2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版八 函数的奇偶性与周期性含答案

9版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版八函数的奇偶性与周期性八函数的奇偶性与周期性(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是 ()A.y=x+f(x) B.y=xf(x)C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x)【解析】选B.设g(x)=xf(x).因为f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数.2.(5分)(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(2)等于 (A.0 B.2 C.4 D.-2【解析】选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在R上的周期为2,所以f(2)=f(0)=0,f(-52)=f(-12)=-f(12所以f(-52)+f(2)=-23.(5分)已知函数f(x)=sinx+x3+1x+3,若f(a)=-1,则f(-a)= (A.3 B.5 C.6 D.7【解析】选D.函数f(x)=sinx+x3+1x+3,f(-x)+f(x)=sin(-x)+(-x)3-1x+3+sinx+x3+1x+3=-sinx-x3-1x+sinx+x3+1x+6=6,若f(a)=-1,则f(-a)=6-4.(5分)(2023·重庆巴蜀中学月考)已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x+ln(x+1),则当x<0时,f(x)= ()A.-x-ln(1-x) B.x-ln(1-x)C.-x+ln(1-x) D.x+ln(1-x)【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数,当x<0时,-x>0,所以f(x)=f(-x)=-x+ln(1-x).5.(5分)若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则 ()A.f(x+1)为偶函数 B.f(x-1)为偶函数C.f(x+1)为奇函数 D.f(x-1)为奇函数【解析】选C.因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称,即f(x+1)是奇函数.6.(5分)(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是 ()A.这个函数有两个单调递增区间B.这个函数有三个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-7【解析】选BC.根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出其在[-7,7]上的图象,如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间,有三个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不是-7.7.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.

【解析】令H(x)=f(x)+x2,则H(-1)+H(1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,所以f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案:-18.(5分)(2023·全国甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数,则a=__________【解题指南】根据题意,先化简函数的解析式,结合偶函数的定义可得关于a的方程,解之可得答案.【解析】根据题意,设f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+π2)=x2-2x+ax+1+cosx若f(x)为偶函数,则f(-x)=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f(x),变形可得(a-2)x=0在R上恒成立,必有a=2.答案:29.(10分)设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.又4-π∈(0,1),所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x),故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点对称,则f(x)在[-4,4]上的图象如图所示.当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成图形的面积为S,则S=4S△OAB=4×(12×2×1)=4【能力提升练】10.(5分)(2021·全国乙卷)设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1【解析】选B.f(x)=1-x1+x=2-(x+1)1+x=21+x-1,为保证函数变换之后为奇函数,需将函数y11.(5分)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则 ()A.f(2023)=0B.f(x)的值域为[-1,2]C.f(x)在[4,6]上单调递减D.f(x)在[-6,6]上有8个零点【解析】选AB.f(2023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正确;当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,所以当x∈[0,2]时,函数的值域为[-1,2],由于函数是偶函数,所以函数的值域为[-1,2],所以B正确;当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,又函数的周期是4,所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C错误;令f(x)=2x-2=0,所以x=1,所以f(1)=f(-1)=0,由于函数的周期为4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误.12.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=__________.

【解析】方法一(定义法)因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以-(a2-2)=2a-1解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.方法三(转化法)由题意知f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数.设g(x)=x3,h(x)=a·2x-2-x,因为g(x)=x3为奇函数,所以h(x)=a·2x-2-x为奇函数,所以h(0)=a·20-2-0=0,解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.答案:113.(5分)若函数f(x)=ex-e-x,则不等式f(lnx)+f(lnx-1)>0的解集是________.

