AG),整理得4AG=3AN+AM=3AD+3DN+AM=3AD+94DC=3AD+94AC-9=34AD+94所以AG=316AD+916故x=16,y=916,z=所以x+y+z=1112答案:118.(5分)如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC=________.

【解析】因为PC=PA+AB+BC,所以|PC|2=|PA|2+|AB|2+|BC|2+2AB·BC=36+36+36+2×36cos60°=144.所以|PC|=12.答案:129.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M为PC的中点.(1)求证:PB⊥DM;【解析】(1)结合题图知,PB=AB-AP,DM=12(DP+DC)=12(AP-AD+AB-12AD)=12AP+12AB-34AD,则PB·DM=(=12|AB|2-12|AP|2=0,故PB9.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M为PC的中点.(2)求AC与PD所成角的余弦值.【解析】(2)设PA=AD=AB=2BC=2,由于PD=AD-AP,AC=AB+12因此|PD|2=|AD-AP|2=AD2-2AD·AP+AP故|PD|=22,|AC|2=|AB+12AD=|AB|2+2AB·12AD+14|AD故|AC|=5,PD·AC=(AD-AP)·AB+故cos<PD,AC>=222×所以AC与PD所成角的余弦值为1010【能力提升练】10.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,且满足DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD1,则|DE|的最小值是 (A.13 B.23 C.33 【解析】选C.因为DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD由空间向量的共面定理可知,点E,A,C,D1四点共面,即点E在平面ACD1上,所以|DE|的最小值即为点D到平面ACD1的距离d,由正方体的棱长为1,可得△ACD1是边长为2的等边三角形,则S△ACD1=12×(2)2S△ACD=12×1×1=1由等体积法得VD-AC所以13×32×d=13解得d=33,所以|DE|的最小值为311.(5分)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定为0的是 ()A.AD1·B1C BC.AB·AD1 D.B【解析】选C.当侧面BCC1B1是正方形时,得AD1·当底面ABCD是正方形时,得AC垂直于体对角线BD1,所以排除B;显然AB⊥侧面ADD1A1,C正确;由题图可得BD1与BC所成的角小于90°,所以排除D.12.(5分)已知点O为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当QA·QB取得最小值时,OQ的坐标是____________.

【解析】因为OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,设OQ=λOP=(λ,λ,2λ),又因为OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),所以QA=OA-OQ=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=(2-λ,1-λ,2-2λ),则QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-43)2-2当λ=43时,QA·QB此时OQ的坐标为43答案:413.(5分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos∠EAF=______,EF=______.

