2005年考研数学二真题

2005年考研数学二真题

一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)

(1)设y=(l+sinx『,那么办|°=.

3

(2)曲线丁=生工的斜渐近线方程为______.

Nx

⑶f—.

JO(2-X2)71-X2

(4)微分方程盯'+2丁=*111；1满足式1)=—,的解为.

9

(5)当X—>0时，a(x)=kx2与尸(x)=Jl+xarcsin无一Jcosx是等价无穷小,那么k=

(6)设%,%,。3均为3维列向量，记矩阵

A=(al,a2,a3),B=(a,+az+a3+2a2+4a3,a,+3a2+9a3),

如果网=1,那么忸"

二、选择题(此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数=+,那么f(x)在(-8,+8)内

M—V

(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.

(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]

(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，ON"表示"M的充分必要条件是N",那么必有

(A)F(x)是偶函数0f(x)是奇函数.

(B)F(x)是奇函数Of(x)是偶函数.

(C)F(x)是周期函数Of(x)是周期函数.

(D)F(x)是单调函数Of(x)是单调函数.[]

=『+2,

(9)设函数y=y(x)由参数方程1x'确定，那么曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标

y=ln(l+r)

是

(A)-In2+3.(B)--ln2+3.

88

(C)-81n2+3.(D)81n2+3.[]

(10)设区域D={(x,y)|x2+/<4,x>0,y>0},f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，那么

[-(•a]f(x)+hy/fiy)

JJVTw+VTooa

(11)设函数”(x,y)=e(x+y)+0(无-y)+I*其中函数尹具有二阶导数，—具有一阶导数,

那么必有

d2u_d2u

dx2dy2

d2u_d2ud'u_d2u

dxdydy~dxdydx2

(12)设函数—，那么

ex~'-1

(A)x=O,x=l都是f(x)的第一类间断点.

(B)x=O,x=l都是f(x)的第二类间断点.

(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=l是f(x)的第二类间断点.

(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=l是f(x)的第一类间断点.[]

(13)设为,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为四,%，那么%，4%+%)线

性无关的充分必要条件是

(A)4Ho.(B)九2/°-(C)4=0-(D)22=0.[J

(14)设A为n[H>2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,8*分别为A,B的伴随矩

阵，那么

(A)交换4"的第1列与第2列得8*.(B)交换A*的第1行与第2行得3”.

(C)交换4*的第1列与第2列得—8*.(D)交换A*的第1行与第2行得—8*.

三、解答题(此题共9小题，总分值94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(此题总分值11分)

f(x-f)/⑺力

设函数f(x)连续，且/(0)70,求极限lim»()

(16)(此题总分值n分)

如图，G和。2分别是>=；(1+")和,="的图象，过点(0,1)的曲线。3是一单调增函数的图象.过

。2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和/v.记G，。2与。所围图形的面积为5(x)；

C2,C3与/v所围图形的面积为S2(y),如果总有S,(x)=S2(y),求曲线C,的方程x=(p(y).

(17)(此题总分值11分)

如图，曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点，直线4与。分别是曲线C在点(0,0)与(3⑵处

的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分工(x2+x)/"x)dx.

(18)(此题总分值12分)

用变量代换x=cos«0<r(万)化简微分方程(l-x2)/-^+y=0,并求其满足

y=l,y=2的特解.

A=0x=0

(19)(此题总分值12分)

函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(l)=l.证明:

(I)存在J6(0,1),使得/©=1-4；

(II)存在两个不同的点〃<e(0,l),使得广吐/1'(?)=L

(20)(此题总分值10分)

函数z=f(x,y)的全微分dz=2此比-2"仅，并且f(l,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域。={(x,y)x?+)-41}

4

上的最大值和最小值.

(21)(此题总分值9分)

计算二重积分JJ|x2+y2-lpo-,其中。={(x,y)|0<x<l,0<y<l}.

D

(22)(此题总分值9分)

r

确定常数a,使向量组4=(1,1,4)7,。2=(1,4,1)、a3=(6Z,l,l)可由向量组

B\=(1,1,。)'，用=(—2,0,4)、回=(-2,4a)7"线性表示，但向量组回，打，尸3不能由向量组%，。2，出线

性表示.

(23)(此题总分值9分)

-123一

3阶矩阵A的第一行是(a,。,c),a,。,c不全为零，矩阵8=246(k为常数)，且AB=O,求线性

36k

方程组Ax=0的通解.

2005年考研数学二真题解析

一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)

(1)设y=(l+sinx)”,那么dy=—TOIX.

X=7C--------------------

【分析】此题属基此题型，募指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为

隐函数求导.

