新高考I卷地区高三数学模拟题题型细分28立体几何单选填空7球相关

2024年全国一卷新高考题型细分28——立体几何单选填空7试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。《立体几何_——单选填空》主要分类有：多面体体积、表面积，旋转体体积、表面积，线面关系判断，截面，线线角、线面角、二面角，点点距离、长度，点面距离，线线距离，外接球基础，外接球中下，外接球中档，内切球，球截面，球的体积，表面积，球缺，其他球相关，点线距离等，轨迹，最短路径，综合，拓展，其他，中档，中上等，大概226道题。内切球：（2024年湘J07株洲一检）13.若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为_【答案】【解析】【分析】由题意可得该圆柱的高，底面半径为【答案】【解析】【分析】由题意可得该圆柱的高，底面半径为，计算该球的表面积与该圆柱的侧面积即可得.【详解】由题意可得该圆柱的高，底面半径为，故该圆柱的侧面积,该球的表面积,则.故答案为：.（2024年苏J36七市三调）8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（

8．D【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可.【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则，，，因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切，，则，则，过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则，8．D【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可.【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则，，，因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切，，则，则，过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则，则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，

即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径.（2024年粤J25深圳一调）6.已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（【答案】C【解析】【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可.【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处，设球O与母线切于M点，所以【答案】C【解析】【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可.【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处，设球O与母线切于M点，所以，所以，所以与全等，所以，同理，所以，过A作，垂足为G，则，，所以，所以，所以，所以，所以该圆台的体积为.故选：C（2024年粤J21中附一调）7.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（【答案】D【解析】【分析】作图，找出图中的几何关系，求出母线长和球的半径即可.【详解】上图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知：，设圆台的上底面半径为r，下底面半径R，母线长为l，球的半径为，【答案】D【解析】【分析】作图，找出图中的几何关系，求出母线长和球的半径即可.【详解】上图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知：，设圆台的上底面半径为r，下底面半径R，母线长为l，球的半径为，则有，过点D作BC的垂线，垂直是G，则有，∴，在中，，∴圆台的侧面积与球的表面积之比为；故选：D．（2024年冀J03冀州一调）15.已知一个圆锥内切球的半径为3，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为【答案】或【解析】【分析】根据已知条件，列出关于底面半径和母线长的方程组，解方程组可得.【详解】设圆锥底面圆的半径为【答案】或【解析】【分析】根据已知条件，列出关于底面半径和母线长的方程组，解方程组可得.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l．如图：为圆锥的轴截面所以由①得③．由得④．将③代入④，得或，所以或．故答案为：或.（2024年浙J04温州一适）15.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为【答案】【解析】【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，【答案】【解析】【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点.则由题意可得：，.因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为.故答案为：（2024年鄂J04名校联盟，末）8.已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（【答案】B【解析】【分析】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值.【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取的中点为H，的中点为N，连接，【答案】B【解析】【分析】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值.【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取的中点为H，的中点为N，连接，，，球O为四棱锥内切球，底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面，则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，此圆为的内切圆，半径为r，与，分别相切于点E，F，平面平面，交线为，平面，为正三角形，有，平面，平面，，，，则有，，，则中，，解得.所以，四棱锥内切球半径为1，连接.平面，平面，，又，平面，，平面，平面，可得，所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径，又.所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为.故选：B.【点睛】方法点睛：四棱锥的内切球，与四棱锥的五个面都相切，由对称性平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，问题转化为三角形内切圆，利用面积法求出半径，即内切球的半径，由球心到直线的距离，求点M到直线的距离的最小值.（2024年粤J29珠海一中）7．将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（

