石家庄市重点名校2017-2018学年高二下学期期末调研数学试题

石家庄市重点名校2017-2018学年高二下学期期末调研数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一只袋内装有机个白球，"一加个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直

到取出黑球为止，设此时取出了x个白球，则下列概率等于的是()

4

A.P(X=3)B.尸(X，2)c.P(X<3)D.P(X=2)

【答案】D

【解析】

【分析】

当X=2时，前2个拿出白球的取法有种，再任意拿出1个黑球即可，有。，二,种取法，在这3次拿球

中可以认为按顺序排列，由此能求出结果.

【详解】

当X=2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，

前2个拿出白球，有反种取法，再任意拿出1个黑球即可，有CL,种取法，

而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，

此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即可，

5-m)鬣

P(X=2)=A；

故选：D.

【点睛】

本题考查超几何分布概率模型，考查运算求解能力，属于基础题.

2.已知函数/(X)=/+”*+2COSX,其中e为自然对数的底数，则对任意aeR,下列不等式一定成

立的是()

A.f(a2+l)>f(2a)B.f(a2+l)<f(2a)

C.f(a2+l)>f(a+l)D.f(a2+l)<f(a)

【答案】A

【解析】

【分析】

/(-%)=/(%),可得"尤)在R上是偶函数.函数/(£)=，+"工+2cosx,利用导数研究函数的单调

性即可得出结果.

【详解】

解：=.・.〃％）在R上是偶函数.

函数/（%）=，+e'+2cos],

fr^x）=ex—e~x—2smx,

令g（%）=ex-e~x-2sinx,

则g'（尤）="+/"-2cosx>0,

.•・函数g（%）在R上单调递增，

r（o）=o,

・•・函数/（尤）在[0,y）上单调递增.

6Z2+1>2|6Z|>0,

/（/+1）"2同）=/（2a）,

故选：A.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

3.已知数列｛%｝是等比数列，若q=L%=16,则/的值为（）

A.4B.4或-4C.2D.2或-2

【答案】A

【解析】

【分析】

设数列｛an｝的公比为q,由等比数列通项公式可得q4=16,由a3=aIq2,计算可得.

【详解】

因=16,q—4,a?=dyq——4

故选：A

【点睛】

本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题.

4.如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲

组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为17.4,则x、y的值分别为

9

9x666y

6

A.7、8B.5、7

C.8、5D.7、7

【答案】D

【解析】

【分析】

根据中位数和平均数的公式分别进行计算即可.

【详解】

组数据的中位数为17,.'X=7,

乙组数据的平均数为17.4,

.-.|(9+16+16+10+y+29)=17.4,

得80+y=87,

贝！Iy=7,

故选D.

【点睛】

本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数和平均数的公式是解决本题的关键.中位数即最中间的数据，平

均数即将所有数据加到一起，除以数据个数.

5.设直线x+y-a=O与圆(X—2)2+J?=4交于A,B两点，圆心为C,若AABC为直角三角形，则。=

()

A.0B.2C.4D.0或4

【答案】D

【解析】

【分析】

AA5C是等腰三角形，若为直角三角形，则NACB=90°,求出圆心到直线的距离d,则］=也厂.

【详解】

圆心为C(2,0),半径为「=2,d=•••AA3C为直角三角形，.•.NAC8=90°,而CA=CB=r,

工考x2,"0或4.

d=―—r，即

2

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系.在直线与圆相交问题中垂径定理常常要用到.

6.AABC中，ZC=90»且C4=2,C3=3,点Af满足BM=AB，则CM.CA=

A.18B.8C.2D.-4

【答案】D

【解析】

分析：以点。为原点，以CA所在的直线为X轴，以C5所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求得

点股的坐标，利用向量的坐标运算即可求解.

详解：由题意，以点。为原点，以CA所在的直线为X轴，以C3所在的直线为y轴，建立平面直角坐标

系，则C(0,0),A(2,0),5(0,3),

设点M{x,y),贝!|=(x,y—3),AB=(-2,3)，

又由BW=AB，所以x=—2,y=6,即M(—2,6),

所以CW=(—2,6),C4=(2,0),所以CM-C4=—2x2+6x0=—4,故选D.

点睛：本题主要考查了向量的坐标表示与向量的坐标运算问题，其中恰当的建立直角坐标系，求得向量的

坐标，利用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推

理与计算能力.

