2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版三十六 数列的概念含答案

8版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版三十六数列的概念三十六数列的概念(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)数列{an}为12,3,112,8,212,…,则此数列的通项公式可能是 A.an=5n-42 BC.an=6n-52 D【解析】选A.方法一:数列{an}为12,62,112,162,212,…,其分母为2,分子是首项为1,公差为5的等差数列,故其通项公式为方法二:当n=2时,a2=3,而选项B,C,D,都不符合题意.2.(5分)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=nn+1,则1a5等于A.56 B.65 C.130 【解析】选D.因为当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=3.(5分)在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则a3a5的值是 A.1516 B.158 C.34 【解析】选C.由已知得a2=1+(-1)2=2,所以2a3=2+(-1)3,a3=12所以12a4=12+(-1)4,a所以3a5=3+(-1)5,所以a5=23所以a3a5=12×4.(5分)观察数列1,ln2,sin3,4,ln5,sin6,7,ln8,sin9,…,则该数列的第11项是 ()A.1111 B.11 C.ln11 D.sin11【解析】选C.由数列得出规律,按照1,ln2,sin3,…,是按正整数的顺序排列,且以3为循环,由11÷3=3……2,所以该数列的第11项为ln11.【加练备选】数列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2),那么a2022= ()A.-1 B.1 C.3 D.-3【解析】选A.因为an=an-1-an-2(n≥3),所以an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2,所以an+3=-an,所以an+6=-an+3=an,所以{an}是以6为周期的周期数列.因为2022=337×6,所以a2022=a6=-a3=-(a2-a1)=-(3-2)=-1.5.(5分)(2023·广州模拟)已知数列an的通项公式an=2n-2023n,则当an最小时,n= (A.8 B.9 C.10 D.11【解析】选D.数列{an}中,an=2n-2023n,则an+1-an=2n-2023,210<2023<211,于是当n≤10时,an+1-an<0,则an+1<an,当n≥11时,an+1-an>0,即an+1>an,因此当n∈N*,n≤11时,数列{an}单调递减,当n≥11时,数列{an}单调递增,所以当且仅当n=11时,an最小.6.(5分)(多选题)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则下列结论正确的是 ()A.an=1B.an=-C.Sn=-1D.数列1S【解析】选BCD.因为an+1=SnSn+1,an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1-Sn=SnSn+1,所以1Sn-所以1Sn是首项为1S1=所以1Sn=-1+(n-1)×(-1)=-即Sn=-1n又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-1n+1n-1=1故an=-综上可知,BCD正确.7.(5分)若数列{an}的前n项和Sn=23n2-13n+1,则数列{an}的通项公式an=【解析】当n=1时,a1=S1=43当n≥2时,an=Sn-Sn-1=23n2-13n-[23(n-1)2-13=4n3又a1=43则an=43答案:48.(5分)大衍数列,来源于我国的《乾坤谱》,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则大衍数列的第41项为________.

【解析】由题意得,大衍数列的奇数项依次为12-12,32-12答案:8409.(10分)已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=12an2+12an(n(1)求a1,a2,a3,a4的值;【解析】(1)由Sn=12an2+12an(n∈N*)可得,a1=1解得a1=1,a1=0(舍).S2=a1+a2=12a22+解得a2=2(负值舍去);同理可得a3=3,a4=4.9.(10分)已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=12an2+12an(n(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(2)因为Sn=12an2所以当n≥2时,Sn-1=12an-①-②得an=12(an-an-1)+12(an所以(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,又由(1)知a1=1,所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n.【能力提升练】10.(5分)如果数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第37项为 ()A.0 B.37 C.100 D.-37【解析】选C.设等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,所以数列{an+bn}仍然是等差数列,公差为d1+d2.又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(25+75)=0,所以数列{an+bn}为常数列,所以a37+b37=a1+b1=100.11.(5分)(2024·济南模拟)已知数列{an}满足an=(1-3a)·n+10a,n≤6,an-7,n>6A.(13,1) B.(13C.(13,12] D.(1【解析】选D.由题意,知1解得13<a<512.(5分)数列{an}的前n项积为n2,那么当n≥2时,an=________.

【解析】设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn=n2,当n≥2时,an=TnTn答案:n13.(5分)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=________,数列{nan}中数值最小的项是第________项.

