中考数学二轮复习模拟题 专题九 二次函数与特殊三角形的问题（解析版）

专题九二次函数与特殊三角形的问题一、填空题1．（2022春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若二次函数的图象经过点A(3，0)，与y轴交于点B，点P是该抛物线对称轴上的一动点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为______．【答案】（2，）或【分析】根据题意得到抛物线的对称轴为直线x==2，设点P的坐标为：（2，m），分两种情况讨论，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x==2，设点P的坐标为：（2，m），当，∵二次函数的图象经过点A（3，0），∴B（0，-9），∴OA=3，OB=9，∴=3，∴，∴，∴（2，），当时，过B点作BD垂直于对称轴与D，∴，∴，∴，∴（2，-），综上所述，点P的坐标为（2，）或（2，）．故答案为：（2，）或（2，）．2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考阶段练习）如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点在直线下方的抛物线上运动，当时，点的坐标为____．【答案】【分析】将点、、的坐标求出，，设交x轴于点N，求出点的坐标，从而得直线的解析式，联立方程组即可求解．【详解】解：抛物线与坐标轴交于点、、，∴当时，；当时，，解方程得，，，∴，，，则，，，∴在中，，如图所示，点点在直线下方的抛物线上运动，设交x轴于点N∵，∴，设，则，在中，，解得：∴，设直线的解析式为，则，解得：，∴，∴，解方程组得，（舍去），，当时，，即．故答案为：．3．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当为直角三角形时，m的值为________．【答案】2【分析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，求出点P（m，-（m-1）2），由抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，建立方程｜x2-x1｜=2（m-1）2，根据根与系数关系可求得m值．【详解】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，令y=0得，∴x1+x2=2m，x1·x2=2m-1，则｜x2-x1｜2=4m2-8m+4=4（m-1）2，由抛物线=（x-m）2－（m-1）2得顶点坐标为P（m，-（m-1）2），抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，∴｜x2-x1｜=2（m-1）2，即4（m-1）2=4（m-1）4，解得：m=2或m=0或m=1，∵抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，∴2m＞0且m≠1且2m-1＞0，即m＞且m≠1，∴m=2，故答案为：2．二、解答题4．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考阶段练习）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在满足题意的点．或或或或【分析】（1）把点代入得，联立，得，由抛物线与直线只有一个交点求得b的值，即可得到抛物线的解析式；（2）先求出点A和点B的坐标，设点Q的坐标是，求出，，，分三种情况进行求解即可．【详解】（1）解：把点代入中，得，解得，联立，得，∵抛物线与直线只有一个交点，∴，解得或2，∵，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）存在满足题意的点．联立，解得或，∴，，由抛物线，可知抛物线对称轴为，设点Q的坐标是，则，，由勾股定理，得，当点为顶角时，，即，解得或，∴或；当为腰，为顶角时，，即，解得或，∴或；当为底时，，即，解得，∴．故满足题意的点坐标为：或或或或．5．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）已知函数，，函数称为、的组合函数(1)求、的图象的交点坐标；(2)、的图象的交点为、，抛物线顶点为，若是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的、的值【答案】(1)或(2)或【分析】（1）联立、的解析式，即可求解；（2）分三种情况讨论：若，时；若，时；若，时，即可求解．【详解】（1）解：联立得：，解得：或，∴、的图象的交点坐标为或；（2）解：由（1）得：、的图象的交点坐标为或，，∴抛物线顶点，如图：由（1）得：、的图象的交点坐标为或，∵是等腰直角三角形，若，时，此时点，∴，或，解得：（不合题意，舍去）或无解；若，时，此时点和分别为和的中点，∴点和，∴，或，解得：或，符合题意；若，时，此时点和分别为和的中点，∴点，，∴，或，无解；综上所述，符合条件的、的值为或．6．（2021春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，交抛物线于点（在的左侧），交抛物线的对称轴于点为抛物线的顶点，其中；(1)用的代数式表示点坐标；(2)连接，若为直角三角形，求抛物线解析式．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意得，由，根据平行线分线段成比例可知，通过设交点式可表示出的坐标；（2）根据（1）表示出的坐标，从而有，分三种情况分别列出方程，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵直线轴于点，∴当时，解得，即，∵，如图所示：根据平行线分线段成比例可知：，∴抛物线与轴另一个交点为，∴设抛物线，当时，，即；（2）解：将代入直线得：，即，∴直线，∴，∵，∴，∵△ABP为直角三角形，分三种情况讨论如下：①时，，∴，解得（由确定舍去）；②当时，，∴，解得（由确定舍去）；③当时，，∴，方程无解，故此情况不存在；由（1）知抛物线为，则或，∴抛物线的解析式为：或．7．