2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第09讲 工具篇（借助隐零点洛必达法则中值定理泰勒展开式二次导等工具解决导数问题）（原卷版）

第09讲工具篇（借助隐零点，洛必达法则，中值定理，泰勒展开式，二次导等工具解决导数问题）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：借助隐零点解决导数问题 1题型二：借助洛必达法则解决导数问题 10题型三：借助泰勒展开式解决导数问题 16题型四：通过二次求导解决导数问题 28第一部分：题型篇 题型一：借助隐零点解决导数问题典型例题例题1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.例题2．（2023·新疆·统考二模）已知.(1)当时，求的最小值；(2)当时，有恒成立，求的取值范围.例题3．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知函数在处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)当时，恒成立，求正整数的最大值.精练核心考点1．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，且，求证：且.2．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数.(1)求的单调区间和极大值；(2)若恒成立，求实数的取值范围3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，.(1)若函数是增函数，求的取值范围；(2)已知、为函数（为函数的导函数）图象上任意的两点，设直线的斜率为，证明：.题型二：借助洛必达法则解决导数问题典型例题例题1．（2023·江苏·高二专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（）A．0 B． C．1 D．2例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求在点，处的切线方程；(2)若，证明：在，上恒成立；(3)若方程有两个实数根，，且，证明：．精练核心考点1．（2023春·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则______．2．（2023·山东潍坊·高三潍坊一中校考期中）已知函数.(1)求函数在点处的切线方程；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.3．（2023·福建泉州·高二校联考期中）已知．(1)当时，求的单调性；(2)若，求a的取值范围．题型三：借助泰勒展开式解决导数问题典型例题例题1．（多选）（2023·辽宁·校联考二模）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式由此可以判断下列各式正确的是（

）．A．（是虚数单位） B．（是虚数单位）C． D．例题2．（2023·辽宁丹东·统考一模）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．其中是的导数，是的导数，是的导数……．取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为____，精确到0.01的近似值为______．例题3．（2023·湖南永州·统考三模）已知函数，.(1)若是函数的极小值点，讨论在区间上的零点个数.(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.现已知，利用上述知识，试求的值.例题4．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；（2）比较（1）中与的大小．（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．精练核心考点1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：，（其中，），则的值约为（1弧度）（

）A． B． C． D．2．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；(2)比较（1）中与的大小.(3)证明：.3．（2023·全国·高三专题练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.(1)证明：当时，；(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）若恰为的极小值点.①证明：；②求在区间上的零点个数；若，，又由泰勒级数知：，证明：题型四：通过二次求导解决导数问题典型例题例题1．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数，.(1)若函数在区间上的最小值为3，求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)若函数在点处的切线斜率为0，求的值．(2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增；例题3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．(1)若曲线在点处的切线过原点，求的值；(2)若在的切线中，存在着过原点的切线，求的取值范围．精练核心考点1．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）已知函数，为的导函数且.(1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点；(2)确定函数在区间内的极值点