【详解】方法一：y=(l+sinx)x=eNMMmx),于是

y,=e-r>n(I+sinA).山(]+Sinx)+X.侬*],

1+sinx

从而dy=y\7i)dx=-71dx.

方法二：两边取对数，lny=xln(l+sinx),对求导，得

xcosx

—y,=ln(l+sinx)+

y1+sinx

cos尤

于是y'=(l+sinx)”・[ln(l+sinx)+x----------],故

1+sinx

dy=y\7t)dx=-7tdx.

x=n

fl+rV3

(2)曲线y=l窄一的斜渐近线方程为y=x+2.

Jx2

【分析】此题属基此题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

3

【详解】因为a=lim四=lim支g=l,

・i°X13Xyjx

33

lim[/(x)-ax\^lim。""厂一”=-

3

于是所求斜渐近线方程为y=x+1.

,、pxdx7t

⑶\-------二一.

JO(2-X2)71^±

【分析】作三角代换求积分即可.

【详解】令%=5皿/,那么

rfdcost冗

=-arctan(co^)一

J°l+cos2ro4

(4)微分方程9'+2)，=%111%满足＞(1)=-^的解为y=gxln

【分析】直接套用一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式:

y=Q(x)/""'＞尤+C],

再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】原方程等价为

y+-y=lnx,

x

于是通解为y=[JInx•+C]=J•[J/Inxdx+C]

=~xlnx—x+C——，

39x2

由y(D=-,得C=0,故所求解为y='xlnx-

939

_________________o

(5)当x-0时，a(x)=k%2与£(x)=Jl+xancsinx-Jcosx是等价无穷小,那么k=—.

【分析】题设相当于=由此确定k即可.

xf。a(x)

Z?(x)Vl+xarcsinx-vcosx

【详解】由题设,lim———=lim-----------------------

・i。a(x)z。kx

xarcsinx+1-cosx

=lim

A-»0kjc(Jl+xarcsin%+Vcosx)

1xarcsinx+l-cosx31，口，3

=—hm------------------=—=1,得k=一.

2kDx4k4

(6)设外,%，。3均为3维列向量，记矩阵

4二(%,%，%)，3=(a1+。2+二3,21+2。2+423，二1+322+923)，

如果同=1,那么冏=2.

【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】由题设，有

-11r

二(%,%，%)123，

149

111

于是有忸|=|41231x2=2.

149

二、选择题(此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数/(x)=lim小+叶,那么f(x)在(-00,4-00)内

(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.

(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]

【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.

【详解】当忖＜1时，/(x)=lim^1+^=1；

当国=1时，=次节=1；

n-VYI

当国＞1时,个)=卧号+/=|承

一尤3,X<—1,

即/(x)=<1,可见f(x)仅在x=±l时不可导，故应选(C).

X3,X>1.

(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"MoN"表示"M的充分必要条件是N",那么必有

(B)F(x)是偶函数Of(x)是奇函数.

(B)F(x)是奇函数Of(x)是偶函数.

(C)F(x)是周期函数Of(x)是周期函数.

(D)F(x)是单调函数。f(x)是单调函数.[A]

【分析】此题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

【详解】方法一：任一原函数可表示为F(x)=「/(f)力+C,且尸(幻=/(%).

J0

当F(x)为偶函数时，有F(-x)=F(x),于是F(—x)•(―1)=尸(幻，即一/(-%)=/(x),也即

f(-x)=-f(x),可见f(x)为奇函数；反过来，假设f(x)为奇函数，那么「/⑺力为偶函数，从而

J0

F(x)=「/⑺力+C为偶函数，可见(A)为正确选项.

J0

1、

方法二:令f(x)=l,那么取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x尸X,那么取F(x)=—排除(D);故应选(A).

2

X=t~4-

(9)设函数户y(x)由参数方程《'确定，那么曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横

y=ln(l+?)

坐标是

(A)—In2+3.(B)—In2+3.

88

(C)-81n2+3.(D)81n2+3.[A]

【分析】先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.

【详解】当x=3时，有产+2f=3,得"1"=一3(舍去，此时y无意义)，于是

dy

,।=晨可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为:

dx心2t+2

y—in2=-8(x—3),

令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：-)n2+3,故应(A).

8

(10)设区域。={(乂丁),2+/w4,xZ0,yZ0},f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，那么

+bylf(y)t

,ab,,、a+b

(A)abK.(B)一7t.(C)(a+b)7T.(D)----TT.[D]

22

【分析】由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的.此题可考虑用轮换对称性.

【详解】由轮换对称性，有

a+brr.a-\-b1Q+b-

=2JJdo=——­—^■•2*'=——应选(D).