7.设随机变量X服从正态分布N(4,b2),若P(X>")=0.4,贝!|P(X>8—加)=()

A.0.6B.0.5C.0.4D.与。的值有关

【答案】A

【解析】

分析：根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得尸(X>8-m),

从而求出尸(X>8-㈤即可.

详解：随机变量X服从正态分布N(4,<T2),

,正态曲线的对称轴是x=4,

P(X>m)=0,4,

而相与8-机关于x=4对称，由正态曲线的对称性得：

P(X>m)=P(X<8-m)=0.4,

故P(X>8-/7t)=l-0.4=0.6.

故选：A.

点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x=R；(2)标准差。；(3)分布区间.利用对称性可求

指定范围内的概率值；由内。，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间，从而求出所

求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

8.在(X-Q)1。的展开式中，炉的系数是()

A.-27C^,B.27GJ)C.-9叱D.9cL

【答案】D

【解析】

试题分析：通项Tr+l=GoXl「r(一如)r=(―G)「/X】。).令10—r=6,得r=4二x6的系数为9盘)

考点：二项式定理

9.若函数/(x)=asinx+cosx在为增函数，则实数a的取值范围是()

A.[1,4W)B.(-00,-有]

c.[-A1]D.(―8,—6]u[L”)

【答案】A

【解析】

【分析】

7171

利用函数的导函数在区间-恒为非负数列不等式，用分离常数法求得。的取值范围.

_34_

【详解】

7171——,兀兀t

依题意，f(x)=QCOS%-sinX2。在区间—上恒成立，即acos%2sin%当无£—时,

3434

sinX兀兀兀

cosx>0,故-----=tanx,y=tanx在xw——时为递增函数，其最大值为tan—=1,故。之1.

cosx134」4

所以选A.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.

10.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

A.144个B.120个C.96个D.72个

【答案】B

【解析】

试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1

个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、

末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算

可得答案.

解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；

分两种情况讨论：

①首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A?=24

种情况，此时有3x24=72个，

②首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A?=24

种情况，此时有2x24=48个，

共有72+48=120个.

故选B

考点：排列、组合及简单计数问题.

11.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预

赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）

学生序号12345678910

立定跳远

1.961.681.821.801.601.761.741.721.921.78

（单位：米）

30秒跳绳

63756062727063

（单位：次）

在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则以

下判断正确的为（）

A.4号学生一定进入30秒跳绳决赛

B.5号学生一定进入30秒跳绳决赛

C.9号学生一定进入30秒跳绳决赛

D.10号学生一定进入30秒眺绳决赛

【答案】D

【解析】

【分析】

先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果

【详解】

进入立定跳远决赛的学生是1,3,4,6,7,8,9,10号的8个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，

1,3,4,6,7,8,9,10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3,

6,7号学生的成绩依次排名为1,2,3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛,

则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，矛盾，所以1,3,6,7,

10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.

12.已知i为虚数单位，复数z满足(1—i"=2i,N是复数z的共轨复数，则下列关于复数z的说法正确

的是()

A.z—1—iB.|z|=2

C.z-z=2D,复数z在复平面内表示的点在第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出z,然后逐一核对四个选项得答案.

【详解】

(1-0-z=2z,

2z2/(1+0.

Z=---=---------=-1l+z,

1-Z(1-0(1+0

|z|=z——l-i

zz=(-l+z)(-l-z)=l+l=2

复数z在复平面内表示的点在第二象限，故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

二、填空题：本题共4小题

Y­A.—sin?9

13.参数方程一(OeR)所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______.

y-cos0

【答案】(3,0)

【解析】

【分析】

根据sin2e+cos2，=1消参，将＜(eeR)化为直角坐标系下曲线方程，即可求x轴的交点坐

y=cos0

标.

【详解】

x=4-sin20,fsin2^=4-x'八'八

＜可化为＜可得:sin6+cos6=4-x+y9

y=cos0[cos0=y

y1=x-3

当y=0时,x=3

•••曲线与X轴的交点坐标是（3,0）.

故答案为：（3,0）.

【点睛】

本题考查圆锥曲线的参数方程和普通方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，

消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.本题采用了三角

恒等式消元法.

14.在（x+工尸的二项展开式中，尤2项的系数为______（结果用数值表示）

2

45

【答案】森

【解析】

【分析】

根据二项式定理展开式的通项公式，即可求得f项的系数.

