2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版六十四 随机抽样含答案

7版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版六十四随机抽样六十四随机抽样(时间:45分钟分值:80分)【基础落实练】1.(5分)(2023·济南模拟)①一次数学考试中,某班有10人的成绩在100分以上,32人的成绩在90~100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关情况;②运动会的工作人员从参加4×100m接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为 ()A.分层随机抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样,简单随机抽样C.简单随机抽样,分层随机抽样D.分层随机抽样,分层随机抽样【解析】选A.对于①,为更加了解各层次的学生成绩,应选择分层随机抽样;对于②,可采用简单随机抽样.2.(5分)利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽取一个样本后,余下的每个个体被抽到的概率为13,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为 (A.14 B.13 C.514 【解析】选C.根据题意,得9n-1=13,解得n=28.故每个个体被抽到的概率为103.(5分)(2023·景德镇模拟)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡四百人,南乡两百人,凡三乡,发役六十人,而北乡需遗十,问北乡人数几何.”其意思为:“今有某地北面若干人,西面有400人,南面有200人,这三面要征调60人,而北面共征调10人(用分层随机抽样的方法),则北面共有________人.”()

A.200 B.100 C.120 D.140【解析】选C.设北面共有x人,则由题意可得x400+200+x=1060,解得x=120,所以北面共有4.(5分)(多选题)港珠澳大桥为中国内地前往香港的旅客提供了便捷的交通途径,某旅行社分年龄统计了大桥通车以后,由港珠澳大桥实现中国内地前往香港的老中青旅客的比例为5∶2∶3,现使用比例分配的分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名,若青年旅客抽到60人,则 ()A.老年旅客抽到100人B.中年旅客抽到20人C.n=200D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200【解析】选AC.由题意知,60n=35+2+3,解得n=200,则老年旅客抽到60×53=100(人),中年旅客抽到5.(5分)(多选题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆、6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则下列说法正确的是 ()A.应采用比例分配的分层随机抽样法抽取B.应采用抽签法抽取C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的【解析】选ACD.由于总体按型号分为三个子总体,所以应采用比例分配的分层随机抽样法抽取,A正确;因为总体量较大,故不宜采用抽签法,B错误;设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆,则有x1200=y6000=z2000,x+y+由比例分配的分层随机抽样的意义可知,D正确.6.(5分)为了研究感染某种病毒和人的血型间的关系,在被感染的2400人中,O型血有800人,A型血有600人,B型血有600人,AB型血有400人.在这2400人中,采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本,则应从O型血中抽取的人数为________.

【解析】因为在被感染的2400人中,O型血有800人,A型血有600人,B型血有600人,AB型血有400人,即O型血的人数占8002400=13,所以应从O型血中抽取的人数为120×1答案:407.(5分)一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2.若用比例分配的分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本,则应从C中抽取________个个体;若A,B,C三层的样本的平均数分别为15,30,20,则样本的平均数为________.

【解析】因为A,B,C三层个体数之比为5∶3∶2,总体中每个个体被抽到的概率相等,所以应从C中抽取100×25+3+2=20(个)个体.样本的平均数为55+3+2×15+35+3+2×30+25+3+2答案:2020.58.(10分)甲、乙两所学校的高一年级分别有600人和900人,为调研某次考试的成绩,采用分层随机抽样从两所学校高一年级的所有学生中抽取50人.(1)两校分别抽取多少人?(2)通过分析发现,甲校和乙校抽取的学生的平均分分别为85分和70分.试估计两校高一年级混合之后的平均分.【解析】(1)两校的高一年级分别有600人和900人,则甲校、乙校抽取学生的比例为2∶3,所以甲校抽取的人数为50×25=20(人),乙校抽取的人数为50×35=30((2)混合后的平均分为20×85+30×7050=76(分)【能力提升练】9.(5分)某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人,乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是 ()A.85分 B.85.5分C.86分 D.86.5分【解析】选A.由题意可知,两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩为40×90+50×8190=85分10.(5分)为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上记号,不影响其存活,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合;再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅有20只.根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量为 ()A.4000只 B.3000只C.1500只 D.750只【解析】选C.设该自然保护区中天鹅的数量为n只,则200n=20150,解得n11.(5分)(多选题)(2023·青岛二中模拟)某校进行交通知识问卷测试,已知该校高一年级有学生1200人,高二年级有学生960人,高三年级有学生840人.为了解全校学生问卷测试成绩的情况,按年级进行比例分配的分层随机抽样得到容量为n的样本.若在高一年级中抽取了40人,则下列结论一定成立的是 ()A.样本容量n=100B.在抽样的过程中,女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的C.高二年级、高三年级应抽取的人数分别为32,28D.如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分,那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为84.8分【解析】选ACD.对于A,由比例分配的分层随机抽样的性质可得,12001200+960+840=40n,解得n=100,故A对于B,女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是相等的,故B错误;对于C,该校共有学生1200+960+840=3000(人),高二年级应抽取100×9603000=32(人),高三年级应抽取100×8403000=28(人),故C对于D,因为高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分,所以估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为40100×85+32100×80+28100×90=84.8分,故12.(5分)某中学有男生900人,女生600人.在“书香校园”活动中,为了解全校学生的读书时间,按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生,其中男生、女生每天读书时间的均值分别为60分钟和80分钟.结合上述数据估计该校学生每天读书时间的均值为________分钟.