【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为，则高为，表示出圆锥的体积，换元后利用导数可求出体积的最大值，从而可求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，作出圆锥的截面，然后利用三角形相似可求出圆锥内切球的半径.【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，所以圆锥的体积为，令，得，所以，则，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为，则高为，表示出圆锥的体积，换元后利用导数可求出体积的最大值，从而可求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，作出圆锥的截面，然后利用三角形相似可求出圆锥内切球的半径.【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，所以圆锥的体积为，令，得，所以，则，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为，设圆锥的内切球半径为，圆锥的轴截面图如图所示，则，因为，所以，所以,即，解得，故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，考查导数的应用，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定圆锥的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.（2024年苏J02前黄一模，末）14.在正方体中，球同时与以A为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点若以F为焦点，为准线的抛物线经过，，设球，的半径分别为，，则_【答案】##【解析】【分析】首先根据抛物线的定义结合已知条件得到球内切于正方体，设，得到，即可得到答案.【详解】如图所示：根据抛物线的定义，点到点F的距离与到直线的距离相等，其中点到点【答案】##【解析】【分析】首先根据抛物线的定义结合已知条件得到球内切于正方体，设，得到，即可得到答案.【详解】如图所示：根据抛物线的定义，点到点F的距离与到直线的距离相等，其中点到点F的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线距离即点到面的距离，因此球内切于正方体.不妨设，两个球心，和两球的切点F均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，，所以因为，所以，所以，因此，得，所以故答案为：（2024年粤J44梅州二月检）4.某圆锥底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（【答案】B【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，设内切球的半径为R，利用三角形面积关系建立关于R的方程，解之即可求解.【详解】圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为D，半径为R，则，所以，【答案】B【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，设内切球的半径为R，利用三角形面积关系建立关于R的方程，解之即可求解.【详解】圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为D，半径为R，则，所以，又，即，解得，即内切球的半径为.故选：B（2024年苏J07百师联盟）5.已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（【答案】D【解析】【分析】由题意可知圆台的轴截面为等腰梯形，计算出梯形的高，结合圆台的体积公式求解即可.【详解】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为，故梯形的高为，则该圆台的体积为.故选：D.）

【答案】D【解析】【分析】由题意可知圆台的轴截面为等腰梯形，计算出梯形的高，结合圆台的体积公式求解即可.【详解】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为，故梯形的高为，则该圆台的体积为.故选：D.（2024年湘J04师大附中）15.在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为【答案】【解析】【分析】取BC和的中点分别为P，Q【答案】【解析】【分析】取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及，，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，所以，，同理．因为内切球与平面相切，切点在上，所以①，在等腰梯形中，②，由①②得．在梯形中，③，由②③得，代入得，则棱台的高，所以棱台的体积为．故答案为：.（2024年湘J05长沙调研）13.一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为【答案】##【解析】【分析】根据三角形相似求出内切球半径，再利用球的表面积公式求其表面积.【答案】##【解析】【分析】根据三角形相似求出内切球半径，再利用球的表面积公式求其表面积.【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点，连接是球与侧面的切点，可知在上，，设内切球半径为，则，由△∽△可知，即，解得，所以内切球表面积为.故答案为：.（2024年浙J28宁波）7.在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（C；）

A.B.C.D.（中下）C；（2024年浙J37宁波模拟）7．在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（

7．C【分析】根据勾股定理求解棱台的高,进而根据相切，由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解.【详解】设棱台上下底面的中心为,连接，则，所以棱台的高,设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处，设中点为，连接,所以，解得，所以球7．C【分析】根据勾股定理求解棱台的高,进而根据相切，由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解.【详解】设棱台上下底面的中心为,连接，则，所以棱台的高,设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处，设中点为，连接,所以，解得，所以球的表面积为，故选：C（2024年粤J128深圳二模）13．已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为13．【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

设圆锥高为，母线长为，则在三角形中有，即13．【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

设圆锥高为，母线长为，则在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圆锥的表面积为.故答案为：.（2024年鲁J32潍坊二模）6．如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（

6．D【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台的侧面积公式求解即可.【详解】如图所示，作出轴截面，分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心，则为的中点，，因为，所以，则过点作，垂足为，则，在中，由勾股定理得，6．D【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台的侧面积公式求解即可.【详解】如图所示，作出轴截面，分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心，则为的中点，，因为，所以，则过点作，垂足为，则，在中，由勾股定理得，即，解得或，因为，所以，，故，所以圆台的侧面积为.故选：D.（2024年鲁J36济南名校联盟）8．已知正三棱锥P－ABC的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥P－ABC的体积为（

8．A【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中点O，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为，又因为球的半径，即，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，如图，过球心8．A【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中点O，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为，又因为球的半径，即，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，

所以，又因为，所以,因为，所以，又由题意可知，平面，所以，所以所以，所以.故选：A.（2024年鲁J43日照二模）6．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（

6．B【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解.【详解】取中点，可知在球面上，可得，所以，

点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，，所以的最大值为.故选：B.6．B【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解.【详解】取中点，可知在球面上，可得，所以，