【详解】

二项式展开式的通项公式为T+l=C；o（4［口

所以当厂=8时为f项

则4=C；o(x)2

45

所以£项的系数为注

256

45

故答案为：777

256

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式的应用，求指定项的系数,属于基础题.

15.（4-3尤+2y）"（"N*）展开式中不含》的项的系数和为.

【答案】1

【解析】

【分析】

先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和.

【详解】

要求（4-3x+2y）"（ndN*）展开式中不含y的项，

只需令y=0，（4-3x+2y）"（"eN*）展开式中不含）的项的系数和即为（4-3x）"展开式的系数和,

令x=l得(4-3力”展开式的各项系数和为(4-3)”=1；

故答案为：1.

【点睛】

因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项

系数和的一种重要方法.

16.在正方体A3CD-A4GD1中，已知取为A片的中点，则异面直线AM与4。所成角的余弦值为

【答案】巫

5

【解析】

【分析】

取A8中点N,连接4N,NC,根据四边形为平行四边形可得AM//4N,从而可知所求角为

/CB、N；在MNC中，利用余弦定理可求得cosNC^N,即为所求余弦值.

【详解】

取中点N,连接4N,NC

M,N分别为A4，AB中点.­.B.M/JAN

二.四边形为平行四边形:.AM!!BXN

与B。所成角即为B.N与B。所成角，即ZCBtN

设正方体棱长为2a,则4N=J5a,4c=2缶，CN=y[5a

BW+BQ-ay?_5〃+8/5片_®

cosNCBN]=

2B[N•B©4A/10«25

即异面直线AM与gC所成角的余弦值为：孚

本题正确结果：A

5

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平行关系将异面直线平移为相交直线，转变为相交直线

所成角，从而将所求角放入三角形中来求解，属于常考题型.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

X

17.已知F(x)=—4)力，xe(-i,4-oo).

-1

⑴求F(x)的单调区间；

(2)求函数F(x)在［1,5］上的最值.

225

【答案】(1)单调递增区间为(一1,0)和(4,+~),单调递减区间为(0,4)；(2)最大值为,，最小值为

【解析】

【分析】

⑴由微积分基本定理可得出F(x)的表达式，进而求出其导数F，(x),令F，(x)>0,F，(x)<0解次不等式即可得出

F(x)的单调增区间和单调减区间.

(2)由(1)可得F(x)在［1,5］上的单调性，即可得出其最值.

【详解】

117

解：-2/2)=-?-2?+-

(l)Ff(x)=Qx3-2r2+0=x2-4x,

由F'(x)>0,BPx2—4x>0,得一l<x<0或x>4；

由户(x)vO,BPx2-4x<0,得0vxv4,所以F(x)的单调递增区间为(一1,0)和(4,+«>),单调递减区间为(0,

4).

(2)由⑴知F(x)在［1,4］上递减,在［4,5］上递增.

1791717

因为F(l)=：—2+；=；,F(4)=1x43-2x42+^=-y,F(5)=1x53-2x52+^=-6,

所以F(x)在［1,5］上的最大值为I，最小值为一等

【点睛】

本题考察微积分定理以及利用导数解决函数单调性和闭区间上的最值的问题.属于中档题.

18.老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.

(1)若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？

(2)若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？

(3)若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？

【答案】（1）*押=1440；（2）用及=3600；（3）尺尺4盘&=720；

【解析】

【分析】

（1）利用捆绑法即可求出，

（2）利用插空法即可求出，

（3）利用捆绑和插空法，即可求出.

【详解】

解：（1）首先把两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，和另外5人全排列，故有国£=1440种,

（2）将老王与老况插入另外5人全排列所形成的6个空的两个，故有=3600种，

（3）先安排老王与老况，在形成的3个空中选2个插入小郭与小周，在形成的5个空中选1个插入老顾，

最后将两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，选1个位置插入到其余5人形成的6个空中

故有ACM=720种.

【点睛】

本题考查了简单的排列组合，考查了相邻问题和不相邻问题，属于中档题.

19.已知椭圆E：W+/=1（。＞人＞0）的离心率6=白，过椭圆的上顶点A和右顶点3的直线与原

点。的距离为竽，

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在直线/经过椭圆左焦点与椭圆E交于两点，使得以线段为直径的圆恰好经过坐

标原点。？若存在，求出直线/方程；若不存在,请说明理由.

