6.2.4向量的数量积第2课时向量数量积在夹角模垂直中的应用练习高一下学期数学人教A版

6.2.4向量的数量积第2课时向量数量积在夹角、模、垂直中的应用一、基础巩固1.已知向量a,b和实数λ,下列选项错误的是()A.|a|=a·a B.|a·C.λ(a·b)=λa·b D.|a·b|≤|a||b|2.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λab垂直,则实数λ等于()A.32 B.32 C.±323.在四边形ABCD中,AB=DC,且AC·BD=0,则四边形A.矩形 B.菱形C.直角梯形 D.等腰梯形4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a3b)=72,则|a|=()A.2 B.4 C.6 D.125.(多选题)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的是()A.33(a+b) B.a1C.a+12b D.a6.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=13,若向量a=3e12e2,则|a|=7.已知向量a,b满足(a+2b)·(5a4b)=0,且|a|=|b|=1,则a与b的夹角θ为.8.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a2b的夹角为120°,则|a||b9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角为60°,计算:(1)(2a+b)·(2ab);(2)|4a2b|.二、能力提升10.若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(ab)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(A.π4 B.π2 C.311.如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则ACA.23 B.32 C.33 D12.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足3a+mb+7c=0,其中a,b的夹角为60°,则实数m=.

13.已知|a|=2|b|=2,e是与b方向相同的单位向量,且向量a在向量b上的投影向量为e.(1)a与b的夹角θ=;

(2)若向量λa+b与向量a3b互相垂直,则λ=.

14.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(ab)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是.

15.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.若|ka+b+c|>1(k∈R),则k的取值范围为.

16.在四边形ABCD中,已知AB=9,BC=6,CP=2PD.(1)若四边形ABCD是矩形,求AP·(2)若四边形ABCD是平行四边形,且AP·BP=6,求AB三、拓展创新17.(多选题)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,下列结论正确的是()图1图2A.OA·ODB.OB+OHC.AHD.AH在AB参考答案一、基础巩固1.答案:B2.答案:A解析:由题意知(3a+2b)·(λab)=3λa2+(2λ3)a·b2b2=3λa22b2=12λ18=0,解得λ=323.答案:B解析:由AB=DC知四边形由AC·BD=0知AC⊥BD,即对角线互相垂直,因此四边形ABCD4.答案:C解析:∵(a+2b)·(a3b)=|a|2|a||b|·cos60°6|b|2=|a|22|a|96,又(a+2b)·(a3b)=72,∴|a|22|a|96=72,解得|a|=6或|a|=4(舍去),∴|a|=6.5.答案:AD解析:由题意知,a·b=|a||b|cos60°=12.A中,33(a+b)2=13(a2+2a·b+b2)=1;B中,a-12b2=a2a·b+14b2=34;C中,a+12b2=a2+a·b+14b2=74;D中,6.答案:3解析:∵|a|2=(3e12e2)·(3e12e2)=9e1212e1·e2+4e22=912×1×1×1∴|a|=3.7.答案:π解析:因为(a+2b)·(5a4b)=0,|a|=|b|=1,所以6a·b8+5=0,即a·b=12又a·b=|a||b|cosθ=cosθ,所以cosθ=12又θ∈[0,π],所以θ=π38.答案:2解析:∵a⊥b,∴a·b=0,(a+2b)·(a2b)=a24b2,|a+2b|=a2|a2b|=a2∴a24b2=a2+4化简得32a22b2=0,∴|9.解:(1)由题意得(2a+b)·(2ab)=(2a)2b2=4|a|2|b|2=4×4282=0.(2)∵|4a2b|2=(4a2b)2=16a216a·b+4b2=16×4216×4×8×cos60°+4×82=256,∴|4a2b|=16.二、能力提升10.答案:A解析:设a与b的夹角为θ,因为(ab)⊥(3a+2b),所以(ab)·(3a+2b)=0,即3|a|2|a||b|cosθ2|b|2=0,再由|a|=223|b|,得83|b|2223|b|2cosθ2|b|2=0,得cosθ=22,又θ∈[0,11.答案:D解析:AC·AD=|AC||AD|cos∠DAC=|AC|·=|AC|sin∠BAC=|BC|sinB=3|BD|sinB=3|12.答案:5或8解析:因为3a+mb+7c=0,所以3a+mb=7c,所以(3a+mb)2=(7c)2,即9+m2+6ma·b=49,又a·b=|a||b|cos60°=12所以m2+3m40=0,解得m=5或m=8.13.答案:(1)2π3解析:(1)由题意知|a|=2,|b|=1.又因为向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe=e,所以cosθ=12又θ∈[0,π],所以θ=2π(2)由(1)可知,θ=2π故a·b=|a||b|cos2π3=又因为λa+b与a3b互相垂直,所以(λa+b)·(a3b)=λa23λa·b+b·a3b2=4λ+3λ13=7λ4=0,所以λ=4714.答案:4解析:方法一:由a+b+c=0,得c=ab.又∵(ab)⊥c,∴(ab)·c=0,∴(ab)·(ab)=0,即a2=b2,|a|=|b|=1.∵a⊥b,∴a·b=0,∴|c|2=c2=(ab)2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.方法二:如图,作AB=BD=BC=b,则CA=c.∵a⊥b,∴AB⊥BC,又ab=BD-(ab)⊥c,∴CD⊥CA,∴△ABC是等腰直角三角形.∵|a|=1,∴|b|=1,|c|=2,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.15.答案:{k|k<0或k>2}解析:因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.因为a·b=a·c=b·c=cos120°=12所以k22k>0,所以k解得k<0或k>2,即k的取值范围是{k|k<0或k>2}.16.解:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AD·DC=0,由CP=2PD,得DP=所以AP·BP=(AD+DP)·(BC+CP)=AD+13DC(2)由题意,AP=所以AP·BP=AD+13AB·AD-23AB又AP·BP=6,所以181所以AB·AD=设AB与AD的夹角为又AB·AD=|AB|·|AD|cosθ=9×6×cosθ=54cosθ,所以54cosθ=36,即cosθ=所以AB与AD夹角的余弦值为三、拓展创新17.答案:AB解析:A中,OA,OD的夹角为135°,所以OA·OD=|OA||OD|cos135°=22,故A正确