【解析】如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,因为正方体的棱长为1,则E(0,12F(1,0,12),所以AE=0,12,1,AF=(1,0,12cos<AE,AF>=AE·AF|AE||所以cos∠EAF=25EF=|EF|=12+-答案:2514.(10分)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN的模;【解析】(1)如图,以点C作为坐标原点O,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.由题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|BN|=(1-014.(10分)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(2)求cos<BA1,【解析】(2)由题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以BA1=(1,-1,2),BA1·CB1=3,|BA1|=所以cos<BA1,CB1>=14.(10分)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(3)求证:A1B⊥C1M.【解析】(3)由题意得C1(0,0,2),M12A1B=(-1,1,-2),C1所以A1B·C1M=-所以A1B⊥C1M,即A1B15.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=02+(-15.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(2)在直线AB上是否存在一点E,使得OE⊥b?(O为原点)【解析】(2)令AE=tAB(t∈R),所以OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若OE⊥b,则OE·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95因此存在点E,使得OE⊥b,此时E点的坐标为-6【素养创新练】16.(5分)(多选题)在三棱锥P-ABC中,以下说法正确的有 ()A.若2AD=AB+AP,则BP=3BDB.若PA·AC=0,PA·AB=0,则PA·BC=0C.若PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,M,N分别为PA,BC的中点,则MN=2D.若T为△ABC的重心,则2PT+AT=PB+PC【解析】选BD.由2AD=AB+AP,得2OD-OA=OB-OA+OP-OA,整理可得,2OD=OB+所以OD-OB=OP-OD,即BD=DP,所以BP=2BD,故A错误;因为PA·AC=0,PA·AB=0,且BC=AC-AB,所以PA·BC=PA·(AC-AB)=PA·AC-PA·AB=0,故B正确;因为PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,由勾股定理逆定理可得,∠APB=∠APC=∠BPC=90°,因为M,N分别为PA,BC的中点,所以MN=PN-PM=12所以MN2==14(PB2+PC2+PA2+22PB·PA-2PA·PC)=14×(4+4+4+0-0-0)=3,所以MN=3若T为△ABC的重心,设BC中点为N,则PT=PA+AT=PA+2=PA+2=PA+23(12=13(PA+PB+PC所以3PT=PA+PB+PC,所以3PT=PT+TA+PB+PC,所以2PT-TA=PB+PC,即2PT+AT=PB+PC,故D正确.四十七利用空间向量研究直线、平面的位置关系(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是 ()A.(1,-1,1) B.1C.1,-3,32【解析】选B.由题意可知符合条件的点P应满足PA·n=0,选项A,PA=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),PA·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α内;同理可得:选项B,PA=(1,-4,12),PA·n=0,故在平面α选项C,PA=(1,2,12),PA·n=6≠0,故不在平面α选项D,PA=(3,-4,72),PA·n=12≠0,故不在平面α内2.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是 ()A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)【解析】选B.设AB=2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),设平面AEF的法向量n=(x,y,z),则n·取y=1,得n=(-4,1,-2).3.(5分)已知向量m=(2,-4x,1)是平面α的法向量,n=(6,12,-3y)是直线l的方向向量,若l⊥α,则x+y= ()A.-4 B.4 C.-2 D.2【解析】选C.因为n是直线l的方向向量,m是平面α的法向量,l⊥α,所以m∥n,所以26=-4x12=1-所以x+y=-2.4.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=2a3,A1B=AC=2所以M(a,23a,a3),N(23a,23所以MN=(-a3,0,23又因为C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1D1=(0,a,0),所以MN所以MN⊥C1D1.因为C1D1是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥5.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则 ()A.BD1⊥平面B1EFB.BD⊥平面B1EFC.A1C1∥平面B1EFD.A1D∥平面B1EF【解析】选C.以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则B12,2,2F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,C1(0,2,2),D(0,0,0),D1(0,0,2).EF=-1,1,0,E设平面B1EF的法向量为m=x,y,z,则m·因为BD1与m不平行,所以BD1与平面B1因为DB与m不平行,所以BD与平面B1EF不垂直,B错误;因为A1C1·m=0,且直线A1C1在平面B1EF外,所以A1C1∥平面B因为DA1·m=2≠0,所以A1D与平面B1EF6.(5分)(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的有 ()A.DB1=32B.向量AE与AC1C.平面AEF的一个法向量是(4,-1,2)D.A1D⊥BD1【解析】选BCD.根据空间直角坐标系D-xyz,可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E为BB1的中点,F为A1D1的中点,所以E(2,2,1),F(1,0,2),故DB1=|DB1|=22对于B,因为AE=(0,2,1),AC所以|AE|=5,|AC1|=2故cos<AE,AC1>=AE·AC对于C,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),因为AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),所以n·AE=0

n·AF=0,整理得y=对于D,由于A1D=(-2,0,-2),故A1D·BD1=0,故A1D⊥【加练备选】(多选题)以下命题正确的是 ()A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),则l⊥mB.直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥αC.两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥βD.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1【解析】选CD.直线l的方向向量a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),a·b=(1,-1,2)·(1,2,1)=1,则l与m不垂直,所以A不正确;直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0,则l∥α或l⊂α,所以B不正确;两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),n1=-12n2=(2,-1,0),则α∥β平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,可得n·AB=-1+u7.(5分)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则x+y+z=________.