【解析】由题意可知男生、女生抽取比例分别为900900+600=35,600900+600故抽取样本的均值为60×35+80×25以此估计该校学生每天读书时间的均值为68分钟.答案:6813.(10分)为了调查学生每天完成家庭作业所需的时间,从高三某班40名学生中随机抽出8名.(1)请用随机数法抽出人选,写出抽取过程.(2)经了解,在该班抽取的8名学生每天完成家庭作业所需时间(单位:分钟)分别为60,55,75,55,55,43,65,40.按照学校要求,学生每天完成家庭作业所需的平均时间不能超过60分钟,试估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求.【解析】(1)第一步,先将40人编号,可以编为01,02,…,40,并用计算机生成随机数表.第二步,在随机数表的第一行中随机地选择一个数字作为起始数字,从左到右每两位数字作为一个编号进行抽取,大于40的或者重复出现的编号去掉,直至找到符合要求的8个编号.第三步,将这8个编号对应的学生组成样本.(2)这组样本观测数据的平均数为18由样本平均数估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间为56分钟.因为56<60,所以该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求.【素养创新练】14.(5分)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查,在A,B,C,D四个单位回收的问卷份数依次成等差数列,且共回收1000份,因报道需要,再从回收的问卷中按单位进行比例分配的分层随机抽样,抽取容量为150的样本,若在B单位抽取30份,则在D单位抽取的问卷份数是________.

【解析】由题意,设在A,B,C,D四个单位回收的问卷份数分别为a1,a2,a3,a4,在D单位抽取的问卷份数为n,则有30a2=1501000,解得a2=200,又a1+a2+a3+a4=1000,即3a2+a4=1000,所以a4=400,所以n400=1501000答案:60六十五用样本估计总体(时间:45分钟分值:75分)【基础落实练】1.(5分)为加强学校体育工作,推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展.某学校对高一年级6名学生某日在校体育锻炼时长(单位:分钟)进行了统计,记录如下:45,62,51,70,66,59,则该组数据的80%分位数为 ()A.51 B.62 C.66 D.64【解析】选C.将6名学生该日在校体育锻炼时长记录从小到大排列为45,51,59,62,66,70,因为80%×6=4.8,所以该组数据的80%分位数为66.2.(5分)某社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层随机抽样的方法抽取200人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽取的人数是()A.100 B.50 C.40 D.25【解析】选B.区间[2500,3000)的频率为0.0005×500=0.25,抽取人数为200×0.25=50.3.(5分)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为2,方差为12,则另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数、方差分别为 (A.2,12 B.C.4,32 D.4,【解析】选D.因为一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为2,方差为12所以另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为3×2-2=4,方差为32×12=94.(5分)(多选题)为了解户籍和性别对生育多胎(二胎或三胎)选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各50人;男性60人,女性40人.绘制不同群体中倾向选择生育多胎与倾向选择不生育多胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育多胎的对应比例,则下列叙述中正确的是 ()A.是否倾向选择生育多胎与户籍有关B.是否倾向选择生育多胎与性别有关C.倾向选择生育多胎的人员中,男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数【解析】选AD.城镇户籍倾向选择生育多胎的比例为40%,农村户籍倾向选择生育多胎的比例为80%,故A正确;男性与女性倾向选择生育多胎的比例均为60%,故B错误;男性倾向选择生育多胎的比例为60%,人数为60×60%=36,女性倾向选择生育多胎的比例为60%,人数为40×60%=24,故C错误;倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数为50×(1-80%)=10,城镇户籍人数为50×(1-40%)=30,故D正确.5.(5分)某汽车研究院现有300名研究员,他们的学历情况如图所示,该研究院今年计划招聘一批新研究员,并决定不再招聘本科生,且使得招聘后本科生的比例下降到15%,硕士生的比例不变,则该研究院今年计划招聘的硕士生人数为________.