【解析】因为Sn=n2-10n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.所以an=2n-11(n∈N*).记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图象的对称轴为直线n=114,但n∈N*所以当n=3时,f(n)取最小值.所以数列{nan}中数值最小的项是第3项.答案:2n-11314.(10分)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,因为a1=2满足该式,所以数列{an}的通项公式为an=2n.14.(10分)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).(2)若数列{bn}满足:an=b13+1+b232+1+b333【解析】(2)因为an=b13+1+b232+1+b33所以an+1=b13+1+b232+1+b33②-①,得bn+13n+1+1=abn+1=2(3n+1+1).故bn=2(3n+1)(n∈N*).15.(10分)已知数列{an}中,an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;【解析】(1)因为an=1+1a+2(n-1)(n∈N*又a=-7,所以an=1+12结合函数f(x)=1+12可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).所以数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.15.(10分)已知数列{an}中,an=1+1a+2(n-1)(n∈N*,(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.【解析】(2)an=1+1a+2(因为对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,结合函数f(x)=1+12知5<2-a2<6,所以-10<故a的取值范围为(-10,-8).【素养创新练】16.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,且∀n∈N*,an+1>an,Sn≥S3.写出一个满足条件的数列{an}的通项公式为an=________.

【解析】由∀n∈N*,an+1>an可知数列{an}是递增数列,又Sn≥S3,故a4≥0,且a3≤0(等号不同时成立),因此满足条件的数列{an}的通项公式可以为an=n-3.答案:n-3(答案不唯一)三十七等差数列(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,则a3+a4+a5= ()A.9 B.10 C.11 D.12【解析】选D.由2an=an-1+an+1(n≥2)可知数列{an}为等差数列,所以a2+a4+a6=a3+a4+a5=12.2.(5分)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为 ()A.15 B.21 C.23 D.25【解析】选D.由题意得a1+5d=3(a1+3d),所以a1=-2d.所以λ=S10a4=10a3.(5分)(一题多法)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) ()A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块【解析】选C.方法一:设每层环数为n(n∈N*),则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a1,a2,…,an,中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为an+1,an+2,…,a2n,下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a2n+1,a2n+2,…,a3n.由题意知(a2n+1+a2n+2+…+a3n)-(an+1+an+2+…+a2n)=729,由等差数列的性质知a2n+1-an+1=a2n+2-an+2=…=a3n-a2n=9n,所以9n2=729,得n=9.则数列{an}共有9×3=27项,故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和,即27×9+27×262×9=3402方法二:设每层环数为n(n∈N*),设数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列的性质知,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=9n2,则9n2=729,解得n=9.则数列{an}共有9×3=27项,故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和,即27×9+27×262×9=34024.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,若SnTn=2025n-A.528 B.529 C.530 D.531【解析】选D.根据等差数列的性质:anbn=S2n-1T5.(5分)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为()A.99 B.131 C.139 D.141【解析】选D.根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个数列,得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得y-34=12x6.(5分)(多选题)设{an}是等差数列,d是其公差,Sn是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是 ()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.当n=6或n=7时Sn取得最大值【解析】选ABD.由S5<S6,得a1+a2+a3+a4+a5<a1+a2+a3+a4+a5+a6,即a6>0.同理由S7>S8,得a8<0.又S6=S7,所以a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,所以a7=0,所以B正确;因为d=a7-a6<0,所以A正确;而C选项,S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由结论a7=0,a8<0,知C选项错误;因为S5<S6,S6=S7>S8,所以结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确.7.(5分)已知等差数列{an}的前n项为Sn,若S4=3,S5=4,则a9=________.

【解析】由题知:S4解得a1=35,d=1所以a9=a1+8d=35+8×110=答案:78.(5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是________.

