新课标人教a版高中数学（必修4）全册教案

1.1.1角的概念的推广-任意角

教学目标

知识与技能目标

理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念.

过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的

集合；掌握区间角的集合的书写.

情感与态度目标

提高学生的推理能力；2.培养学生应用意识.

教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写.

教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写.

教学过程

一、弓I入：

1.回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位

置旋转到另一个位置所形成的图形.

二、新课：

1.角的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置

所形成的图形.

②角的名称:

③角的分类:

「正角：按逆时针方向旋转形成的角

一零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

④注意:

⑴在不引起混淆的情况下，“角a”或“Na”可以简化a-a“；

⑵零角的终边与始边重合，如果a是零角a=0°;

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角.

⑤练习：请说出角a、6、Y各是多少度？

2.象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，

那么角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限

角.

例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

例2.在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角.

(1)60°;(2)120°;(3)240°;(4)300°;(5)420°;

(6)480°;

答：分别为1、2、3、4、1、2象限角.

3.探究：教材P3面

终边相同的角的表示：

所有与角a终边相同的角，连同a在内，可构成一个集合S={PI

。=a+k•360°,

k€Z),即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角

的和.

注意：

(1)k6Z

(2)a是任一角；

⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同

的角有无限个，它们相差

360°的整数倍；

⑷角a+k-720°与角a终边相同，但不能表示与角a终边相同

的所有角.

例3.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判

断它们是第几象限角.

⑴-120°;(2)640°;⑶—950°12'.

答：⑴240。，第三象限角；⑵280。，第四象限角;(3)129°48,，第二

象限角；

例4.写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360。的角表示).

解：{aIa=90°+n-180°,n6Z}.

例5.写出终边在歹=”上的角的集合S,并把S中适合不等式-360。

<6<720°的元素B写出来.

4.课堂小结

①角的定义；

②角的分类：

「正角：按逆时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法.

5.课后作业：

①阅读教材P2-P5;②教材P5练习第1-5题；③教材P.9

习题1.1第1、2、3题

a

思考题：已知a角是第三象限角，则2a,5各是第几象限角？

解：「a角属于第三象限，

k•360°+180°<a<k-360°+270°(k€Z)

因止匕，2k-360°+360°<2oc<2k-360°+540°(k€Z)

即(2k+1)360°<2a<(2k+1)360°+180°(k6Z)

故2a是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角.

a

又k-180°+90°<2<k-180°+135°(k€Z).

a

当k为偶数时，令k=2n(n£Z),则n-360。+900<i<n-360°+135°

(n€Z),

a

此时，万属于第二象限角

a

当k为奇数时，令k=2n+l(n6Z),则n-360°+270°<n-360°

+315°(n€Z),

a

此时，万属于第四象限角

a

因此5属于第二或第四象限角.

1.1.2弧度制(一)

教学目标

知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应

的关系；熟记特殊角的弧度数.

过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及

扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题

情感与态度目标

通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精

神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学

生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.

教学重点

弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.

教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系.

教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的？

1

规定把周角的而作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角

度制.

二、新课：

1.引入：

由角度制的定义我们知道，角度是用来度量角的，角度制的度量是60

进制的，运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常

用到另一种度量角的制度一弧度制，它是如何定义呢？

2.定义

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度

来度量角的单位制叫做弧度制.在弧度制下，1弧度记做1rad.在实

际运算中，常常将rad单位省略.

3.思考：

(1)一定大小的圆心角。所对应的弧长与半径的比值是否是确定

的？与圆的半径大小有关吗？

(2)引导学生完成P6的探究并归纳:

弧度制的性质：

71T_

①半圆所对的圆心角为r'②整圆所对的圆心角为

2".

---=2%.

r

③正角的弧度数是一个正数.④负角的弧度数是一个负数.

⑤零角的弧度数是零.⑥角a的弧度数的绝对值I

L

a\=f

4.角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度:

TTYijr

1°=---h0.01745nzdnQ=-----rad

360°=2%9•180』；180•180

②将弧度化为角度:

\rad=(―)^57.30?57180〃=(竺也)

2P—360•2=180；p;p

5.常规写法:

①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少冗的形式，不必写成

小数.

