2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（1）教学教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（1）教学教案新人教A版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析“2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（1）教学教案新人教A版必修4”的内容主要包括正切函数的定义、基本性质及其在单位圆上的图象。本节课的重点是让学生理解正切函数的概念，掌握其基本性质，并能够利用这些性质分析正切函数的图象。通过对正切函数性质与图象的学习，培养学生数形结合的思维方式，提高他们分析问题和解决问题的能力。

本节课的内容与学生的日常生活和后续学习密切相关，具有较高的实用性和实际意义。通过对正切函数的学习，学生能够更好地理解三角函数的本质，为后续学习更高级的数学知识打下坚实的基础。同时，本节课的知识点也是高考和学业水平考试的重点内容，对于学生来说具有重要的意义。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。通过学习正切函数的定义、基本性质及其图象，学生能够提高抽象思维能力，掌握逻辑推理的方法，培养数学建模的思想，并增强直观想象的能力。同时，通过自主探究、合作交流的学习过程，学生能够提升数据分析、数学运算等数学学科核心素养，从而提高他们在实际问题中的应用能力和创新意识。重点难点及解决办法重点：正切函数的定义、基本性质及其图象。

难点：正切函数性质的证明及其在单位圆上的图象的分析。

解决办法：

1.对于正切函数的定义，可以通过数形结合的方式，利用单位圆和直角三角形来直观地解释正切函数的概念，让学生更好地理解。

2.对于正切函数的基本性质，可以通过举例和归纳的方法，引导学生发现并证明正切函数的周期性、奇偶性等性质。

3.对于正切函数的图象，可以通过绘制单位圆和利用数学软件展示正切函数的图象，让学生直观地感受正切函数的性质，并能够分析图象的特点。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、黑板、粉笔、三角板、单位圆模型。

2.课程平台：学校教学管理系统、数学教学资源库。

3.信息化资源：正切函数的图象和性质的电子演示文稿、数学软件（如GeoGebra）、在线数学教学视频。

4.教学手段：讲授法、问题驱动法、合作学习法、数形结合法、实践操作法。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对正切函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道正切函数是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于正切函数的图片或视频片段，让学生初步感受正切函数的魅力或特点。

简短介绍正切函数的定义和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.正切函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解正切函数的基本概念、图象和性质。

过程：

讲解正切函数的定义，包括其在单位圆上的表示和性质。

详细介绍正切函数的图象特点，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.正切函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解正切函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的正切函数案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解正切函数的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际问题解决的影响，以及如何应用正切函数解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与正切函数相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的正切函数性质、图象特点以及应用场景。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对正切函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的正切函数性质、图象特点及应用场景。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调正切函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括正切函数的定义、图象和性质等。

强调正切函数在三角函数学习和实际问题解决中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用正切函数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于正切函数的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理1.正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值，记作tan(θ)。

2.正切函数的图象：正切函数的图象是一条周期性变化的曲线，周期为π。在单位圆上，正切函数的图象表现为从原点出发，沿着圆弧上下波动的曲线。

3.正切函数的性质：

a.奇偶性：正切函数是一个奇函数，即满足tan(-θ)=-tan(θ)。

b.周期性：正切函数是一个周期函数，周期为π，即满足tan(θ+π)=tan(θ)。

c.单调性：在区间(-π/2,π/2)内，正切函数是单调递增的；在区间(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减的。

d.奇点：正切函数在π/2+kπ（k为整数）处有奇点，即tan(π/2+kπ)不存在。

4.正切函数的应用：

a.求解三角方程：利用正切函数的性质，可以求解形如tan(θ)=a的三角方程。

b.分析三角函数的图象：通过正切函数的图象，可以分析其他三角函数的图象特征。

c.计算角度：在已知正切值的情况下，可以通过反正切函数求解对应的角度。

5.正切函数的图象与性质的关系：

a.正切函数的图象可以用来直观地观察正切函数的周期性、奇偶性等性质。

b.正切函数的性质可以用来分析和解释图象的特点，如波动周期、增减性等。教学反思与总结教学反思：

在本次正切函数的教学中，我采用了问题驱动法和合作学习法，引导学生主动探索正切函数的性质与图象。通过展示单位圆和利用数学软件展示正切函数的图象，帮助学生直观地感受正切函数的性质。在案例分析环节，我选择了几个典型的正切函数案例，让学生通过小组讨论的方式，深入分析正切函数的特性和重要性。