【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则(解得a所以S8=8a1+8×72d=8×(-5)+56=16答案:169.(10分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(n∈N*(1)求证:数列{an}为等差数列;【解析】(1)当n=1时,有2a1=a1即a12-2a所以a1=3(a1=-1舍去).当n≥2时,有2Sn-1=an-1又2Sn=an2+所以两式相减得2an=an2-即an2-2an+1=an-12,即(a因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此数列{an}为等差数列.9.(10分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(n∈N*(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(2)由(1)知a1=3,数列{an}的公差d=1,所以数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)×1=n+2.【能力提升练】10.(5分)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是 ()A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列【解析】选C.令bn=a2n-1+2a2n,则bn+1=a2n+1+2a2n+2,故bn+1-bn=a2n+1+2a2n+2-(a2n-1+2a2n)=(a2n+1-a2n-1)+2(a2n+2-a2n)=2d+4d=6d=6×1=6.即{a2n-1+2a2n}是公差为6的等差数列.11.(5分)(多选题)《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈.头节高五寸①,头圈一尺三②.逐节多三分③,逐圈少分三④.一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远?”(注释:①第一节(最下面一节)的高度为0.5尺;②第一圈(最下面一圈)的周长为1.3尺;③每节比其下面的一节多0.03尺;④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)下列说法正确的是 ()A.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是5.58尺B.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是6.35尺C.蚂蚁爬到竹子顶的行程是73.995尺D.蚂蚁爬到竹子顶的行程是61.395尺【解析】选AD.设从地面往上,每节竹长依次为a1尺,a2尺,a3尺,…,a30尺,所以{an}是以a1=0.5为首项,0.03为公差的等差数列,an=0.5+0.03(n-1)=0.03n+0.47,前n项和Sn=0.5n+0.015n(n-1)=0.015n2+0.485n,S9=5.58,A正确,B错误.由题意知竹节圈长,上面一圈比下面一圈少0.013尺,设从地面往上,每节圈长依次为b1尺,b2尺,b3尺,…,b30尺,所以{bn}是以b1=1.3为首项,-0.013为公差的等差数列,所以一蚂蚁往上爬,遇圈则绕圈,爬到竹子顶,行程为(0.015×302+0.485×30)+[30×1.3+30×292×(-0.013)]=61.395(尺),C错误,D正确12.(5分)已知三个数成等差数列,它们的和为3,平方和为359,则这三个数的积为________【解析】设这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知条件得(解得a所以这三个数分别为13,1,53或53故它们的积为59答案:513.(5分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且2Sn=anan+1,n∈N*,则a4=________;若a1=2,则S20=________.