②弧度与角度不能混用.

6.特殊角的弧度

角030456090121315182736

度OOOOO050000

OOOOOO

弧

7171712万3冗5万3乃

7124

0~T~6T

度7T

7.弧长公式

p|=-?/rp|

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积.

例1.把67。30，化成弧度.

3,

—71rad

例2.把5化成度.

例3.计算：

(l)sin—.

''4?.(2)tan1.5・

例4.将下列各角化成。到2TT的角加上2kw(k£Z)的形式:

⑴等.(2)-315°

9

例5.将下列各角化成2k冗+a(kCZ,a<2几)的形式，并确定

其所在的象限.

而6是第三象限的角，3是第三象限礼

—是第

⑵二象限角

例6.利用弧度制证明扇形面积公式S=《优其中/是扇形弧长,R是圆的半径

2.—成2

证法一：，.,圆的面积为成一，.•.圆心角为Irad的扇形面积为2万，又

扇形弧长为1,半径为R,

、-.S^---R2=-IR

二.扇形的圆心角大小为Arad,「.扇形面积R22

证法二：设圆心角的度数为n,则在角度制下的扇形面积公式为

2

cn-7rRHTTR1n兀R1

360,又此时弧长180,/.21802.

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇

形面积公式显然要简洁得多.

扇形面积公式：S=3次=!|«|7?2

7.课堂小结①什么叫1弧度角？②任意角的弧度的定义③“角度制”

与“弧度制”的联系与区另山

8.课后作业：

①阅读教材P6P8;

②教材P9练习第1、2、3、6题；

③教材P10面7、8题及B2、3题.

4-1.2.1任意角的三角函数（三）

教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公

式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数

值;

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表

示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三

角函数的定义域、值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科

学精神；

教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

教学过程：

一、复习引入：

1.三角函数的定义

2.诱导公式

sin(2左%+a)=sina(kGZ)

cos(2攵乃+a)=cosa(kGZ)

tan(2左1+a)=tana(kGZ)

练习］tan600"的值是.p

A.--B.—C.-V3D.V3

33

练习2.若sin8cos9>0,贝I*在.g

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第一、四象限D.第二、四象限

练习3若cos6>>0,且sin2,<0则。的终边在c

A.第一象限B.第三象限C.第四象限D.第二象限

二、讲解新课:

当角的终边上一点尸口内）的坐标满足I、'=1时，有三角函数正弦、

余弦、正切值的几何表示一一三角函数线。

1.有向线段:

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2.三角函数线的定义:

设任意角a的顶点在原点。，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位

圆相交与点尸

过尸作X轴的垂线，萼和为M；过点41，°）作单保圆的曲线，它与角a

的终边或其反向

长线交与点

T

(Ill)(IV)

由四个图看出：

当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段。加“g二人于是有

•yy%%yMPAT

sma=—=—=y=MPcosa-----x-OMtan«=—===A-T

r1,r1,xOMOA

我们就分别称有向线段加。河，NT为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

(1)三条有向线段的位置：正弦线为。的终边与单位圆的交点到％轴

的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交

点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向。的终边与单位圆的

交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与a的终边的交点。

(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或歹轴同向的为正

值，与x轴或N轴反向的

为负值。

(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在

后面。

4.例题分析:

例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

715万2乃134

(1)3；(2)不；(3)-T；(4)一丁.

解：图略。

冗

若0<a<—,证明sina+cosa>1.

例2.2

例3上匕较大小：

24(2)COS^7T^4

(1)sin—乃与sin一乃cos一4

355

.214

(z3)tan—乃与tan一乃

2加上满足sinx2；的x的取值范围是(

例4.在[0,)

715万7t2%5万

A.B.C.D.--，71

1_66J[63JL6

例5.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围.

(2)cosx>—.