【解析】因为f(x)=ex-e-x,定义域为R,且f(-x)=-(ex-e-x)=-f(x),故其为奇函数,又y=ex,y=-e-x均为增函数,故f(x)为R上的增函数,则原不等式等价于f(lnx)>f(1-lnx),即lnx>1-lnx,整理得lnx>12解得x>e,故不等式的解集为(e,+∞).答案:(e,+∞)14.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023).【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)x∈[2,4],则4-x∈[0,2],f(x)=f(x-4)=-f[-(x-4)]=-f(4-x)=-[2(4-x)-(4-x)2]=x2-6x+8,所以x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2020)+f(2021)+f(2022)+f(2023)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)=0.15.(10分)(2023·鄂州三校联考)函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.【解析】(1)因为对于任意x1,x2∈D,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:f(x)的定义域关于原点对称,令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=12f(1)=0令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1,所以x的取值范围是(-15,1)∪(1,17).【素养创新练】16.(5分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.已知函数f(x)=ex-a在R上为“局部奇函数”,则实数a的最小值为 ()A.1 B.2 C.12 D.【解析】选A.f(x)为“局部奇函数”,则f(-x)=-f(x)在R上有解,即e-x-a=-(ex-a),所以ex+e-x=2a,因为ex+e-x≥2,当且仅当x=0时取等号,所以2a≥2,即a≥1,所以amin=1.17.(5分)已知定义在R上的函数y=f(x)满足:①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=1f(x);②函数y=f(x)是偶函数;③任意x1,x2∈(0,1],当x1<x2时,f(x1)-f(x2)x1-x【解析】由题意知f(x+1)=1f则f(x+2)=1f(x+1)故函数y=f(x)的周期为2,f(-32)=f(12),f(223)=f(8-23)=f(-23)=f(23),f(214)=f(6-因为任意x1,x2∈(0,1],当x1<x2时,f(x1)-f所以f(12)<f(23)<f(故f(-32)<f(223)<f(21答案:f(-32)<f(223)<f(二充要条件与量词(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·沈阳模拟)数学符号的使用对数学的发展影响深远,“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中,表达等式关系,英国数学家首次使用“>”和“<”,便于不等式的表示,则命题p:∀x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定为 ()A.∀x,y∈R,(x+y)3<x3+y3B.∃x,y∈R,(x+y)3>x3+y3C.∃x,y∈R,(x+y)3<x3+y3D.∃x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3【解析】选D.因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p:∀x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定为∃x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3.2.(5分)(2024·绵阳模拟)已知平面向量a=(1,m),b=(-4,m),则“m=2”是“a⊥b”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由m=2,则a·b=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,所以a⊥b;而当a⊥b,则a·b=(1,m)·(-4,m)=-4+m2=0,解得m=2或m=-2.所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.【加练备选】若x,y∈R,则“x=0”是“xy=0”的()A.充分条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当x=0时,xy=0,当xy=0时,x=0或y=0或x=0,y=0,所以“x=0”是“xy=0”的充分不必要条件.3.(5分)(2024·大连模拟)一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ()A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,-1) D.(1,+∞)【解析】选C.因为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,所以4-4a所以一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是a<-1.4.(5分)(2024·信阳模拟)已知条件p:log2(x+1)<2,条件q:x2-(2a+1)x+a2+a≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围为 ()A.(-∞,2) B.(-1,+∞)C.(-1,2) D.[2,8]【解析】选C.由log2(x+1)<2,得-1<x<3,所以p:-1<x<3,由x2-(2a+1)x+a2+a≤0,得a≤x≤a+1,所以q:a≤x≤a+1,因为p是q的必要不充分条件,所以{x|a≤x≤a+1}能推出{x|-1<x<3},则a>解得-1<a<2.5.(5分)(多选题)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中是真命题的有 ()A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【解析】选CD.对于A,当a=b时,ac=bc成立,当ac=bc,c=0时,a=b不一定成立,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故A不是真命题.对于B,当a=-1,b=-2时,a>b,a2<b2,当a=-2,b=1时,a2>b2,a<b,所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故B不是真命题.对于C,当a<3时,一定有a<5成立,当a<5时,a<3不一定成立,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,故C是真命题.对于D,易知“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故D是真命题.6.(5分)(多选题)(2024·黔西模拟)下列命题不正确的有 ()A.若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1>0B.不等式x2-4x+5<0的解集为⌀C.x<1是(x-1)(x+2)<0的充分不必要条件D.∀x∈R,x2=【解析】选ACD.对A,若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0,故A不正确;对B,因为x2-4x+5<0,令y=x2-4x+5,则Δ=42-4×5=-4<0,又因为y=x2-4x+5的图象开口向上,所以不等式x2-4x+5<0的解集为⌀,故B正确;对C,由(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,设A=(-∞,1),B=(-2,1),则B⫋A,故x<1是(x-1)(x+2)<0的必要不充分条件,故C不正确;对D,当x=-1时,(-1)7.(5分)(2024·西安模拟)若命题p:“∀x∈R,x2-2x-2≥0”,则“¬p”为______________________.