【解析】由2Sn=anan+1可得2Sn+1=an+1an+2,两式相减得2an+1=an+1(an+2-an),由数列{an}的各项均为正数,可得到an+2-an=2,令n=1,则有2S1=2a1=a1a2,解得a2=2,所以a4=4;若a1=2,则a3=4,即奇数列与偶数列均为首项为2,公差为2的等差数列,可求得S20=2(10×2+10×92×2)=220答案:422014.(10分)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn;【解析】(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).14.(10分)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.【解析】(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故2解得m即m的值为5,k的值为4.15.(10分)(2023·青岛模拟)记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4(1)求数列an的通项公式an【解析】(1)由等差数列的性质可得:S5=5a3,则a3=5a3,所以a3=0,设等差数列的公差为d,从而有:a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,数列的通项公式为:an=a3+(n-3)d=2n-6.15.(10分)(2023·青岛模拟)记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4(2)求使Sn>an成立的n的最小值.【解析】(2)由数列的通项公式可得:a1=2-6=-4,则Sn=n×(-4)+n(n-1)2则不等式Sn>an即:n2-5n>2n-6,整理可得:(n-1)(n-6)>0,解得:n<1或n>6,又n为正整数,故n的最小值为7.【素养创新练】16.(5分)(2023·杭州模拟)定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫做该数列的方公差.设an是由正数组成的等方差数列,且方公差为2,a9=32,则数列2anA.42 B.4 C.32 D.6【解析】选A.根据题意,得an+12-an2=2(n≥1,n∈所以an2=a92+2(n-9)=2n,即a所以2an=2=2n+2-故数列2an+an+1的前24项和为:(4-2)+(6-4)+…+(50-48)=17.(5分)若数列{an}满足an+12n+5-an2n+3=1,且aA.90 B.80 C.60 D.40【解析】选B.数列{an}满足an+12即an+12又a1所以数列an所以an2n所以an=2n2+3n,列表如下:项12345678910an的个位数5474509290所以每10项中有4项能被5整除,所以数列{an}的前200项中,能被5整除的项数为80.三十三余弦定理、正弦定理应用举例(时间:45分钟分值:70分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)一货轮在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°方向,之后它以每小时24nmile的速度继续沿正北方向匀速航行,40分钟后到达B处,此时测得货轮与灯塔S相距82nmile,则灯塔S可能在B处的 ()A.北偏东15°方向 B.南偏东15°方向C.北偏东75°方向 D.南偏东75°方向【解析】选BC.如图所示,由题意得AB=24×23=16(nmile),BS=82nmile,∠BAS则BSsin∠BAS=ABsin∠ASB,解得sin∠ASB=ABsin∠BASBS=所以∠ASB=45°或∠ASB=135°.当货轮在B处时,∠ASB=45°,所以∠B'BS=75°;当货轮在B'处时,∠ASB'=135°,所以∠AB'S=15°;综上所述,灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°方向.2.(5分)如图,在山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆,其中,PN的长为am,MN的长为2am,在P处测得N的仰角为30°,在N处测得M的仰角为30°,则此山的高度为 ()A.a2m B.3C.33a2m 【解析】选B.如图,设A,B分别为M,N在地平面的投影,MA⊥NC,则由题意,NB=NPsin30°=a2,MC=MNsin30°=a,故此山高度MA=MC+CA=32a3.(5分)(2023·铁岭模拟)如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C间的距离为 ()A.27km B.33kmC.42km D.25km【解析】选A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,所以AE=2AB=2,CE=CDsin60°=332=2AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos∠AEC=4+12-2×2×23×(-32)所以AC=27,即两山顶A,C间的距离为27km.4.(5分)(多选题)八一广场是南昌市的心脏地带,江西省最大的城市中心广场,八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑,现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为纪念塔最顶端,B为纪念塔的基座(即B在A的正下方),在广场内(与B在同一水平面内)选取C,D两点,测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据,能计算出纪念塔高度AB的是 ()A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDCB.m,∠ACB,∠BCD,∠ACDC.m,∠ACB,∠ACD,∠ADCD.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC【解析】选ACD.对于A:由m,∠BCD,∠BDC可以解△BCD,可求BC,又AB=BC·tan∠ACB,可求塔高AB;对于B:在△BCD中,由CD=m,∠BCD无法解三角形,在△ACD中,由CD=m,∠ACD无法解三角形,在△BCA中,已知两角∠ACB,∠ABC无法解三角形,所以无法解出任意三角形,故不能求塔高AB;对于C:由CD=m,∠ACD,∠ADC可以解△ACD,可求AC,又AB=AC·sin∠ACB,可求塔高AB;对于D:过B作BE⊥CD于E,连接AE(图略),由cos∠ACB=BCAC,cos∠BCD=ECBC,cos∠ACE=ECAC知,cos∠ACE=cos∠ACB故可知∠ACD的大小,由∠ACD,∠ADC,m可解△ACD,可求AC.又AB=ACsin∠ACB,可求塔高AB.【加练备选】在某次巡航中,军舰B在海港A的正南方向,军舰C在军舰B的正西方向,军舰D在军舰B,C之间,且CD=100海里,若在军舰C处测得海港A在东偏北45°的位置,在军舰D处测得海港A在东偏北75°的位置,则军舰B到海港A的距离为()A.503海里B.(506+502)海里C.(503+50)海里D.(253+25)海里【解析】选C.由题意知,CD=100,∠B=90°,∠ACD=45°,∠ADB=75°,所以∠ADC=105°,∠CAD=30°.在△ACD中,由正弦定理得ACsin∠ADC=所以AC=CD·sin∠ADCcos60°sin45°=32×22+12×22=2+64,所以AC则军舰B到海港A的距离为506+50225.(5分)泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一,被列为“世界文化遗产”.如图所示,为了估算泰姬陵的高度,现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB,高约为50m,在它们之间的地面上的点Q(B,Q,D三点共线)处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°,在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°,则估算泰姬陵的高度CD为 ()A.75m B.502mC.256m D.80m【解析】选A.因为∠AQB=45°,∠CQD=60°且AB=50,在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°,所以∠CAQ=60°,∠ACQ=45°,AQ=502,则CQsin60°=所以CQ=50222×32=503,故CD6.(5分)(2023·无锡模拟)某校研究性学习小组想要测量某塔的高度,现选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B,现测得∠DAB=75°,∠ABD=60°,AB=48米,在点A处测得塔顶C的仰角为30°,则塔高CD为__________米.