2_

【答案】（1）?+y2=i；（2）2x—而y+2百=0,或2x+布y—24=0.

【解析】

试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到。与c的关系式，再由点A3求出直线的方程，根据点

到直线距离公式，得到a与匕的关系式，再结合储=方2+02,从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将

直线/斜率存在与否进行分类讨论，由“线段为直径”，得OA/.ON=0,再利用向量数量积的坐标

运算，从而解决问题.

试题解析：（1）由已知得，e=£=3,因为过椭圆的上顶点A和右顶点3的直线与原点的距离为

a25

ab_2^解得。=2/=l,c=若

所以

5

r2

故所求椭圆E的方程:—+/=1

4

(2)椭圆E左焦点卜君,0),

①当直线/斜率不存在时，直线/与椭圆E交于［-石石,-3］两点，显然不存在满足条件的直

线......6分

②当直线/斜率存在时，设直线/:y=kx+^3k

y=kx+6k

联立：X22।消y得，(1+4左2)炉+8限2%+12左2—4=0

——+y=1

14'

由于直线/经过椭圆E左焦点，所以直线/必定与椭圆E有两个交点，.'A〉。恒成立

设”(七,乂)川(%2，%)则%+%=-：,X1X2=~T~JZT

1।^vK1"i>*v

若以MN为直径的圆过。点，则。Af.QN=0，即石马+%>2=0(*)

而％%=(依1+6左)("2+=k2X\X?+6左2(%j+%)+3左2,代入(*)式得,

(1+k)x/,+左2(X]+X,)+3k~=0

即(1+12).12/一二—限2.j^+342=0,解得左2=],

,2布卡,2而

即Bn左=——或左=——一・

1111

所以存在k=冬叵或左=-冬叵使得以线段MN为直径的圆过原点。.

1111

故所求的直线方程为2x-而y+2占=0,或2x+aIy-2否=0.

20.某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了100位大学生进行调查,

调查结果统计如下：

参与不参与总计

男大学生30

女大学生50

总计45100

(1)根据已知数据，把表格数据填写完整;

（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为参与校健身房运动与性别有关？请说明理由.

附：K2=-------------------------,其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K22koi0.0500.0250.0100.0050.001

%3.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为参与校健身房运动与性别有关

【解析】

【分析】

（1）根据表格内的数据计算即可.（2）将表格中的数据代入公式，计算即可求出k的取值，根据参考值

得出结论.

【详解】

解：（1）

参与不参与总计

男大学生302050

女大学生153550

总计4555100

2

（2）因为K的观测值k=l0°i（3°x35二15"°）=100>7879,

45x55x50x5011

所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为参与校健身房运动与性别有关.

【点睛】

本题考查列联表和独立性检验的应用，属于基础题.

21.食品安全一直是人们关心和重视的问题，学校的食品安全更是社会关注的焦点.某中学为了加强食品

安全教育，随机询问了36名不同性别的中学生在购买食品时是否看保质期，得到如下“性别”与“是否

看保质期”的列联表：

男女总计

看保质期822

不看保持期414

总计

（1）请将列联表填写完整，并根据所填的列联表判断，能否有95%的把握认为“性别”与“是否看保质

期”有关?

(2)从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，求抽到女生人数4的分布列和数学期望.

附：K?:------、八-----(〃=a+》+c+d).

(a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

临界值表:

产(Q次)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

左02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)有95%的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系

(1)分布列见解析，EC)=g

【解析】

分析：1)将列联表填写完整，求出K2,然后判断性别与是否看保质期之间是否有关系.

(1)判断。的取值为0,1,1.3,求出概率，然后得到分布列，求解期望即可.

详解：

(1)填表如下:

男女总计

看保质期81411

不看保质期10414

总计181836

根据列联表中的数据，可得

36x(8x4-14x10)2

k=-4.208>3.841-

22x14x18x18

故有95%的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系.

(1)由题意可知，J的所有可能取值为0,1,2,3,

c3C0120_30「2_180_45

P(J=o)=P(^=l}=104

3-364-

c~364~91,C14911

3

c1C2_60150°r4_1

P仁=2)=口10口4

3厂(。一刃一03-364-91，

5c~364~911C14

40123

3045151

r

91919191

b,,L/丘、C30,45c15c1786

所以£（4）=0x----F1x----F2x-----F3x—=—=—.

v791919191917

点睛：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，对立检验的应用，考查计算能力.