【解析】全称量词命题的否定步骤为“改量词,否结论”,所以命题p:“∀x∈R,x2-2x-2≥0”的否定为¬p:∃x∈R,x2-2x-2<0.答案:∃x∈R,x2-2x-2<08.(5分)已知命题p:∀x∈[0,1],a≥ex;命题q:∃x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题p为真命题,则实数a的取值范围为__________;若命题p,q都为真命题,则实数a的取值范围是__________.

【解析】由已知命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由∃x∈R,使得x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4,因此e≤a≤4.答案:[e,+∞)[e,4]9.(10分)(2024·石家庄模拟)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的________?

(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由;(2)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若问题中的m不存在,请说明理由.【解析】(1)若存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件,则A=B.故1-m=-33m-2=4,无解,故不存在实数m,使得(2)因为m>1,故3m-2>1>1-m,故B≠⌀.选①:充分不必要条件.由题意A⫋B,故-3≥1-m4≤3m-2选②:必要不充分条件.由题意B⫋A,故-3≤1-m4≥3m-2,解得m≤4【能力提升练】10.(5分)(多选题)“关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件有 ()A.0≤a<1 B.0<a<1C.-1≤a<1 D.-1<a<2【解析】选CD.若关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立,当a=0时,不等式为1>0,满足题意;a≠0时,则必有a>0且Δ=(-2a)2-4a×1<0解得0<a<1,故a的范围为{a|0≤a<1},故“关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合{a|0≤a<1},结合选项知C,D满足条件.11.(5分)(2024·南昌模拟)若命题“∃x∈[1,6],x2+ax+4>0”是真命题,则a的取值范围是________.

【解析】由题意可知∃x∈[1,6],a>-x-4x令f(x)=-x-4x,x∈f'(x)=-1+4x2=4-x2x2=(x(1,2)2(2,6)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘f(1)=-5,f(2)=-4,f(6)=-203则f(x)min=-203,则a>-20答案:(-20312.(5分)命题“∃x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0”为假命题,则实数a的取值范围为__________.

【解析】由题意可知,命题“∀x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1<0”为真命题.①当a2-4=0时,可得a=±2.若a=-2,则有-1<0,符合题意;若a=2,则有4x-1<0,解得x<14②若a2-4≠0,则a解得-2<a<65综上所述,实数a的取值范围是a-答案:a13.(5分)(2024·杭州模拟)已知集合A={x|y=ln(2x2-x-6)},B={x|9x+m-27>0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为______________.

【解析】因为集合A={x|y=ln(2x2-x-6)}={x|2x2-x-6>0}={x|x>2或x<-32B={x|9x+m-27>0}={x|32x+2m>33}={x|x>12(3-2m又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以12(3-2m)≥2,解得m≤-1实数m的取值范围为{m|m≤-12}答案:{m|m≤-1214.(10分)(2024·徐州模拟)已知命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题.设实数a的取值集合为A,设集合B={x|3m<x<m+2},若________,求实数m的取值范围.

在①“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件;②“x∈B”是“x∈∁RA”的充分条件;③B∩∁RA=∅这三个条件中任选一个,补充到本题的横线处,并按照你的选择求解问题.【解析】由已知命题为假,则¬p:∀x∈R,ax2+2x-1≠0为真,若a=0,∀x∈R,2x-1≠0显然不成立;若a≠0,只需Δ=4+4a<0⇒a<-1;所以A={a|a<-1},选①:“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则B⫋A,若B=∅,则3m≥m+2⇒m≥1满足要求;若B≠∅,则3m<m+2⇒m<1,且m+2≤-1⇒m≤-3,此时m≤-3;所以m∈(-∞,-3]∪[1,+∞);选②:“x∈B”是“x∈∁RA”的充分条件,则B⊆∁RA,而∁RA={a|a≥-1},若B=∅,则3m≥m+2⇒m≥1满足要求;若B≠∅,则3m<m+2⇒m<1,且3m≥-1⇒m≥-13,此时-13≤所以m∈[-13,+∞)选③:由B∩∁RA=∅,若B=∅,则3m≥m+2⇒m≥1满足要求;若B≠∅,则3m<m+2⇒m<1,且m+2≤-1⇒m≤-3,此时m≤-3;所以m∈(-∞,-3]∪[1,+∞).15.(10分)已知函数f(x)=x2-x+1x-1(x≥2),g(x)=a(1)若∃x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,求实数m的取值范围;(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=x2-x+1x-1=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立.所以,若(2)当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2.若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),则a2≤3,a>1,解得1<a≤3.【素养创新练】16.(5分)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的 ()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.“不积跬步,无以至千里”说明能“至千里”必须“积跬步”,而“积跬步”不一定能“至千里”.故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.二十导数的函数零点问题(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)(2023·陇南联考)已知函数f(x)=x+1ex-a(a∈R),讨论f(【解题指南】令f(x)=0,可得a=x+1ex,令g(x)=x+1【解析】令f(x)=x+1ex-a=0,得a设g(x)=x+1ex,则g'(x)=e当x>0时,g'(x)<0,当x<0时,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(0)=1,而当x>-1时,g(x)>0;当x<-1时,g(x)<0.当x→-∞时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→0,所以g(x)的大致图象如图所示.①当a>1时,方程g(x)=a无解,即f(x)没有零点;②当a=1时,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零点;③当0<a<1时,方程g(x)=a有两解,即f(x)有两个零点;④当a≤0时,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零点.综上,当a>1时,f(x)没有零点;当a=1或a≤0时,f(x)有唯一的零点;当0<a<1时,f(x)有两个零点.【加练备选】已知函数f(x)=cosx+xsinx.(1)讨论f(x)在[-2π,2π]上的单调性;(2)求函数g(x)=f(x)-14x2-1零点的个数【解析】(1)因为f(-x)=cos(-x)-xsin(-x)=cosx+xsinx=f(x),x∈R,所以f(x)是R上的偶函数,也是[-2π,2π]上的偶函数.f'(x)=xcosx,当x∈[0,2π]时,令f'(x)>0,得0<x<π2或3π2<x<2π;令f'(x)<0,得π2<x<3π2,所以f(x)在[0,π2]和[3π2,2π]上单调递增,在(π2,3π2)上单调递减.因为f(x)是偶函数,所以当x∈[-2π,0)时,f(x)在[-2π,-3π2]和[-π2综上所述,f(x)在[-2π,-3π2],[-π2,0)和(π2,3π2)上单调递减,在(-3π2,-π2),[0,π2](2)由(1)得g(-x)=f(-x)-14(-x)2-1=g(x),所以g(x)是R上的偶函数.g'(x)=x(cosx-12①当x∈[0,2π]时,令g'(x)>0,得0<x<π3或5π3<x<2π;令g'(x)<0,得π3<x<5π3,所以(0,π3)和(5π3,2π)上单调递增,在(π3,5π3)上单调递减.因为g(π3)>g(0)=0,g((-32)-14×(5π3)2-12<0,g(2π)=-π2<0,所以∃x0∈(π3,5π3),使得g(x0②当x∈(2π,+∞)时,g(x)=cosx+xsinx-14x2-1<x-14x2<0,所以g(x)在(2π,+∞)上没有零点.由①②及g(x)是偶函数可得g(x)在R2.(10分)已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1)(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.【解析】(1)当a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3令f'(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.当x∈(-∞,3-23)∪(3+23,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(3-23,3+23)时,f'(x)<0.故f(x)的单调递增区间为(-∞,3-23),(3+23,+∞),单调递减区间为(3-23,3+23).(2)因为x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于x3x2+设g(x)=x3x2+x+1-3a,则当且仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6(a-16)2-16<0,f(3a+1)=13>0,故f综上,f(x)只有一个零点.3.(10分)(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=xaax((1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=x22xf'(x)=x(2-令f'(x)>0,得0<x<2ln2,此时函数f(x令f'(x)<0,得x>2ln2,此时函数f(x所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2ln2),单调递减区间为(2ln2,+∞(2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,可转化为方程xaax=1,即xa=ax(x>0)有两个不