【解析】根据题意可知,在△ABD中,由∠DAB+∠ABD+∠ADB=180°,可得∠ADB=45°.利用正弦定理可得ABsin∠ADB=即AD=sin∠ABDsin∠ADB·AB=sin60°sin即∠CAD=30°,所以CD=AD·tan30°=246×33=242即塔高CD为242米.答案:2427.(5分)(2023·青岛模拟)公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼底在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60米到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60米到点C处,测得仰角为θ,则sinθ=__________.

【解析】如图,O为楼底,OP为楼高,则OP=60,∠OAP=45°,所以OA=60,又因为AB=60,∠OBP=45°,所以OB=60,所以OA=AB=OB=60,所以∠OBA=60°,所以∠OBC=120°,又因为BC=60,所以在△OBC中,OC2=BC2+OB2-2BC·OBcos∠OBC=602+602-2×60×60×(-12)所以OC=603,故tanθ=POOC=60603=33,所以θ=π6答案:18.(5分)(2023·吉安模拟)某同学为了测量学校天文台CD的高度,选择学校宿舍楼三楼一阳台A,A到地面的距离AB为30(2-3)m,在地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得阳台A,天文台顶C的仰角分别是15°和30°,在阳台A处测得天文台顶C的仰角为15°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则学校天文台CD的高度为__________m.

【解析】在Rt△ABM中,AM=ABsin15°,在△ACM∠AMC=180°-15°-30°=135°,∠ACM=180°-135°-30°=15°,由正弦定理得AMsin∠ACM=MCsin∠CAM,故MC=sin∠CAMsin∠=12ABsin215°=12AB1-cos30°答案:30【能力提升练】9.(5分)(2023·葫芦岛模拟)滕王阁,江南三大名楼之一,位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸,滕王阁分为上部主体建筑和下部象征古城墙的高台座,始建于唐朝永徽四年.如图,为了测量滕王阁的高度,选取了与该阁底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=111.2m,在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,则滕王阁的高AB= ()(参考数据:sin53°≈0.8)A.69.5m B.68.8mC.70.2m D.71.5m【解析】选A.在△BCD中,∠BCD=23°,∠CDB=30°,则∠CBD=180°-23°-30°=127°,由正弦定理得BCsin∠CDB=CDsin∠CBD,即BC=CDsin∠CDBsin∠由在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,得AB=BC=69.5m,所以滕王阁的高为69.5m.10.(5分)(多选题)(2023·台州模拟)龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气,是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的强烈的、小范围的空气涡旋,一般发生在春季和夏季.在操场旗杆A的东偏南θ(cosθ=210)方向30米P处生成一个半径为6米的龙卷风,龙卷风以2米/秒的速度向北偏西45°方向移动,龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大,则 (A.12秒后龙卷风会侵袭到旗杆B.102秒后龙卷风会侵袭到旗杆C.旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒D.旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒【解析】选AD.以A为坐标原点,以正东方向为x轴正方向,以正北方向为y轴正方向,建立如图所示的直角坐标系,因为cosθ=210,所以sinθ=-7210,由AP=30,可得点P(32,-21当t秒后,台风袭击的范围可视为以(32-2t,-212+2t)为圆心,以6+t为半径的圆,若旗杆A(0,0)受到台风的侵袭,则[(32-整理得3t2-108t+864≤0,即t2-36t+288≤0,解得12≤t≤24,所以12秒后龙卷风会侵袭到旗杆,且受台风侵袭的持续时间为12秒.11.(5分)为测出湖面上小船的速度(假设小船保持匀速航行),现采用如下方法:在岸边设置相距30米的两个观察点A,B,当小船在C处时,测得∠ABC=120°,∠BAC=30°,经过5秒后,小船直线航行到D处,测得∠ABD=45°,∠BAD=75°,则该小船的航行速度为__________米/秒.

【解析】如图,在△ABC中,∠ABC=120°,∠BAC=30°,则∠ACB=30°,所以AB=BC=30.由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,即ACsin120°=在△ABD中,∠ABD=45°,∠BAD=75°,则∠ADB=60°,由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD,即30sin60°=在△ACD中,AC=303,AD=106,∠CAD=∠BAD-∠BAC=75°-30°=45°,所以由余弦定理得CD=A=600+2700-2×106所以该小船的