(11)设函数〃(x,y)=0(x+y)+0(x-y)+〃⑺没，其中函数0具有二阶导数，〃具有一阶导

Jx-y

数，那么必有

d2ud2ud2u_d2u

(A)(B)

dx2~Sy2,dx1歹，

d2ud2ud2ud2u

(C)(D)=—V，[B

dxdydxdydx2

c2d2ud2u

【分析】先分别求出92、再比拟答案即可.

eVdxdy

【详解】因为一■=e'(x+y)+"(x-y)+“(x+y)—/(x—y),

dx

k=e'(x+y)-o'(x-y)+〃(x+y)+”(x-y),

于是二=+y)+—y)+-y)-U(x-y),

ox

=(p\x+y)-(p\x-y)+，(x+y)+-y),

dxdy

/=<p\x+y)+(p\x-y)+w'Qc+y)-y/'(x-y)，

办

可见有吗=空，应选(B).

dx28y2

(12)设函数/(x)=——，那么

M-1

(B)x=O,x=l都是f(x)的第一类间断点.

(B)x=O,x=l都是f(x)的第二类间断点.

(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=l是f(x)的第二类间断点.

(E)x=0是f(x)的第二类间断点，x=l是f(x)的第一类间断点.[D]

【分析】显然x=O,x=l为间断点，其分类主要考虑左右极限.

【详解】由于函数f(x)在x=O,x=l点处无定义，因此是间断点.

且lim/(x)=oo,所以x=0为第二类间断点；

x->0

lim/(%)=0,lim/(%)=-1,所以x=l为第一类间断点，故应选(D).

.r—1'x->r

(13)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为%,。2,那么%，4%+。2)

线性无关的充分必要条件是

(A)4Ho.(B)22^0.(C)2,=0.(D)22=0.[B]

【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.

【详解】方法一：令人q+心4%+。2)=°，那么

k}ax+k2Z}ay+k2A2a2=0,(匕+k2At)at+k2A2a2=0.

由于%,%线性无关，于是有

当4工0时，显然有匕=。«2=0，此时％，A(四+。2)线性无关；反过来，假设%,

4囚+%)线性无关，那么必然有；12#0(,否那么，％与4%+。2)=4%线性相关)，故应选(B).

方法二:由于[«,,+%)]=[%，4%+%2%]=口，%]14

04

12,

可见四,+=2)线性无关的充要条件是=4W0-故应选(B).

0九

(14)设A为n(n>2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,8*分别为A,B的伴

随矩阵，那么

(B)交换4*的第1列与第2列得8*.(B)交换A*的第1行与第2行得5*.

(C)交换A*的第1列与第2列得—8*.(D)交换4*的第1行与第2行得—3*.

[C|

【分析】此题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随

矩阵的性质进行分析即可.

【详解】由题设，存在初等矩阵用2(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得g2A=8,

于是=(七”=刈昂|・昂=一4*忌，即

A*用2=-8",可见应选(0.

三、解答题(此题共9小题，总分值94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(此题总分值11分)

f(XT)/⑺山

设函数f(x)连续，且/(0)70,求极限lim%----------.

或―。力

【分析】此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法那么，但分子分母求导前应先变形.

【详解】由于j：f(x-t)dt=£于(u)(-du)=j；f(u)du，于是

f"⑺力+xf{x}-xf(x)£'f(t)dt

=lim包----------------------二lim7』-----------

ff(u)du+xf(x)f于(u)du+xf(x)

JOJO

_阮4〃o)=1

口"("％"/小/(0)+/(0)2-

/x+/⑴

(16)(此题总分值11分)

如图，G和。2分别是)，=：(1+")和,="的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象.过

。2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线。和记G，。2与。所围图形的面积为M(X)；

C2,C3与/v所围图形的面积为S2(y),如果总有S,(x)=S2(y),求曲线C,的方程x=g(y).

【分析】利用定积分的儿何意义可确定面积S1(x),§2。)，再根据S|(x)=S2(y)建立积分等式，然

后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.

【详解】如图，有

5(x)=-g(1+")]力=；(ev-x-l),

S2(y)=J：(M

由题设，得g(e*—x—l)=J；(lnr—火。)山，

而^=6”,于是一(y-lny-1)=f(]nt-(p(t))dt

2Jl

两边对y求导得」(l-')=lny—例>),

2y

v—1

故所求的函数关系为：x=e(y)=lny------.

2y

(17)(此题总分值11分)

如图，曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点，直线4与。分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处

的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分工(x2+x)/"(x)dx.

【分析】题设图形相当于f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.

【详解】由题设图形知，f(0)=0,r(0)=2;f(3)=2,尸(3)=-2,/(3)=0.