（2023·江苏泰州·统考二模）已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值；(3)将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)；(2)秒(3)能，秒或秒或秒【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线，待定系数求解析式即可求解；（2）设．三点，，构成以为为斜边的直角三角形，勾股定理得出，．继而得出直线的解析式为，当时，，得出，进而即可求解；（3）分三种情况讨论，①点在轴正半轴上；②点在y轴负半轴上，③点在轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解．【详解】（1）解：由题意得，解得，抛物线的解析式为；，顶点的坐标为；（2）如图1，设．三点，，构成以为斜边的直角三角形，，即，整理，得，解得，舍去，．设直线的解析式为，则，解得，．当时，，，秒；（3）分三种情况：①若点在轴正半轴上，如图2，可得，即，解得；②若点在y轴负半轴上，如图3，连接交OB于E．可得，，，，，，．在与中，，，，；③若点在轴负半轴上，如图可得，即，解得；综上所述，所有满足条件的的值为秒或秒或秒．8．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．(1)求直线的表达式及抛物线的表达式．(2)求点C的坐标．(3)点在直线上，点在抛物线上．若，直接写出m的取值范围．(4)若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标．(5)在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)；(3)；(4)；(5)，，，【分析】（1）先把B点坐标代入中求出a得到抛物线解析式为，再利用待定系数法求直线的解析式；（2）通过解方程组，得C点坐标；（3）结合函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可；（4）先计算出，则，设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出t，从而得到D点坐标；（5）先得出,然后分三种情况①当时，②当时，③当时，求出点P的坐标即可．【详解】（1）把代入得，∴抛物线解析式为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（2）解方程组，得：或，∴C点坐标为；（3）若，m的取值范围为；（4）．设，∵，∴，解得：或（舍去），∴；（5）由（2）可知：、，∴,①当时，，；②当时，点P是线段的垂直平分线与x轴的交点．∵，∴中点D的坐标是，∴直线的解析式为：，则易得：；③当时，．综上，点P的坐标为：，，，．9．（2022春·江苏·九年级专题练习）抛物线与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线的对称轴为，可求得的值，进而可得解析式；（2）直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形可得，设，分轴上方和下方两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质列出式子，即可求得的值．【详解】（1）解：由抛物线与轴相交于点，可得，又抛物线的对称轴为，即，解得，抛物线的解析式为：；（2）解：如图，当直线与抛物线从左到右依次交于、两点，且直线位于轴上方时：作轴交轴于点，是等腰直角三角形，，又轴，为等腰直角三角形，，点坐标为，设，则，，又，，即，解得（舍负），；如图，当直线与抛物线从左到右依次交于、两点，且直线位于轴下方时：作轴交轴于点，是等腰直角三角形，，又轴，为等腰直角三角形，，点坐标为，设，则，，又，，即，解得（舍负），，综上：或10．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求点C的坐标(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)（3，1）(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)【分析】（1）把点（2，-1）代入计算即可；（2）过点C作CD垂直轴于点D，利用全等即可求出C点坐标；（3）分别过A,B,C三点作对边的平行线，分类讨论.【详解】（1）把点（2，-1）代入得=∴该抛物线的解析式为（2）过点C作CD垂直轴于点D∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3

∴△BOA≌△ADC∴OA=DC，BO=AD∵A(1,0),B(0,2),∴OA=DC=1，BO=AD=2∴点C的坐标为（3,1）（3）分别过A,B,C三点作对边的平行线，交于P1、P2、P3①当AP//BC,且AP=BC时，如图:将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)，经检验:点P1在抛物线上，故P1满足条件，②当BP//AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)，经检验，P2不在抛物线上；③当CP//AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)，经分析，点P3不在抛物线上，不合题意.综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1).11．（2022春·江苏·九年级专题练习）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点，且抛物线与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】(1)y＝2x2﹣x﹣3(2)P（1，﹣2）【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标,由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【详解】（1）解：把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得：，解得，∴y＝2x2﹣x﹣3；（2）把x＝0代入y＝2x2﹣x﹣3中可得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）代入y＝kx+c得：，解得，∴y＝﹣x﹣1，∴D（0，﹣1）．∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，∴点P是CD垂直平分线与抛物线y＝2x2﹣x﹣3的交点,由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，∴，解得：x＝1或-，∵点P在第四象限，即x＞0，∴x＝1．∴P（1，﹣2）．12．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C2：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．(1)求抛物线C1的表达式；(2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）；(3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．【答案】(1)y＝2x2+3x﹣1(2)t2+2(3)t＝0【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）把x=t分别代入两函数解析式，则可求得M、N的坐标，即可由MN=yM-yN求解；（3）①当∠ＢNM＝90°，BN＝NM时；②当∠BMN＝90°，BN＝NM时；分别求解即可．【详解】（1）解：将点A(﹣1,﹣2)、B（(﹣2,1)代入抛物线C1表达式得：，解得：，故抛物线C1的表达式为：y＝2x2+3x﹣1；（2）解：把x=t代入y＝2x2+3x﹣1，得：y=2t2+3t﹣1，∴点N的坐标为（t，2t2+3t﹣1），把x=t代入y＝3x2＋3x＋1，得：y=3t2+3t+1∴点M的坐标为：（t，3t2+3t+1），则MN＝（3t2+3t+1）﹣（2t2+3t﹣1）＝t2+2；（3）解：①当∠ＢNM＝90°时，如图1，则BNx轴,∵B（-2，1），∴2t2+3t﹣1=1，解得：t=-2或，当BN＝NM时：∵BN＝t﹣（﹣2）＝t+2，NM＝t2+2，∴t＋2＝t2+2，解得：t＝0或t=1，∴同时满足两个条件时t无解②当∠BMN＝90°时，如图2，∴3t2+3t+1=1，解得：t=0或-1，当BM＝MN时，∵BM＝t+2，NM＝t2+2，∴t+2＝t2+2，解得：t＝0或t＝1，∴同时满足两个条件时t=0所以当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时t＝013．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．(1)证明：△BOC是等腰直角三角形；(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．【答案】(1)见解析(2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．【分析】（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2−(1+2c)x+c=0，求得点B(c，0)，即可判断△BOC是等腰直角三角形；（2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解．【详解】（1）证明：令x=0，则y=c，∴点C(0，c)，令y=0，则2x2−(1+2c)x+c=0，∴(2x-1)(x-c)=0，∴x1=，x2=c，∵点B在点A右侧，∴点B(c，0)，点A(，0)，∴OB=OC=c，∵∠COB=90°，∴△BOC是等腰直角三角形；（2）解：y=2x2−(1+2c)x+c=2(x-)2-，∴点D(，-)，设DM交x轴于点M，∵△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∵点A，B关于DE对称，∴EA=EB，∴∠EAB=∠EBA=45°，∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵EM⊥AB，∴EM=AB，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，∵DM⊥AB，∴AB=2DM，∵点B(c，0)，点A(，0)，∴AB=c-，∵点D(，-)，∴DM=，∴c-=，整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0，∴c1=，c2=，∵c>，∴c=，∴当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．14．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，半径为1的经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．(1)求点A、B的坐标；(2)求抛物线的函数关系式；(3)若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(1，0)，B(0，)；(2)y=x2x+；(3)符合条件的点D为：(−1，)，(−1，−)，(−1，)，(−1，−)，(−1，0)．【分析】（1）由题意可直接得出点A、B的坐标为A(1，0)，B(0，)；（2）根据BC是切线，可求出BC的长，即得出点C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（3）先假设存在，看能否求出符合条件的点D即可．【详解】（1）解：∵MO=MA=1，∠OMA=60°，∴OA=1，又∠AOB=90°，∴AB经过点M，∴∠ABO=30∘，∴OB=，∴A(1，0)，B(0，)；（2）∵BC是切线，∴∠ABC=90°，由（1）知∠OAM=60°，∴∠ACB=30°，又由（1）可得AB=2，∴AC=4，∴C(−3，0)，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C代入得，，解得∴抛物线的解析式为y=x2x+；（3）解：设在对称轴上存在点D，使△BCD是等腰三角形，由（2）可得对称轴为直线x=−1，所以可设点D(−1，m)，分3种情况讨论：①BC=BD，则，解得m=±；②BC=CD，则，解得m=±；③BD=CD，=，解得：m=0，∴符合条件的点D的坐标为：(−1，)，(−1，−)，(−1，)，(−1，−)，(−1，0)．15．