-----F2kji<x<-----F2k兀、keZ-------F2k兀<x<—F2左万,keZ

答案：(1)66;(2)66

三、巩固与练习：P17面练习

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.三角函数线的定义；

2.会画任意角的三角函数线；

3.利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

五、课后作业：作业4

参考资料

例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

如图可知:

tan3<

例2.利用单位圆寻找适合下列条件的0。至|360。的角

1°sina>2tana>

30°<a<150°

300<a<90°或210°<a<270°

补充：1.利用余弦线比较364。,《)5285。的大小；

—万<e八<—万

2.若42,贝”比较sin。、cos。、tan。的大小；

3.分别根据下列条件，写出角6的取值范围：

cos6*A<——也s.ina〃>--也-

(1)2；(2)tan，>-1；(3)2.

4-1.2.1任意角的三角函数(1)

教学目的：

知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角a终边上一点，会求角a的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式(一)。

能力目标：(1)理解并掌握任意角的三角函数的定义；

(2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

(3)通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高

学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数

就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数

的定义域和函数值在各象限的符号）,以及这三种函数的第一组诱导

公式。公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、

正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.

教学过程：

一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在ABC中，设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正

.4a.ha

sinA=—,cosA=—,tanA4=—

弦、余弦、正切依次为ccb.

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重

新定义。

二、讲解新课：

1.三角函数定义

在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点尸（除了原

点）的坐标为GJ）,它与原点的距离为一=皿『+32=4+）?>0）,

那么

—sincr=—

（1）比值/叫做Ct的正弦，记作sma,即r；

xx

cosa=一

（2）比值一叫做a的余弦，记作cosa,即

y,y

—tanct——

(3)比值x叫做a的正切，记作tana,即x；

XX

—cota=一

(4)比值、叫做a的余切，记作cota,即y；

说明：①a的始边与x轴的非负半轴重合，a的终边没有表明a一定

是正角或负角，以及a的大小，只表明与a的终边相同的角所在的位

置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角a,四个比值不以点尸(XJ)

在a的终边上的位置的改变而改变大小；

71

a=—+k兀也GZ)

③当2时，a的终边在歹轴上，终边上任意一点的横坐

标x都等于0,

y.x

tanct=—cota=一

所以X无意义；同理当左GZ)时，V无意义；

y_y_-

④除以上两种情况外，对于确定的值a,比值「、〃、x、丁分别是

一个确定的实数，

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以

上四种函数统称为三角函数。

2.三角函数的定义

函数定义域值域

域、值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

y=tana{a|aw]+k兀、kELZ}R

注意：

⑴在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与

X轴的非负半轴重合.

（2）a是任意角，射线0P是角a的终边，a的各三角函数值（或是

否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到0P的位置无关.

⑶sin。是个整体符号,不能认为是“sin”与“a”的积.其余五个

符号也是这样.

（4）任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别：

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相

似（直角）三角形的性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函

数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与

坐标、距离与坐标的比来定义的，它也适合锐角三角函数的定义.实质

上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一

般的认识和研究过程.

⑸为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直

角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重

合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数

类比记忆.

3.例题分析

例1.求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特

殊角的三角函数值）

3万

(1)0；(2)万；(3)T.

解：(1)因为当二=。时，x=r,N=0,所以

sin0=05cos0=l,tan0=0?cot0不存在

(2)因为当时，x=-r,y=°,所以

sin乃=0,cos/r=-1,tan乃二0,cot乃不存在,

31

cc——

(3)因为当2时，x=0,y=­,所以

.3万[3兀

sin——=-Icos—=0tan——cot—=0

2,2,2不存在,2,

例2.已知角a的终边经过点°(2,-3),求a的四个函数值。

解：因为X=2J=-3,所以，=隹+㈠y=而,于是

sina=7=Wx22V13

cosa=—=—；==----

ry/1313.rVl313

y3x2

tana=—=——cota=—=——

x2•，V3

例3.已知角a的终边过点(。，2。)(。。0),求cc的四个三角函数值。

解：因为过点32。)3H°),所以卜=有1。1,x=a,y=2a

。>0时,5亩二=上=善一=隼-=撞xay[5a

cosa=—=-j=-=---

当rv51a|y]5a5ry/5a5

tana=2;cota=-

29

0时,sina=2=^^-=T^=2石

a<

当rJ51al75a5

X

cosa=—tana=2；cot；

ry[5a5"4

4.三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知:

y

①正弦值一对于第一、二象限为正（7>°，"°）,对于第三、四象限

为负（"0"〉0）；

X

②余弦值;对于第一、四象限为正（x>°">°）,对于第二、三象限

为负为<0/>0）；

y

③正切值X对于第一、三象限为正（XJ同号），对于第二、四象限为

负（X/异号）.