在教学过程中，我发现大部分学生能够较好地理解正切函数的定义和性质，但在证明正切函数的性质时，部分学生表现出一定的困难。针对这一问题，我在课堂上进行了针对性的讲解和辅导，让学生通过举例和归纳的方法，证明正切函数的性质。同时，我也鼓励学生在课后进行自主学习，通过查阅资料和练习题目，进一步提高对正切函数的理解。

教学总结：

总体来说，本节课的教学效果较好。学生通过学习，对正切函数的定义、性质和图象有了较为深刻的理解，能够在实际问题中应用正切函数进行分析。同时，学生在合作学习的过程中，培养了团队协作能力和解决问题的能力。

然而，在教学中也存在一些问题和不足之处。例如，在证明正切函数性质的过程中，部分学生仍然存在理解上的困难。此外，部分学生在课堂上的参与度不高，对于课堂讨论和提问反应较为被动。针对这些问题，我将在今后的教学中进行改进。

改进措施和建议：

1.针对学生理解上的困难，我将在课堂上更加注重讲解的清晰度和连贯性，通过举例和实际应用，帮助学生更好地理解正切函数的性质。

2.为了提高学生的课堂参与度，我将在课堂上采取更多的互动方式，如小组竞赛、角色扮演等，激发学生的学习兴趣和积极性。

3.对于课堂讨论和提问，我将鼓励学生主动发言，培养学生的表达能力和思维能力。同时，我也会及时给予学生反馈和鼓励，提高他们在课堂上的自信心。

4.针对学生在课后自主学习方面的需求，我将提供更多的学习资源和辅导，如在线学习平台、学习指南等，帮助学生巩固课堂所学知识，提高自主学习的能力。课堂小结，当堂检测1.课堂小结：

本节课我们学习了正切函数的定义、性质和图象。正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值，记作tan(θ)。我们知道，正切函数是一条周期性变化的曲线，周期为π。在单位圆上，正切函数的图象表现为从原点出发，沿着圆弧上下波动的曲线。

正切函数具有奇偶性、周期性、单调性和奇点等性质。奇偶性方面，正切函数是一个奇函数，即满足tan(-θ)=-tan(θ)。周期性方面，正切函数是一个周期函数，周期为π，即满足tan(θ+π)=tan(θ)。单调性方面，在区间(-π/2,π/2)内，正切函数是单调递增的；在区间(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减的。奇点方面，正切函数在π/2+kπ（k为整数）处有奇点，即tan(π/2+kπ)不存在。

正切函数在实际应用中有着广泛的应用，例如求解三角方程、分析三角函数的图象等。通过本节课的学习，我们希望能够让学生更好地理解正切函数的概念，掌握其性质和图象，并能够应用正切函数解决实际问题。

2.当堂检测：

（1）判断题（每题2分，共10分）

1.正切函数是一个偶函数，即满足tan(-θ)=tan(θ)。

2.正切函数的图象是一条直线。

3.在区间(-π/2,π/2)内，正切函数是单调递减的。

4.正切函数在π/2处有奇点。

（2）选择题（每题4分，共20分）

5.正切函数的周期为（）。

A.πB.2πC.3πD.4π

6.下列函数中，奇函数的是（）。

A.y=tan(x)B.y=sin(x)C.y=cos(x)D.y=ln(x)

7.已知tan(θ)=2，下列方程中正确的是（）。

A.θ=arctan(2)B.θ=π/2+arctan(2)

C.θ=3π/2-arctan(2)D.θ=π/2-arctan(2)

8.下列函数中，图象不经过原点的是（）。

A.y=tan(x)B.y=sin(x)C.y=cos(x)D.y=sec(x)

（3）填空题（每题3分，共15分）

9.正切函数的定义是______。

10.一个正切函数的周期是______，如果θ的终边在第二象限，则tan(θ)的值为______。

11.单位圆上，θ对应的正切值tan(θ)在______和______之间变化。

（4）解答题（每题10分，共40分）

12.证明正切函数是奇函数。

13.求解三角方程tan(θ)=3。

14.分析正切函数在区间（0,π）上的单调性。

15.绘制正切函数的图象，并指出其周期性和奇偶性。板书设计①正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值，记作tan(θ)。

②正切函数的性质：正切函数具有奇偶性、周期性、单调性和奇点等性质。奇偶性方面，正切函数是一个奇函数，即满足tan(-θ)=-tan(θ)。周期性方面，正切函数是一个周期函数，周期为π，即满足tan(θ+π)=tan(θ)。单调性方面，在区间(-π/2,π/2)内，正切函数是单调递增的；在区间(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减的。奇点方面，正切函数在π/2+kπ（k为整数）处有奇点，即tan(π/2+kπ)不存在。

③正切函数的图象：正切函数的图象是一条周期性变化的曲线，周