点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，，所以的最大值为.故选：B.（2024年浙J02嘉兴一中一模）7.正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（【答案】C【解析】【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，再化简可求得其最大值.【详解】设正四面体的内切球球心为，为【答案】C【解析】【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，再化简可求得其最大值.【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则.因为正四面体的棱长为3，所以，所以，设内切球的半径为，则，，解得，当为内切球的直径时最长，此时，，，因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为.故选：C（2024年粤J35中山一中二调）7.在四面体PABC中，AP，AB，AC两两垂直，，若四面体PABC内切球的半径不小于，则AC的取值范围是（【答案】D【解析】【分析】先根据锥体体积公式表示出；再根据内切球的特点，利用分割法表示出，建立关于的等式；最后利用函数的单调性即可求解.【详解】取棱中点，记.由题意得：，，.因为，【答案】D【解析】【分析】先根据锥体体积公式表示出；再根据内切球的特点，利用分割法表示出，建立关于的等式；最后利用函数的单调性即可求解.【详解】取棱中点，记.由题意得：，，.因为，平面，平面.所以平面.则.设，四面体PABC内切球的半径为.因为AP，AB，AC两两垂直，.，则，.所以在中，，.则的面积为，因为.所以四面体PABC内切球的半径.因为是关于的增函数，，所以的解集为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查几何体内切球问题及锥体的体积公式.解题关键在于根据内切球的特点，利用分割法及锥体体积公式两种方法表示出，建立关于内切球半径的等式，再利用函数的单调性求解.（2024年苏J08宿迁调研，末）14.在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为【答案】10【解析】【分析】在圆锥的轴截面中求出大球、小球半径及正三角形边长的关系，然后再根据空隙处放入个小球相切的关系，利用三角函数性质求出小球最多的个数.【详解】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，设边长为.设实心球半径为，由【答案】10【解析】【分析】在圆锥的轴截面中求出大球、小球半径及正三角形边长的关系，然后再根据空隙处放入个小球相切的关系，利用三角函数性质求出小球最多的个数.【详解】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，设边长为.设实心球半径为，由得：，，，，.设小球的半径为，同理，，，，到直线的距离为.空隙处放入个小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为的圆上，如下图所示：为相邻两球的切点，，分别为球心，设，则，，由三角函数性质可知：，，，，又，，故小球个数最多为10个,即的最大值为.故答案为：球截面：（2024年鄂J20黄冈浠水三模，鲁J24枣庄三月考）7．在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（

7．C【分析】借助线面垂直的判定定理与性质定理可得、、两两垂直，即以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线分别为三段半径为，圆心角为的弧，借助弧长公式计算即可得.【详解】取中点，连接、，则有，，又，、平面，故平面，又7．C【分析】借助线面垂直的判定定理与性质定理可得、、两两垂直，即以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线分别为三段半径为，圆心角为的弧，借助弧长公式计算即可得.【详解】取中点，连接、，则有，，又，、平面，故平面，又平面，故，又，，、平面，故平面，又、平面，故，，由正三棱锥的性质可得、、两两垂直，故，即以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为：，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为.故选：C.

（2024年冀J46石家庄二检）8．已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心为球心作一个半径为的球，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为（8．B【分析】画出图形，求解正方体的中心与正八面体面的距离，然后求解求与正八面体的截面圆半径，求解各个平面与球面的交线、推出结果.【详解】如图所示，为的中点，为正方体的中心，过作的垂线交于点，正八面体的棱长为2，即，故，，，则，设球与正八面体的截面圆半径为，如图所示，则，由于，，所以，则，平面与球8．B【分析】画出图形，求解正方体的中心与正八面体面的距离，然后求解求与正八面体的截面圆半径，求解各个平面与球面的交线、推出结果.【详解】如图所示，为的中点，为正方体的中心，过作的垂线交于点，正八面体的棱长为2，即，故，，，则，设球与正八面体的截面圆半径为，如图所示，则，由于，，所以，则，平面与球的交线所对应的圆心角恰为，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为故选：B（2024年苏J21南通二适，末）8.在棱长为2正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（【答案】A【解析】【分析】根据正方体的几何性质确定外接球半径，设球心为，求解到截面的距离，从而可得截面圆的面积.【详解】取正方体的中心为，连接，由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为，正方体外接球球心为点，半径，又易得，且，所以三棱锥为正四面体，如图所示，取底面正三角形的中心为【答案】A【解析】【分析】根据正方体的几何性质确定外接球半径，设球心为，求解到截面的距离，从而可得截面圆的面积.【详解】取正方体的中心为，连接，由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为，正方体外接球球心为点，半径，又易得，且，所以三棱锥为正四面体，如图所示，取底面正三角形的中心为，即点到平面的距离为，又正三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得，即，所以，即正方体外接球的球心到截面的距离为，所以截面被球所截圆的半径，则截面圆的面积为.故选：A.（2024年粤J33珠海一中预测，末）8.已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（【答案】D【解析】【分析】设的中心为，球O的半径为R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大.【详解】如下图，设的中心为，球O的半径为【答案】D【解析】【分析】设的中心为，球O的半径为R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大.【详解】如下图，设的中心为，球O的半径为R，连接，OD，，OE，则，在中，，解得R＝2，所以，因为BE＝DE，所以，在中，，所以，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面的半径为，则截面面积为，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π.故选：D.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大.（2024年闽J19南平三检）14．在正四棱台中，，，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为的球上，则平面截球所得截面的面积为14．/【分析】先求出外接球的半径与球心位置；再做辅助线证明出平面，在中，设，结合图象列出关于的方程组，最后解出截面圆的半径即可.【详解】