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

练习：确定下列三角函数值的符号：

sin（-马

（1）cos250-；（2）I4；（3）tan（-672。）；（4）

1\7t

tan----

3.

例4.求证：若sine<0且tane>0,则角，是第三象限角，反之也成立。

5.诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：

sin（a+2左万）=sina,

cos（a+=cosa,其中《cZ

tan（a+2%））=tana,

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0〜27T间角

的三角函数值问题.

cos—tan(----)

例5.求下列三角函数的值：(1)4,(2)6,

Icosxltanx

y=J—L+r~~I

例6.求函数cosx的值域

解：定义域：cosxMx的终边不在x轴上又,.,tanxH。x

的终边不在y轴上

二.当x是第［象限角时，％>°/>。cosx=|cosxItanx=|tanxI

y=2

........II.........,x<0/>°|cosx|=-cosxItanx|=-tanx

.,.y=-2

x<0,y<0

........IllIV......,x>o,y<o|cosx|=-cosxItanxI=tanx

/.y=0

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.任意角的三角函数的定义；2.三角函数的定义域、值域；3.三

角函数的符号及诱导公式。

五、巩固与练习

1、教材P15面练习；

2、作业P20面习题1.2A组第1、2、3(1)(2)(3)题及P21面

第9题的(1)、(3)题。

4-1.2.2同角三角函数的基本关系

教学目的：

知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式

及它们之间的联系；

2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函

数值的方法。

能力目标：牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于

解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的

变式应用

教学过程：

一、复习引入：

1.任意角的三角函数定义：

设角a是一个任意角，a终边上任意一点尸（羽丁），它与原点的距离为

,______yxy

zJ\TF2-sincr=—cosa=—tancr=—

=+3=虫+N>0）,那么：r,r,x,

2.当角a分别在不同的象限时，sina、cosa、tga的符号分别是

怎样的？

.,3

sm4二一

3.背景：如果5,A为第一象限的角，如何求角A的其它三角

函数值；

4.问题：由于a的三角函数都是由x、y、r表示的，则角a的三个

三角函数之间有什么关系？

二、讲解新课：

(-)同角三角函数的基本关系式：

(板书课题：同角的三角函数的基本关系)

由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

sina

、tana=-----、0

(1)商数关系：cona(2)平方关系：sm-a+con-a=l

说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sirM+cos24a=1等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

k兀

tanacota=l(6zw——,kGZ)

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变

形用)，如：

_______sina

cosa=±，l-sm-a,sina=l-cos~a,tana等。

2.例题分析：

一、求值问题

12

sin。=—

例1.(1)已知13,并且a是第二象限角，求cosa,tana,cota.

4

cosa=__

(2)已知5,求sina,tana.

2222

22cos=1-sin6Z=1-(—)=(—)

解：(1)•「sin2=+cos~a=l,/.1313

5

COSOL----

又•「a是第二象限角，/.cosa<0,即有13,从而

sina1215

tanacota

cosa5,tana12

sin2a=\-cos2a=i-(_y)2=

(2)sin2a+cos2a=1,

cosa=——<0

又：5,二.a在第二或三象限角。

3sina3

sma=-tana=-----=一一

当a在第二象限时，即有sina>0,从而5,cosa4；

3sina3

sina=——tana=------=—

当a在第四象限时，即有sina<0,从而5,cosa4

总结:

已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角

函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于

角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。

解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位

置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

例2.已知tana为非零实数，用tana表示sina,cosa.

sina

29tancr=------

角单：•/sina+cosa=1?cosa,

21

.・.(cosa•tana)2+cos2a=cos2a(l+tan2a)=1,Rp有-1+tan2a)

又・・・tana为非零实数，.・.a为象限角。

当二在第一、四象限时，即有cosa〉0,从而

I1Jl+tan2a

cosa=J--------=--------5—

V1+tana1+tana,

tanajl+tan2a

sina=tana-cosa----------z--------

"tan-a；

当。在第二、三象限时，即有cosa<0,从而

I1Jl+tan2a

cosa=-J-------z—=----------5—

V1+tan**a1+tana,

tan.Jl+tan%

sina=tana-cosa=--------------：-------

l+tan-a.