【解析】因为AB⊥BC,所以AB·BC=3+5-2z=0,所以z=4,所以BC=(3,1,4),又因为BP⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,所以BP·解得x=因此x+y+z=537答案:538.(5分)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.写出平面MD1B的一个法向量为________.

【解析】根据题意,在坐标系中,A(3,0,0),C(0,3,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),C1(0,3,3),由于点M在棱C1C上,且CM=2MC1,因此M(0,3,2),则D1B=(3,3,-3),设平面MD1B的一个法向量为n=(x,y,z),则有D1令y=1可得,x=2,z=3,则n=(2,1,3),故平面MD1B的一个法向量为(2,1,3).答案:(2,1,3)(答案不唯一)9.(10分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证:(1)PB∥平面EFH;【证明】(1)因为E,H分别是线段AP,AB的中点,所以PB∥EH.因为PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH,所以PB∥平面EFH.9.(10分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证:(2)PD⊥平面AHF.【证明】(2)建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(1,0,0).PD=(0,2,-2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1),因为PD·AF=0×0+2×1+(-2)×1=0,PD·AH=0×1+2×0+(-2)×0=0.所以PD⊥AF,PD⊥AH,所以PD⊥AF,PD⊥AH.因为AH∩AF=A,且AH,AF⊂平面AHF,所以PD⊥平面AHF.【能力提升练】10.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,点P为线段A1C上的动点,则下列结论不正确的是 ()A.当A1C=2A1P时,B1,B.当AP⊥A1C时,APC.当A1C=3A1P时,D1PD.当A1C=5A1P时,A1C⊥【解析】选B.如图,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),C(0,3,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,3,1),D(0,0,0),B(1,3,0),C1(0,3,1),当A1C=2A1P时,A1P=(-DP=DA1+A1P=(12而DB1=(1,所以DP=12所以B1,P,D三点共线,A正确,不符合题意;设A1P=λA1C,则AP=AA1+A1P=AA1+λA1C=(-当AP⊥A1C时,有AP·A1所以λ=15,所以AP=(-15,35,45),D1P=D1A1所以AP·D1P=(-15,35,45)·(4=-15所以AP与D1当A1C=3A1P时,A1P=(-D1P=A1P-A1D1又DB=(1,3,0),DC1=(0,所以D1P=23所以D1P,DB,又D1P⊄平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,C正确,不符合题意;当A1C=5A1P时,A1P=(-从而AP=(-15,35,又AD1·A1C=(-1,0,1)·(-1,3,-1)=0,所以A1CAP·A1C=(-15,35,所以A1C⊥AP,因为AD1∩AP=A,AD1,AP⊂平面D1AP,所以A1C⊥平面D1AP,D正确,不符合题意.11.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM所成的角为________.

【解析】以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M(0,1,12),O(12,12,0),AM·ON=0,1,所以ON与AM所成的角为90°.答案:90°12.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,C1N=λNC,且AB1⊥MN,则λ的值为【解析】如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,以MC,MA,MP的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,因为底面边长为1,侧棱长为2,则A(0,32,0),B1(-12,0,2),C(C1(12,0,2),M设N(12,0,t),因为C1N=所以N(12,0,2所以AB1=(-12,-32,2),MN=(1又因为AB1⊥MN,所以AB1·所以-14+41+λ=0,解得答案:1513.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是棱D1D上一点,N是A1B1的中点,则当DMDD1=________时,ON【解析】以A为坐标原点,以AB,AD,AA1的方向分别为x,y,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),O(12,12,0),N(1设M(0,1,a)(0≤a≤1),则AM·ON=(0,1,a)·(0,-12,1)=-12+解得a=12.故当DMDD1=12时,答案:114.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(1)求证:AB⊥PD;【解析】(1)取AB的中点为O,连接DO,PO,因为PA=PB,所以PO⊥AB,又因为底面ABCD为直角梯形,且AB⊥BC,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,所以四边形OBCD为正方形,则DO⊥AB,又因为DO∩PO=O,且DO,PO⊂平面POD,所以AB⊥平面POD,又PD⊂平面POD,所以AB⊥PD;14.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB