2022年暑假天天练-选择性必修第一册1

人教A版（2019）选择性必修第一册1.4空间向量的应用

同步练习

一、单选题

1.在空间直角坐标系中，若直线/的方向向量为2=（1,-2,1）,平面a的法向量为

"=（2,3,4）,则（）

A.H/aB./1«C./ua或〃/eD./与a斜交

2.平面a的一个法向量是万=（g,T,g）,平面夕的一个法向量是比=（-3,6,-2）,则平

面a与平面夕的关系是（）

A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直

3.已知直线/的方向向量为而，平面a的法向量为3，则“百工=0”是“〃/a”的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条

件D.必要不充分条件

4.已知平面a内的两个向量。=（1,1,1）,6=（0,2,-1）,且c=〃za+m+（4,T,1）.若"为平

面a的法向量，则”〃的值分别为（）

A.-1,2B.1,-2C,1,2D,-1,-2

5.已知平面a内有一点〃（1,-1,2）,平面夕的一个法向量为〃=（6,-3,6）,则下列点尸

中，在平面a内的是（）

A.尸（2,3,3）B.P（-2,0,l）

C.尸（T,4,0）D.尸（3,-3,4）

6.已知正方体A8C£»-AAG2的棱长为a,则平面与平面的距离为

（）

A.aB.岛C.正aD.走a

33

7.如图，在三棱锥P—ABC中，已知E4=BB=:AC=0,AB=BC=2,平面

平面ABC,则异面直线尸C与A3所成角的余弦值为（

p

c,县

D

3-T

8.已知斜二棱柱ABC-AAC［中，底面AABC是直角三角形，且ABJ_AC,AB=3,

AC=4,AA=2,44］与AB、AC都成60。角，则异面直线AQ与瓦C所成角的余弦值为

（）

A.变B.硬C.立DT

141433

9.长方体A3C£）—A耳GA,AB=BC=1,3月=2,点p在长方体的侧面BCG与上

运动，APLBR,则二面角P-AD-6的平面角正切值的取值范围是（）

10.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果丽=（2,-l,T）,

而=（4,2,0）,衣=（-1,2,-1）.对于结论：①|而|=6；②APLAD；③而是平面

ABC。的法向量；④而〃丽.其中正确的是（）

A.②④B.②③C.①③D.①②

11.如图，已知正方体ABC。-A4C。中，尸为线段BG的中点，E为线段AG上的

动点，则下列四个结论：①存在点E,使E尸〃BD；②存在点E,使平面

AB©。；③EF与AQ所成的角不可能等于60。；④三棱锥用-ACE的体积随动点E

的变化而变化.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

12.在棱长为2的正方体A5cO—A44R中，点£在棱AA上，AE=3A石，点G是

棱CD的中点，点尸满足乔=2西H<彳<!|,当平面EFG与平面ABCD所成

(锐)二面角的余弦值为逅时，经过及RG三点的截面的面积为()

3

A.2瓜B.友C.717D.还

46

二、填空题

13.已知直线4的一个方向向量为彳=(1,-1,2),直线4的一个方向向量为

^^(3,-3,0),则两直线所成角的余弦值为.

14.如图所示，点A、3、C分别在空间直角坐标系。-孙z的三条坐标轴上，

)=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为1(2,1,2),平面ABC与平面A3。的夹角为

0，贝！Jcos0=.

15.如图所示，ABC0出尸GH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足

__.3__k1__,2__.

AP=-AB+-AD+-AE,则尸点到直线AB的距离为_______.

423

16.如图，边长为1的正方形A3C。所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点

M、N分别在正方形对角线AC和所上移动，且CM=8N=《O<a<0).则下列结

论:

c

①MN长度的最小值为受；

2

②当。=：时，ME与CN相交；

③MV始终与平面BCE平行；

④当a=变时，A—MN—3为直二面角.

2

正确的序号是.

17.如图，在三棱锥O-ABC中，AB=BC=CD=DA,ZABC=90°,E,F,。分别

为棱BC,DA,AC的中点，记直线E尸与平面BOD所成角为6,则6的取值范围是

三、解答题

18.四棱锥尸-ABCD,底面为正方形ABCD,边长为4,E为A3中点，PEL平面

ABCD.

⑴若△上4B为等边三角形，求四棱锥尸-A3CD的体积；

(2)若CD的中点为尸，尸尸与平面A3CD所成角为45。，求PL(与AC所成角的大小.

19.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是矩形，丛，平面ABCD,

PA=AD^4,AB=2,M是中点.

(1)求直线AD与平面ACM的夹角余弦值；

(2)求点尸到平面ACM的距离.

20.如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZBAD=—,P=APD,点、E为

线段AD的中点且PE_LCD,设平面PAD与平面P5C的交线为直线a.

(1)证明：直线。〃平面ABCD；

(2)若AB=2尸E=2,求二面角A-PD—C的余弦值.

21.在多面体ABCDEF中，正方形A3CD和矩形3DEF互相垂直，Ga分别是QE

和3C的中点，AB=BF=2.

(1)求证：£D_L平面ABCD.

(2)在8C边所在的直线上存在一点尸，使得EP〃平面AG”,求小的长;

参考答案:

1.c

由73=0可得，所以/ua或〃/a,即可得正确选项.

【详解】

直线/的方向向量为£=(1,-2,1),平面a的法向量为5=(2,3,4),

因为-5=(2,3,4).(1,-2,1)=2-6+4=0,

所以aJL〃，

所以/ua或〃/0,

故选：C.

2.C

由题设知玩='力，根据空间向量共线定理，即可判断平面。与平面夕的位置关系.

【详解】

・•・平面a的一个法向量是万,平面夕的一个法向量是加=(-3,6,-2),

m=—6n,

平面。与平面夕的关系是平行或重合.

故选：C.

3.D

利用充分条件、必要条件的定义结合空间线面关系与空间向量之间的关系判断可得出结论.

【详解】

若正i=0，则〃/a或/ua；

另一方面，若〃/a,则能/=0.

因此，“百工=0”是“〃/a”的必要不充分条件

故选：D.

4.A

c-a=O

由空间向量线性关系的坐标运算求"坐标，再根据"为平面a的法向量有一一，即可求

c-b=Q

m,n

【详解】

111

c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-ri)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).

一c-a=Q3m+n+1=0\m=­l

由c为平面a的法向量，得〈一一，即m+5n-9=0,解得jw=2

c-b=Q

故选：A

5.A

可设出平面内a内一点坐标尸(x，V，z),求出与平面a平行的向量^^(x-Ly+Lz-Z),利

用数量积为0可得到x,y,z的关系式，代入各选项的数据可得结果.

【详解】

解：设平面a内一点尸(x,y,z),贝|J：

MP=(x—1,y+l,z—2),

•・・♦=(6,-3,6)是平面a的法向量，

n±MP,n-MP=6(x—1)—3(y+l)+6(z—2)=6x—3y+6z—21,

由5・9=0得6x-3y+6z-21=°

2%—y+2z=7

把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合.

故选：A.

本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念.

6.D

建立空间直角坐标系，用空间向量求解

【详解】

由正方体的性质，AB"/DCi,RB"/DB,AB^D}BX=BX,DCt^DB=D,

易得平面A2Q//平面BZ）G，

则两平面间的距离可转化为点B到平面AB】Q的距离.

以。为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系，

则A（a,O,O）,B（a,a,O）,（a,O,a）,C（O,a,O）,B[（a,a,a）,D{（0,0,a）

所以C4j=（a,_6Z,a）,SA=（0,_a,0）,ABt=（0,a,a）,耳2=（-a,-a,0）.

连接AC,由5,AB]=（a,—a,a）-（0,a,a）=。，CAiBlDl=（（7,-a,a）-（-a,-a,0）=0,且

ABtIB{D{=Bt,可知AC_L平面ABtDt,

得平面ABQ的一个法向量为河=（L-LI）,

则两平面间的距离d==a=当0.

故选：D

7.A

取A3的中点为O,连接PD,证明尸。,平面ABC,ABA.BC,然后建立空间直角坐标

系，利用向量求解即可.

【详解】

取的中点为O,连接PD

因为B1=P3,所以PD_LAB,

因为平面B4B_L平面ABC,平面上钻c平面ABC=AB,尸Du平面RIB

所以PD_L平面ABC

因为尸4=依=。。=亚AB=BC=2

2

所以AB_L3C

如图建立空间直角坐标系，则川0,0,0b4（0,2,0）,P（0,l,l）,C（2,0,0）

所以荏=（0,—2,0）,定=（2,-1,-1）

\AB-PC\2_76

所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为

|AB|-|PC|2.屈6

故选：A

8.A

设通=4，AC=B，A4,=c,即可求出万5-c,B々，再用力、b>1表示出AC1、

麻，根据平面向量数量积的运算律求出m•麻、|藕|、回q,最后根据夹角公式计算

可得;

【详解】

解：设通=万，AC=b，丽=1,则无5=0，a-c=|«|-|c|cos60°=3,

5.1=|斗向cos60°=4,

所以蒐=*+您=,+1，B^=B^B+BC=^BBx+AC-AB=-a+b-c,所以

AC[，B]C=(b+cj,(—万+6—=—u,b+Z?~—b•c—u,c+b'c—=9,

M卜“_彳+5-^^yla2+b2+c2-2a-b-2b-c+2a-c^3y[3,

所以侬日E。*亍。\"同蕊府.配=加H

故选：A

9.B

根据题中的线面关系建立空间坐标系，运用空间向量求解即可.

【详解】

如图以点。为坐标原点建立空间坐标系

设点P的坐标为(x,l,z)图中各点的坐标表示如下:

B(l,1,0),0/(0,0,2),A(l,0,0)

/.^B=(l,l,-2),AP=(x-l,l,z),又・.・〃5_LAP.•.取而=0

即，x-l+l-2z=0,所以x-2z=0

所以点P在平面BCGS内的轨迹为由点C到BS四等分点(靠近B点)的一条线段,

且点P由C点向88/四等分点移动过程中，二面角34£>-尸逐渐增大

当点尸位于C点处时，二面角氏AZXP最小，最小值为0

当点尸为与BB/四等分点处时，二面角8/O-P最大，此时，

即为二面角84。-尸的平面角，43耳1

Ldnz_rVi£>=----------=—=—

AB12

所以二面角84。-尸正切值的取值范围为[0,g].选项ACD错误，选项B正确

故选：B.

10.B

求出|布|=2君判断①不正确；根据而.而=0判断②正确；由APLM,APLAD判

-1=22

断③正确；假设存在力使得方=2而，由<2=32无解，判断④不正确.

—1=44

【详解】

由荏=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),知：

在①中，|而|=416+4+0=2遂*6,故①不正确；

在②中，AP-AD=-4+4+0=0.AP±AD>.-.AP±AD,故②正确；

在③中，Q.通=一2-2+4=0，.\AP±AB,又因为AP_LAD,ABr>AD=A,知/

是平面ABCZ)的法向量，故③正确；

-1=2彳

在④中，BD=AD-AB=(,2,3,4),假设存在几使得丽=几丽，贝1J，2=3X,无解，故④

—1=4A

不正确；

综上可得：②③正确.

故选：B.

本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向

量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

11.D

设正方体的棱长为1,以点。为坐标原点，以DA,DC,所在的直线为无，y,z轴

建立空间直角坐标系，利用空间线面平行与垂直的判定及性质定理、向量的夹角判断异面

直线所成角、三棱锥的体积计算公式即可得出.

【详解】

解：设正方体的棱长为1,以点。为坐标原点，以D4,DC,所在的直线为%y,

z轴建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),A(l,0,0),3(1,1,0),c(o,1,0),0,(0,o,1),4(1,0,1),

B«,1,1),C,(0,1,1),点

贝。55=西+*,而甲=彳冰(滕氏1),oq=(o,i,i),q4=(i,-i,o),

QE=(2,-2,0),因止匕诙=(%』一/1』),

.-.E=(2,1-2,1),=,

-1_-1_0

对于①而言就是否存在实数彳，使EF//BD,而瓦5=(-1,-1,0),1—~-T--T,此即

---A--

22

?=O，T=|T=。，这样的义不存在，，①错误；

对于②而言就是否存在实数2,使斯，平面A耳G。，首先我们在平面内任意找到

两条相交直线的方向向量，不妨就找场和空，

*于是;=4=；,即就是当E为CH的中点的时候，.••②正确；

EFC,D=01°八2

i---Z=U

12

同理，对于③而言，还是判断这样的实数几是否存在，ADI=(_1,0,1),EF=(--A,A,,

AD^EF_________zt-i

设其夹角为。，则cos9=

>/2x^(1-A)2+A2+i

2-1

令6=60。,此即将上式平方解得2=1,将2回代原式结论成

6科”+储+；

立，，这样的力存在；③错误;

对于④来说，E点无论在4G上怎样移动，底面AACE的高不变，故而底面面积不变，三

棱锥的高为定值，所以其体积不会随着E点的变化而变化，故④错误.

所以正确的个数为1个.

以。为坐标原点，分别以DADCOR所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由空

间向量结合平面跳G与平面ABCD所成二面角的余弦值为好求出X的值，画出截面图，

3

求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案

【详解】

解：如图，以。为坐标原点，分别以D4,DC,OQ所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐

3—3—•

标系，则G(0,l,0),E(2,0,3),"2,2,22),所以GE=(2,-1,万),GF=(2,1,22),

设平面EFG的一个法向量为正=(x,y,z),则

m-GE=2无-y+—z=0ri-3/I31\

-2,取z=l则加=z0»T+J)，

m-GF=2x+y+22z=0

平面ABC。的一个法向量为3=(0,0,1),

m-n__________i___________V|113

由题意得雨解得2或2=三(舍去),

1.32.2..3.2~3

J(—।—)+(-XH—)+1

V824

延长EF,A3,设EFnAB=/,连接/G,交BC于K,延长/G,交AD的延长线于L,连

接EL,交D1于H,则五边形EFKG”为截面图形,

由题意求得£尸=百,FK==—,GK=0，HG=—,EH=45,

22

FH=2夜，截面五边形EFKGH如图所示，

则等腰三角形EFH底边切上的高为6，等腰梯形HGKF的高为正,

2

则截面面积为S」x2后x君+L(0+20)X走=地

2224

故选：B

关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算

能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面EFG与平面ABCD所成（锐）二面角的

余弦值为好求出彳=1,属于中档题

34

13.B

3

根据空间向量的夹角公式代入计算即可.

【详解】

一~^%3+3A/Sn

cos<匕，匕>=向F=娓3应=T，所以两直线所成角的余弦值为y--

故答案为：徨

3

分析可知平面的一个法向量为无，利用空间向量法可求得cos。的值.

【详解】

由题意可知，平面的一个法向量为反=（0,0,2）,所以

、2

故答案为：--

过P作尸MJ_平面ABCQ于M,过M作MN_LAB于N,连接PN,则PN即为所求，由已知

317

可得AN=Z，NM=],PM=§,即可求出.

【详解】

解析：过尸作平面ABCD于过M作MN_LAB于N,连接PN,则尸N即为所求,

如图所示.

.3—>1—►2—>

因为A尸=++

312

所以A7V=77vM=/，PM=g，

所以尸N=1PM2+MN?=]&)+[g]=|.

即P点到直线AB的距离为二.

o

故答案为:.

O

16.①③

以点B为坐标原点，BA、BE、8c所在直线分别为x、＞、z轴建立空间直角坐标系，利

用空间中两点间的距离公式、二次函数的基本性质可判断①的正误，证明CM、CN、CE

不共面可判断②的正误，利用空间向量法可判断③的正误，利用二面角的定义可判断④的

正误.

【详解】

因为平面ABCO_L平面ABEF,平面ABNCDpI平面ABEF=AB,BCLAB,BCu平面

ABCD,:.BCL平面ABEF,

因为以点B为坐标原点，54、BE、8c所在直线分别为x、y、z轴建立空间

直角坐标系，

D

则4(1,0,0)、3(0,0,0)、C(0,0,l)、。(1,0,1)、£(0,1,0)、F(1,1,0),

a,0,1-^-a、N坐,旦,。］

M22

2JIJ

、2

r啰丫

对于①，\MN\------CL+C1-l--④---aVH---2-----，

22J222

7\IJ

当且仅当。考时，等号成立，①正确;

对于②，当。=；时，M

,N

,0,1-(44J

\手,孝,-1,CE=(O,l,-l),

CM=•,CN=

77

■--m=-V-2-

44

与

设西="?西+〃园，即Vn=,该方程组无解，所以，②错误;

4

一包…一1

4

72)"a,。］

对于③，M4Z,0,1------a、N

2)I22J

I22J平面BCE1的一个法向量为m=(1,0,0),

MN-n=0,则丽_L正，•.•MNZ平面BCE,；.MN〃平面BCE,③正确;

对于④，当”=变11

时,・

222

设平面AAW的法向量为々=(x,y,z),AM=,俞C),

111I。:

11八

一/+/=0_

成•画7=0

,；；,取％=1,可得1=(1,1,1),

由^-AN=0，骨

「2%+5%=°

［，*，丽

设平面BACV的法向量为％=(尤2，%，22)，BM=IT0}

11八

=

-X94---Z,0

兀・丽=。加2:2:，取％=1,可得一巧=/(1,一1,-1)、,

由K-BN=0'侍

产+y=0

所以，晨鼠=1-1-l=-lw0,此时，二面角A-MN-3不是直二面角，④错误.