------------------u72sin+2sincosa-cosa.

份3、已次口sina=2cosa,求5sina+2cosa

解.vsina=2cosa「.tana=2

.sina-4cosa_tana-4_-2_1

5sina+2cosa5tana+2126

强调(指出)技巧：1°分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐

次式

注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，才巴分子、分母同除以cosa,

将分子、分母转化为tana的代数式；

20“化1法”

可利用平方关系si^a+cos2a=1,将分子、分母都变为二次齐次式，

再利用商数关系化归为tana的分式求值；

小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：

(1)尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；

(2)尽量使分母不含三角函数式；

(3)根式内的三角函数式尽量开出来；

(4)能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，

常将式子中的“1”作巧妙的变形，

二、化简

练习1.化简a-入2440。

解：原式=正疝2(360。+80。)=Jl-sin"。。=7cos280°=cos80°

化简iOS%l+cos8(乃＜e(当)

练习2.V1+cos^VI-cos^

三、证明恒等式

cosx_l+sinx

例4.求证：1-sinxcosx.

证法一：由题义知COSXHO,所以l+sinx*0,l—sinxxO.

cosx(1-4-sinx)cosx-(.l_+_s_i_n_x_)_1+sinx

「•左边=。一sinx)(l+sinx)--------cos2x-cosx一右边.

原式成立.

证法二：由题义知rcosxwO,所以l+sinxwOJ-sinxoO.

又・.・(1-sinx)(l+sinx)=l-sin2x=cos2x=cosx-cosx,

cosx_1+sinx

1-sinxcosx

证法三：由题义知COSXH0,所以l+sin"0,l-sinx#0.

cosx1+sinxcosx-cosx-(1+sinx)(l-sinx)cos2x-l+sin2x.

---------------------=----------------------------------------=----------------------=0

1-sinxcosx(1一sinx)cosx(1—sinx)cosx

cosx_1+sinx

1-sinxcosx

总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成

统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另

一边；

(2)证明左右两边同等于同一个式子；

(3)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值;

五、课后作业：《习案》作业第五课时

参考资料

化简Vl-2sin400cos400.

角单：原式='sin240°+cos)400-2sin40°cos40'

=yj(sin400-cos400)2=|cos400-sin40°|=cos40°-sin40"

,sina+cosa=-(0<0<TI)…八4•3八3c

思考1.已知5,求tan。及sm0-cos。的值。

12兀

sinacosa=---,0<0<JC,得：cos0<0z.0e,K)

解：1。由25'

7

(sin…sa6竺,得：sin0-cos9=y

由25联立:

,4

sin0+cos0=—sinA

0=—4

ntan0

尹3

sin0-cos9=—cos0=——

55

91

sin30-cos30=(—I

2°125

sina=-——,cosa=——a是第四象限角，的/古

2、已知w+5m+5求tana的值。

上网了+(—)2=]

解:「sin2a+cos2a=1m+5m+5

化简，整理得：加（m-8）=0mx=0,加2=8

sina=—,cosa=（与a是第四象限角不合）

当m=0时，55

12512

sina=-----,cosa=­，tana=-----

当m=8时，13135

1.3诱导公式（一）

教学目标

（一）知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式.

⑵培养学生化归、转化的能力.

（二）过程与能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五.

（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单

三角恒等式的证明.

（三）情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质

以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质.

教学重点

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途,

熟练驾驭公式.

教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证

明.