【解析】根据题意,设今年计划招聘的硕士生为x人,博士生为y人,又由现有研究员300人,其中本科生有300×20%=60(人),硕士生有300×40%=120(人),则有60300+x答案:406.(5分)(2023·沧州模拟)已知某样本数据分别为1,2,3,a,6,若样本平均数x=3,则样本方差s2=________.

【解析】由题设,得x=1+2+3+a+65=3,可得a=3,所以s2=1答案:147.(10分)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差;(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.【解析】(1)x甲=1x乙=1s甲2=18×[(82-85)2+(81-85)2+(79-85)2+(78-85)2+(95-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(84-85)2s乙2=18×[(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+(75-85)2+(83-85)2+(80-85)2+(90-85)2+(85-85)(2)由(1)知x甲=x乙,s甲甲的成绩较稳定,所以派甲参赛比较合适.【能力提升练】8.(5分)某校排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛,以下为根据排球社50位同学的垫球个数画的频率分布直方图,所有同学垫球数都在5至40之间.估计垫球数的样本数据的第75百分位数是 ()A.17.5 B.18.75 C.27 D.28【解析】选D.垫球数在区间[5,25)内的人数占总人数的(0.01+0.01+0.04+0.06)×5×100%=60%,垫球数在区间[5,30)内的人数占总人数的(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)×5×100%=85%;所以第75百分位数位于区间[25,30)内,且25+5×0.75-0.60.85-0.6所以估计垫球数的样本数据的第75百分位数是28.9.(5分)(多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 ()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差【解析】选BD.对于A,如1,2,2,2,3,5的平均数为2.5,而2,2,2,3的平均数为2.25,不相等,故A错误;对于B,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,其中位数为x3+x42,x2,x3,x4,x5的中位数为x3+x42,所以B正确;对于C,x1,x2,x3,x4,x5,x6的波动更大,所以C错误;对于D,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,则x5-x2≤10.(5分)某学校随机抽取了部分学生,对他们每周使用手机的时间进行统计,得到如下的频率分布直方图.则下列说法:①a=0.03;②若抽取100人,则平均使用时间为13.75小时;③若从每周使用时间在[15,20),[20,25),[25,30)三组内的学生中用分层随机抽样的方法选取8人进行访谈,则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是________.

【解析】(0.02+0.04+0.06+0.04+a+0.01)×5=1,解得a=0.03,故①正确;根据题中频率分布直方图可估计出均值为(0.02×2.5+0.04×7.5+0.06×12.5+0.04×17.5+0.03×22.5+0.01×27.5)×5=13.75,所以估计抽取100人的平均使用时间为13.75小时,②的说法太绝对,故②错误;每周使用时间在[15,20),[20,25),[25,30)三组内的学生的比例为4∶3∶1,用分层随机抽样的方法选取8人进行访谈,则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为8×38=3,故③正确答案:①③11.(10分)为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对中国共产党的热爱,某学校举办了一场党史竞赛活动,共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了50名学生的成绩(成绩均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的成绩都不低于60分,将这50名学生的成绩(单位:分)进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中m的值,并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数;(2)根据频率分布直方图,估计此次竞赛活动成绩的平均数.若对成绩不低于平均数的同学进行奖励,请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖.【解析】(1)由题中频率分布直方图知(0.01+m+0.04+0.02)×10=1,解得m=0.03;设此次竞赛活动学生成绩的中位数为x0,因为数据落在[60,80)内的频率为0.4,落在[60,90)内的频率为0.8,从而可得80<x0<90,由(x0-80)×0.04=0.5-0.4,得x0=82.5,所以估计此次竞赛活动学生成绩的中位数为82.5.(2)由题中频率分布直方图及(1)知,x=65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82,此次竞赛活动学生成绩不低于82的频率为0.2+90-8210×0.4=0.则获奖的学生有500×0.52=260(名),所以估计此次竞赛活动成绩的平均数为82,在参赛的500名学生中有260名学生获奖.【素养创新练】12.(5分)(多选题)已知一组数据丢失了一个大于3的数据,剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则丢失的数据可能是 ()A.4 B.12 C.18 D.20【解析】选AC.设丢失的数据为x,则这七个数据的平均数为31+x7,若3<x<5,则中位数为x,此时31+x7+3=2x,解得若x≥5,则中位数为5,此时31+x7+3=2×5,解得x综上所述,丢失的数据可能是4或18.13.(5分)若等差数列{xn}的公差为3,则x1,x2,x3,…,x9的方差为________.