故答案为：①③.

结论点睛：利用空间向量法处理平行与垂直问题：设直线乙、乙的方向向量分别为

。=(占,乂，4),b=(x2,y2,z2),平面a、夕的法向量分别为〃=(玉,%，23)，v=(%4,y4,z4).

>

(1)4//A^a//b^a=A.b^-^xl,y1,zi^=A^x2,y2,z2)^>xl=Ax2,弘=彳%，

Z]—^^"2；

(2)li//a^a-Lu<^a-u=0<^x[x3+yYy3+z1z3=0；

(3)all/3=ull»Qu=pv=X3="X4,%=Z3二/；

(4)I1±Z2<^a-Lb<^>a-b=0<^x,x2+yry2+2^2=0；

(5)“/a="〃〃=〃=0〃=%=/七,%二夕%，4二用；

(6)6z±/?<^>w±vow-v=0<^>+y3y4+z3z4=0.

17.

易证得OD，AC,05,AC,引入辅助角变量，设N5OD=da«0,»),以。为原点建立

空间直角坐标系，利用向量法求得线面角的正弦值，从而可判断所求角的范围.

【详解】

解：因为AB=3C=CD=ZM,AB=BA,

所以△ABC三△ADC,

所以NADC=NASC=90。，

又因为。为AC的中点，

所以OD_LAC,O31,AC,

又ODcOB=O,所以AC_L平面BOD,

设NBOD=<2,(ze(0,万),

如图，以。为原点建立空间直角坐标系,

则平面80。与平面xOz重合，

不妨设AB=8C=CO=ZM=血，

贝|JQ4=O3=OC=OD=1,

则A(0,-1,0),B(l,0,0),C(0,1,0),£>(cosa,0,sin(z),

111.

E一cosa,——,—sincr

222

贝UEF=f(coscr-1),-1,sincr

因为AC_L平面5。。,

所以方二（0,1,0）即为平面50。的一条法向量,

7T

因为直线友与平面8OD所成角为凡9e0,-

_______________1_____________72

i^cosa-l)2+(-2)2+sin2a-1-cosa，

因为ae(0,%),所以cosae(-1,1),

所以sin。e

所以，e

7171

故答案为:75

18.(1)/ABCD=;(2)arccos^-.

r-no^LJc36，

(1)由棱锥体积公式计算；

(2)建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【详解】

(1):正方形ABCD边长为4,△R4B为等边三角形，E为A3中点，

••.PE=26V…十4«出=弩;

(2)如图以£A,EF,E尸为羽y,z轴建立空间直角坐标系，贝。尸(0,0,4),£>(-2,4,0),

A(-2,0,0),

C(2,4,0),PD=(-2,4,-4),AC=(4,4,0),

uumuuu「

PDAC-8+16+0V2

cos0—-me----tftffi-=----------j=—=--------,

\PD\-\AC\6x4V26

即PD与AC所成角的大小为arccos—

6

19.(1)叵;(2)侦

由于底面A3CD是矩形，丛_1平面45。。，所以可得AB,AD,AP两两垂直，所以如图建立

空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可

【详解】

因为R41,平面ABCD,A3i平面ABCD,AOu平面ABCD,

所以以_LAB,PA_LAT),

因为四边形ABCD为矩形，所以AB_LAZ>,

所以AB,AZ),AP两两垂直，所以以A为坐标原点，分别以所在的直线为x，%z

轴，建立空间直角坐标系，如图所以示，

因为B4=AD=4,AB=2,M是PC中点，

所以A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,4),M(0,2,2),

所以衣=(2,4,0),AM=(0,2,2),

设平面ACM的法向量为正=(x,y,z),贝。

”-,.

m-AC=2x+4y=0一

，令z=l,则m=(2,—l,l),

m,AM=2y+2z=0

(1)AD=(0,4,0),设直线AD与平面ACW的夹角为a,

则sina-

474+1+1

JI

因为1€[0,5]

所以cosa=Vl-sin2a=

(2)因为AP=(0,0,4),面ACM的法向量为根=(2,-1,1),

所以点P到平面ACM的距离为

4_2A/6

IT于

(1)由于