教学过程

一、复习：

诱导公式(一)

sin(360%+a)=sinacos(360%+a)=cosatan(360%+a)=tana

诱导公式(二)

sin(l80°+a)=-sinacos(l80°+a)=-cosatan(l80°+a)=tana

诱导公式(三)

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tana

诱导公式(四)

sin(l80°-a)=sinacos(l80°-a)=-cosatan(l80°-a)=-tana

对于五组诱导公式的理解：

①公式中的a可以是任意角；

②这四组诱导公式可以概括为：

2k/r+a(keZ),-a,乃+a,乃-a,的三角函数值，等于它的同名

三角函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。

总结为一句话：函数名不变，符号看象限

练习1：P27面作业1、2、3、4。

2：P25面的例2：化简

二、新课讲授：

sin(---a)-cosacos(----a)-sina

1、诱导公式(五)2V2

sin(y+(z)=cosacos(y+a)=-sina

2、诱导公式（六）

总结为一句话：函数正变余，符号看象限

例L将下列三角函数转化为锐角三角函数：

(l)tan-(2)sin----(3)cos519°,(4)sin(---------万).

5363

练习3:求下列函数值：

⑴cos受，(2)sin(--),(3)sin670°,(4)tan580°).

64

兀、

si.n(3-----a)=-cosa

例2.证明：(1)2

兀、.

cos(3------a)=-sina

(2)2

兀1\JI

sin(2»-a)cos(乃+a)cos(­+a)cos(^——a)

9)

片cos(/r-Q)sin(3%-a)sin(-a-7r)sin(+a)

例3.化筒：2

例4.已知tan(乃+a)=3,

求.2cos(万一a)-3sin(%+a)的值

4cos(-a)+sin(2乃一a)

解:,/tan(4+a)=3,tana=3.

-2cosa+3sina_-2+3tana_-2+3x3

原式=

4cosa-sina4—tana4-3

小结:

①三角函数的简化过程图:

②三角函数的简化过程口诀:

负化正，正化小，化到锐角就行了.

练习4:教材P28页7.

三.课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数.

四.课后作业：

①阅读教材；

②《习案》作业七.

1.3诱导公式(二)

教学目标

(―)知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式.

⑵培养学生化归、转化的能力.

(二)过程与能力目标

(1)能运用公式一、二、三的推导公式四、五.

(2)掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单

三角恒等式的证明.

(三)情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质

以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质.

教学重点

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途,

熟练驾驭公式.

教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证

明.

教学过程

一、复习：

诱导公式(一)

sin(360%+a)=sinacos(360%+a)=cosatan(360%+a)=tana

诱导公式(二)

sin(180°+a)=-sincrcos(180°+a)=-cosatan(1800+a)=tana

诱导公式(三)

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tana

诱导公式(四)

sin(7r-a)=sinacos(K-a)=-cosatan(九一a)=一

tana

诱导公式(五)

sin(--a)=cosacos(--a)=sina

诱导公式（六）

sin(—+a)=cosacos(y+a)=-sina

二、新课讲授：

练习L将下列三角函数转化为锐角三角函数：

。2[1*7

(l)tan—,(2)sin——,(3)cos519°,(4)sin(-----兀).

5363

练习2：求下列函数值：

⑴cos且，(2)sin(-^),(3)sin670°,(4)tan580°).

64

./34、

sin(------a)=-cosa

例1.证明：(1)2

式、.

cos(3------a)=-sina

(2)2

JI1\JI

sin(2万-a)cos(乃+a)cos(—+a)cos(--a)

9乃

片上cos(i-a)sin(3乃一a)sm(-a-乃)sin(——+a)

例2.化同：2

2cos(乃-a)-3sin(乃+a)

例3.已知tan(%+a)=3,求:的值。

4cos(-a)+sin(2万-a)

tan(乃+o)=3,「.tana=3.

一2cosa+3sina-2+3tana-2+3x3-

--------------------=---------------=------------=7.

4cos6Z-sincr4-tana4-3

已知sin(a+%)=3,且sinacosa<0,求2sin("-+3tan(3"-a)的值.

54cos(a-3%)

小结:

①三角函数的简化过程图:

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了.

练习3:教材P28页7.

化简:

•sin(a-2%卜cos(2万-a);

tan(360°+a)

(2)cos2(-a)-

sin(—a)

1口冗

已知sina,cosa是关于x的方程/-ax+-=()的两根，且3〃<a<——.

例5.