由分部积分，知

f

=-£(2X+l)df'(x)=~(2x+l)f(x)o+2jof\x)dx

=16+2[/(3)-/(0)]=20.

(18)(此题总分值12分)

用变量代换X=COS«0<r<〃)化简微分方程(1一Y)y"一孙，+y=0,并求其满足

y=l,y=2的特解.

",¥=0x=Q

【分析】先将y',y"转化为半,学，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.

dtdt2

【详解】y=^.—=--

dtdxsin?dt

2

n_dy'dt_rcosrdy1dy1

dtdxsintdtsin/dtsin.

d2y

代入原方程，得—f-+y=O.

dr

2

解此微分方程，得y=C}cosr+Qsin/=C1x+C2^i-x,

将初始条件y=l,y'=2代入，有6=2,。2=1-故满足条件的特解为丁=2》+庐7.

x=0x=0

(19)(此题总分值12分)

函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(l)=L证明:

(I)存在。e(0,l),使得/©)=1-八

(II)存在两个不同的点〃<e(0,l),使得广(〃)/0=1.

【分析】第一局部显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二局部为双介值问题，可考虑用拉格朗日

中值定理，但应注意利用第一局部已得结论.

【详解】⑴令-(x)=/(x)—l+x,那么F(x)在［0,1］上连续，且F(0)=-l<0,F(l)=l>0,于是由介

值定理知,存在。e(0,1),使得理©)=0,即./•《)=1—J.

(II)在［0,目和KJ］上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点〃e(0看)4e(夕1),

使得八〃)=坦二臀」，⑹二牛弊

于是/'⑺f'(G/•1一""-U.&=i.

J'J°jJ\-£

(20)(此题总分值10分)

函数z=f(x,y)的全微分dz=2xi/x-2)Uy,并且f(l,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域。={(x,y)x?+)-W1}

4

上的最大值和最小值.

【分析】根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式.而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值，可

能在区域的内部到达，也可能在区域的边界上到达，且在边界上的最值又转化为求条件极值.

.【详解】由题设，知理=2x,且=一2),

dxdy

于是f(x,y)=x2+C(y),且C'(y)=-2y,从而C(y)=-y2+C,

再由f(l,l)=2,得C=2,故f(x,y)^x2-y2+2.

令笠=0,笠=0得可能极值点为x=0,y=0.且A=Z4|=2,8=芸=0,

dxdydx~I(仇。)dxdy(。。)

d2f

C=—2

(0,0)

△=82_AC=4>0,所以点（0,0）不是极值点，从而也非最值点.

再考虑其在边界曲线一+9=1上的情形：令拉格朗日函数为

F(­)+噌+jl),

行

尸

-一

，

小

耳

解<-+B=-2y+—y=0,

3^f一

K=—+2_—1=0,

4

得可能极值点x=0,y=2,4=4；x=0,y=-2,A=4；x=l,y=0,2=-1；x=-l,y=0,2=-l.代

入f(x,y)得/(0,+2)=-2,/(±l,0)=3,可见z=f(x,y)在区域O={(x,y)V+X<1}内的最大值为3,最

4

小值为-2.

(21)(此题总分值9分)

计算二重积分JJ|x2+y2-lpo-,其中D={(x,y)|0<x<l,0<y<l}.

D

【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.

【详解】记R={(“,*+/《Leo},

22

D2={(x,y)|x+y>1,(x,y)e£>},

于是JJ—+V_1收=-“(12+y2-V)dxdy+JJC.^2+y2~^)dxdy

DD,D2

£]

=-1^dO^(r2-V)rdr+jj(x2+y2-V)dxdy-(x2+y2-l)dxdy

“■DP

胃+1同(，+丁T"-J?河(产-1)江号。

(22)(此题总分值9分)

确定常数a,使向量组4=(l,l,a)T,4=(l,a,l)r,q=可由向量组

B\=（1,1,。）,，人=（一2,4,4）「，£3=（—2,。,。）7线性表示，但向量组回,，2，尸3不能由向量组%，%，。3线

性表示.

【分析】向量组可由向量组女，22，四线性表示，相当与方程组:

<7,=X、/3\+X2/32+x3/3y,i-1,2,3.

均有解，问题转化为“4,62，63）=丫电,4/以,•），'=1,2,3是否均成立？这通过初等变换化解体形

讨论即可.而向量组四,42,四不能由向量组四,。2，。3线性表示，相当于至少有一个向量0（/=1,2,3）不

能由四,02，。3表示，即至少有一方程组

/3i=xlal+x2a2+x3a3,j=1,2,3,无解.

【详解】对矩阵彳=（4