【解析】由等差数列{xn}的公差为3,可知x=x1+x2+…+x99=x1+x92×99=x1+x92=x5,所以方差s2=19[(x1-x5)2+(x2-x5)2+…+(x9-x5)答案:60六十一圆锥曲线中的定值问题(时间:45分钟分值:60分)1.(10分)(2024·咸阳模拟)已知点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,纵坐标为2的点N在C上,以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D,E,|DE|=23.(1)求抛物线C的方程;(2)过(-1,0)作直线l与抛物线C交于A,B,求kNA+kNB的值.【解析】(1)由题知,N点的横坐标为2p所以|NF|=p2+2p,|OF|=所以|NF|2=|DF|2=|OF|2+|DE|22,所以p22+所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知N(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my-1,代入y2=4x,整理得y2-4my+4=0,所以Δ=(4m)2-4×4>0,即m2>1,所以y1+y2=4m,y1y2=4,所以kNA+kNB=y1-2x1-1+y2-22.(10分)(2024·郑州模拟)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ:x2+y2=a2+b2上,称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P(1,22),(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M,作椭圆的一条切线,与蒙日圆交于另一点N,若kOM,kON存在,证明:kOM·kON为定值.【解析】(1)将P(1,22),Q(-62,12)代入到x可得1a2+24b2所以椭圆C的方程为x22+y2(2)由题意可知,蒙日圆方程为x2+y2=3.若直线MN斜率不存在,则直线MN的方程为x=2或x=-2.不妨取x=2,易得M(2,1),N(2,-1),kOM=12=22,kON=-1所以kOM·kON=-12若直线MN斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+t.联立y=kx+tx22+y2=1,化简整理得(2据题意有Δ=16k2t2-4(4k2t2-4k2+2t2-2)=0,于是有t2=2k2+1.设M(x1,y1)(x1≠0),N(x2,y2)(x2≠0).y=kx+tx2+y2=3化简整理得(kΔ1=4k2t2-4(k2+1)(t2-3)=4(3k2-t2+3)=4(3k2+3-2k2-1)=4(k2+2)>0,x1+x2=-2ktk2+1,x1x则kOM·kON=y1y2x1x2=(kx1+t=k2t2因为t2=2k2+1,所以kOM·kON=2k2+1-3综上可知,kOM·kON为定值-123.(10分)(2024·哈尔滨模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x,焦距为10,(1)求C的方程;(2)设点P是直线l:x=2上的任意一点,直线PA1,PA2分别交双曲线C于点M,N,A2Q⊥MN,垂足为Q,求证:存在定点R,使得|QR|是定值.【解析】(1)依题意ba=342c=10c2=(2)如图:设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:y-y0=-x0-4y0(即MN:y=-x0-4y(记k=-x0-4y0,m=(x0-4)x0+y02y0)代入9所以x1+x2=32km9-16k2,x又因为直线A1M:y=y1x1直线A2N:y=y2x2-4(x-4),联立得:-13=y1x1+4⇒(16k2+3)x1x2+4(4km+3)(x1+x2)+16(m2+3)=0⇒(m2+9)(16k2+3)-8km(4km+3)+(m2+3)(16k2-9)=0⇒-24km-6m2+16×12k2=0,即32k2-4km-m2=0⇒m=-8k或m=4k(舍),所以x0-4y0·8=(所以Q点轨迹为以(6,0)为圆心,2为半径的圆,所以R(6,0),|QR|=2.4.(10分)(2024·宁德模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆F1:(x+2)2+y2=4,F2(2,0),P是圆F1上的一个动点,线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M.记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点H,求证:|AB|【解析】(1)如图所示,连接MF2,根据题意,|MP|=|MF2|,则||MF2|-|MF1||=||MP|-|MF1||=|PF1|=2<|F1F2|=4,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,设双曲线方程为x2a2-y2b其中2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,故所求C的方程为x2-y23(2)设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),y=k(x-2)x2-y23=1,(3-k所以x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,则y1+y2=k(x所以AB中点为Q(2k2k当k=0时,Q(0,0),H(0,0),A(1,0),B(-1,0),此时|AB||当k≠0时,则AB的垂直平分线的方程为y-6kk2-3=-1k(x-2k2k2-所以|F2H|