22.用数学归纳法证明」二+」+」二+…工（〃eN*）.

【答案】见解析.

【解析】

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证”=1时不等式成立；（2）假设当

”=左（壮—左训时成立，利用放缩法证明〃=左+1时，不等式也成立.

详解:

证明：①当〃=1时，左边=^〉u,不等式成立.

224

②假设当〃=左小£北左川时，不等式成立,

111111

即---------1------------F----------F,••H---------->------,

上+1k+2k+3k+k24

111

则当〃=女+1时,----------1----------+----

k~\~2k+32k2k+l2k+2k+1k+2k+32k

1111

-------------1------------------------>H+

2k+l2k+2k+1242左+12k+2k+1

111

------------1------------------------

2左+12左+2k+\

2（左+1）+（2左+1）—2（2左+1）

2（左+1）（2左+1）

———--->o

2（左+1）（2左+1）

11111111111111

---------1------------1F•••HH--------------1-------------------->--------1-------------1----------------->—

k+1k+2k+3--------2k2k+\2k+2k+\242左+12k+2上+124

.•.当”=左+1时，不等式成立.

由①②知对于任意正整数〃，不等式成立.

点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推

理能力.

石家庄市重点名校2018-2019学年高二下学期期末调研数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/(兀)=皿3+2]2—3x—1存在单调递增区间，则实数小的值可以为()

A.二B.一3C.一也D.一经

3339

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意可知/'(%)>0有解,再根据二次函数的性质分析即可.

【详解】

由题，若函数f(x)=rwc3+29—3尤—1存在单调递增区间,则f'(x)=3mx2+4x—3>0有解.当加20时

显然有解.当机<0时,A=16—4・3%(—3)>0,解得机〉-。

因为四个选项中仅-迪〉-3.

99

故选：D

【点睛】

本题主要考查了利用导数分析函数单调区间的问题,需要判断出导数大于0有解，利用二次函数的判别式进

行求解.属于中档题.

JT-IT

2.若函数/(x)=asinx+cosx在[-耳,11为增函数，则实数a的取值范围是()

A.B.(-00,-石]

C-[-A/3,1]D.(_8,_西31收)

【答案】A

【解析】

【分析】

7171

利用函数的导函数在区间下z恒为非负数列不等式，用分离常数法求得。的取值范围.

【详解】

7171t兀兀,

依题意，f(九)=QCOSx-sinx〉。在区间上恒成立,即acosx>sin%,当无£—时,

3Z34

SinX717C71

cos%>0,故-----=tanx,y=tanx在%e——时为递增函数，其最大值为tan—=1,故〃21.

cosx344

所以选A.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.

3.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A.3兀+4也兀B.4兀+4加兀C.7兀+4垂)兀D.8兀+4加兀

【答案】D

【解析】

【分析】

由三视图还原出原几何体，然后计算其表面积.

【详解】

由三视图知原几何体是一个圆锥里面挖去一个圆柱，尺寸见三视图.

圆锥的母线长为1=收了币=2百，

S=2»xlx2+»x22+〃X2X2>/5=8〃+4617r.

故选：D.

【点睛】

本题考查组合体的表面积，解题关键是由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构.

4.关于x的不等式三—(a+l)x+a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是()

A.[―3,—2)u(4,5]B.(-3,-2)c.(4,5]D.(4,5)

【答案】A

【解析】

【分析】

不等式等价转化为(龙—1)(龙—a)<0,当。>1时，得l<x<a,当。<1时，得a<x<l,由此根据解集

中恰有3个整数解，能求出a的取值范围。

【详解】

关于%的不等式％2-(a+l)x+a<0,

不等式可变形为(%-DU—G<0,

当时，得l<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,贝!|4<aW5；

当。<1时，得a<x<l,,此时解集中的整数为-2,-1,0,则—3Wa<—2

故a的取值范围是[―3,—2)u(4,5],选：A,

【点睛】

本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对

”和1的大小进行分类讨论。其次在观察。的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B

选项。

5.5人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为()

A.18B.24C.36D.48

【答案】D

【解析】

【分析】

将甲、乙两人捆绑在一起，再利用排列公式得到答案.

【详解】

将甲、乙两人捆绑在一起，不同站法的种数为：

局x卷=48

故答案选D

【点睛】

本题考查了排列组合中的捆绑法，属于简单题.