由球的表面积为，所以，可知球14．/【分析】先求出外接球的半径与球心位置；再做辅助线证明出平面，在中，设，结合图象列出关于的方程组，最后解出截面圆的半径即可.【详解】

由球的表面积为，所以，可知球的半径为，设上下底面的中心分别为，因为，从而可知球的球心与下底面的中心重合；分别取和的中点，连接，则在直角梯形中得，则在直角梯形中得，过点作的垂线，垂足为，由于平面，平面，所以，由，，平面，从而平面，在中，设，则，则，和，联立解得：，又因为平面截球所得平面图形为圆面，所以圆面的半径，所以圆面面积为.【点睛】方法点睛：构建方程组利用勾股定理解截面圆半径是解决立体几何的一种重要方法.（2024年粤J135茂名二测）14．如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是14．【分析】当三棱锥的体积最大时，此时到底面的距离最大，即此时平面平面，取的中点，的中点，是三棱锥的外接球球心，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点，从而求解.14．【分析】当三棱锥的体积最大时，此时到底面的距离最大，即此时平面平面，取的中点，的中点，是三棱锥的外接球球心，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点，从而求解.【详解】当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面的距离最大，平面平面，且平面平面，取的中点，则，故平面，取的中点，则，又，且，则，又∵，故是三棱锥的外接球球心，且该外接球的半径；显然，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点，记其半径为，则；由于，平面，所以平面，而平面，则，则，在中，，故；又，故，又，故由余弦定理有，∴，故所求面积为.故答案为：【点睛】关键点点睛：取的中点，由，确定点是三棱锥的外接球球心.球的体积，表面积：（2024年浙J30嘉兴二模）5．如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（

5．D【分析】设半球半径为，圆锥高为，再根据圆锥侧面积与体积公式，结合球的表面积与体积公式求解即可.【详解】设半球半径为，圆锥高为，由题意，解得.故圆锥的体积与半球体的体积的比值为.故选：D

）

A．B．5．D【分析】设半球半径为，圆锥高为，再根据圆锥侧面积与体积公式，结合球的表面积与体积公式求解即可.【详解】设半球半径为，圆锥高为，由题意，解得.故圆锥的体积与半球体的体积的比值为.故选：D球缺：（2024年鄂J26武昌五月检）6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取）（

6．B【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得..【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm，由圆柱的底面圆直径为24cm，则有，即，可得，则，.故选：B.

）

A．cm3B．33664cm36．B【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得..【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm，由圆柱的底面圆直径为24cm，则有，即，可得，则，.故选：B.（2024年鲁J23泰安新泰一中，末，J03临沂一模，末）14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为【答案】①.②.【解析】【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交于点，过点作交于点，即可求出、、、、【答案】①.②.【解析】【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交于点，过点作交于点，即可求出、、、、、，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积与体积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，又，解得（负值舍去），过点作交于点，过点作交于点，则，，所以，同理可得，，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高，圆锥的高，底面半径，则其中一个球冠的表面积，球的表面积，圆锥的侧面积，所以几何体的表面积，又其中一个球缺的体积，圆锥的体积，球的体积，所以几何体的体积.故答案为：；【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积、体积要合理转化.其他球相关：（2024年粤J43茂名一模）14.如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半径都为，则上层的最高点离平台的距离为【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出四个球的球心构成的正四面体的高即可得解.【详解】依次连接四个球的球心，则四面体【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出四个球的球心构成的正四面体的高即可得解.【详解】依次连接四个球的球心，则四面体为正四面体，且边长为，正外接圆半径，则到底面的距离，所以最高点到平台的距离为