（2023·江苏常州·统考一模）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标；【答案】(1)(2)存在，，(3)或【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；（2）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标．（3）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求的长，可求点坐标，可得解析式，联立方程组可求点坐标；【详解】（1）把，，三点代入抛物线解析式，解得：，该抛物线的解析式为；（2）存在，由，则顶点，对称轴为直线，∴，∴，，∵，，∴直线解析式为，∴点，∵，，∴直线解析式为，如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，∵，点坐标，直线解析式为，∴解析式为:，联立方程组可得：，解得：或，∴点的坐标为，，（3）存在，由，则顶点，对称轴为直线，，，，，，直线解析式为，点，，，，，若点在直线的上方时，，，，，，，，，，点，直线解析式为：，联立方程组可得：，解得：或，点的坐标为，；若点在直线的下方时，由对称性可得：点，直线解析式为：，联立方程组可得：，解得：或，点的坐标为，，综上所述：点的坐标为，或，；16．（2023春·江苏宿迁·九年级泗阳致远中学校考期中）如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C．(1)求函数表达式及顶点坐标；(2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标；(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)(3)存在；或或或【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）先求出直线的解析式，设点，则，则，，根据，列出关于m的方程，解方程即可；（3）过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，证明，得出，设点，则，，得出，求出s的值即可．【详解】（1）解：把点、代入得：，解得：∴，∴顶点坐标为：；（2）解：把代入得：，∴，设直线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴，设点，则，∴，，∵，∴，解得（舍去），∴；（3）解：过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，如图所示：∵，∴，∴，∵，∴，∴，设点，则，，∴，当时，解得：或；当时，解得：或；综上分析可知，点M的横坐标为：或或或．17．（2023春·江苏苏州·九年级昆山市第二中学校考开学考试）已知二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为．(1)原抛物线的函数解析式是．(2)如图①，点P是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图②，点Q是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点M，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，或【分析】（1）由题意求出二次函数顶点左边，然后写出顶点式，变形即可；（2）如图，过P作交于M，结合（1）求出直线解析式为：，设则，根据带入计算，化为顶点式即可求出面积最大值是的值，从而求解；（3）①如图，为等腰直角三角形，为直角三角形，可得，即是中的可求解；②如图，为等腰三角形，为直角三角形，设根据即可求解．【详解】（1）解：由题意可知，二次函数图像的顶点坐标为：二次函数解析式为：即，故答案为：；（2）如图，过P作交于M，二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，当时，，解得，当时，，，，，直线解析式为：设，则当时面积的最大值为，；（3）存在，理由如下：由（2）可知，，①如图，为等腰直角三角形，为直角三角形，即，，是的中点，②如图，为等腰三角形，为直角三角形，即，，设解得：或（不合题意，舍去）综上所述：或18．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，，点A关于所在的直线的对称点，连接、．(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______．(2)若点落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．(3)设抛物线顶点为Q，若是锐角三角形，直接写出m的取值范围．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）将表达式化为交点式，可得结果；（2）设，根据对称的性质得到，从而求出n点，得到的坐标，求出的中点，从而得到点C坐标，代入函数表达式，可得结果；（3）求出顶点Q的坐标，得到，，，根据勾股定理的逆定理，分，时的m值，结合图像得出m的范围即可．【详解】（1）解：抛物线的表达式为：，故点、的坐标分别为：、，故答案为：、；（2）∵，∴对称轴为直线，设的坐标为，∵A和关于直线对称，∴，∴，解得：或（舍），∴，又，∴的中点坐标为，即，∴，代入中，解得：，∴；（3）在中，令，则，∴，，∴抛物线顶点Q的坐标为，∵是锐角三角形，∴，，，如图，当时，，解得：，如图，当时，，解得：，综上：m的取值范围是或．19．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，二次函数的图像交轴于点、，交轴于点，连接、，点为射线上的动点．(1)求点、的坐标；(2)若点在线段上，过点作轴的垂线交抛物线于点，交于点，当最大时，求点的坐标；(3)如图2，点为射线上的一点，且：①连接、，当为直角三角形时，求点的坐标；②如图3，连接、，直接写出的最大值．【答案】(1)，(2)(3)①或；②2【分析】（1）根据抛物线和轴交于、，列出方程，解方程，再根据、的左右关系，即可对应相应的坐标；（2）设，可得的范围：根据的坐标得出，根据为抛物线和轴的交点，得出，根据，得出直线，于是，至此得出，取最大值时，根据此横坐标即可得出的坐标；（3）①本题共有三种情况：情况一：当时，由（1）（2）得出，，求得直线的解析式为：