6.已知函数/(*)=史，若a=/(2),b=f⑶,c=/(5),则a,b,c的大小关系是()

x

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】

可以得出。=311132,。=占11125,从而得出cVa,同样的方法得出a<b,从而得出a,b,c的大小关

系.

【详解】

a=/(2)=殍c=/(5)=：ln5=#1:，根据对数函数的单调性得到a>c,

〃=/(3)=浮,又因为。=/(2)=等=等，人=/(3)=浮=号，再由对数函数的单调性得到

a<b,.\c<a,且a<b；/.c<a<b.

故选D.

【点睛】

考查对数的运算性质，对数函数的单调性.比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较,

或者构造函数利用函数的单调性得到结果.

7.函数/(x)=ei—eTM+asin办(xeR,e是自然对数的底数，a>0)存在唯一的零点，则实数

a的取值范围为()

B.［。,彳］C.(0,2］D.(0,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

函数/(x)=ei-eTM+“sin7x(xeR,«是自然对数的底数，a>0)存在唯一的零点等价于函数

°O)=asin乃x与函数g(x)=廿-工—e'"】只有唯---个交点，由。(1)=0,g⑴=0,可得函数

^(x)=«sin^与函数g(x)=ei—/t唯一交点为(L0),g(x)的单调，根据单调性得到9(x)与g(x)

的大致图象，从图形上可得要使函数。(x)=asin乃无与函数g(x)=dr—只有唯一一个交点，贝!I

即可解得实数a的取值范围.

【详解】

解：函数/'(元)=--er+i+asinG(xeR,e是自然对数的底数，a>0)存在唯一的零点等价于：

函数p(x)=asin乃x与函数g(x)=e~x只有唯---个交点，

。⑴=。,g(l)=。,

函数e(x)=asin乃x与函数g(x)=e1^-/一】唯一交点为(1,0),

又无)=一-/T,且ej>0,e'T>0,

g'(无)=-e修-冷|在R上恒小于零，即g(x)=e--/t在R上为单调递减函数，

又例尤)=asin%x(a>0)是最小正周期为2,最大值为a的正弦函数,

可得函数。(%)=asinTrx与函数g(x)=el~x-ex~x的大致图象如图:

••.要使函数0(©=〃sinG与函数g(%)=ei—只有唯一一个交点，则“⑴..g”),

“⑴=7iacos71=-71a,g'⑴="t-JT=-2,

2

2,解得小—，

71

又6Z>0,

二实数。的范围为(o,2.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过

图象进行分析研究，属于难题.

8.已知函数/(x)与g(x)="(。>0且awl)的图象关于直线>对称，则“/(x)是增函数”的一

个充分不必要条件是()

A.0<a<-B.0<a<1C.2<a<3D.a>1

2

【答案】C

【解析】

分析：先求出/(x)=log〃x,再利用充分不必要条件的定义得到充分不必要条件.

详解：因为函数/(九)与g(x)=a、(a〉0且awl)的图象关于直线>=%对称，

所以/(X)=logaX-

选项A,0<a<3是"/(%)是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.

选项B,0<。<1是"/(%)是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.

选项C,2<。<3是"/(X)是增函数”的充分非必要条件，所以是正确的.

选项D,。〉1是“/(x)是增函数”的充分必要条件，所以是错误的.

故答案为C.

点睛：(1)本题主要考查充分条件必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知命题P

是条件，命题夕是结论，充分条件：若pnq,则〃是q充分条件.必要条件：若q=P,则。是q必要

条件.

JT

9.已知函数〃x)=sin3x+：)3>0)的最小正周期为4n,贝！|()

6

jr

A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于直线x=§对称

C.函数f(x)图象上的所有点向右平移g个单位长度后，所得的图象关于原点对称D.函数f(x)在

区间(0,n)上单调递增

【答案】C

【解析】

分析：函数/(x)=sin1Ox+W[3>0)的最小正周期为4n,求出①，可得/(%)的解析式，对各选项

进行判断即可.

71

详解：函数/'(x)=sinCOXH---(-。>0)的最小正周期为4n,

6

IJI

由对称中心横坐标方程：一无^=kji,kGZ,

26

TV

可得x=2kn---,

3

二.A不正确；

由对称轴方程：—x+—=—+kji.k^Z,

262

可得％=2k?i+,k€Z,

3

B不正确；

函数f(X)图象上的所有点向右平移£个单位，可得：sin|+v=sin2x,图象关于原点对