高中数学《几何概型 均匀随机数的产生》导学案

■■I第亘章概率

DISANZHANG3,3几何概型

3.3.1几何概型

3.3.2均匀随机数的产生

卜课前自主预习

一、几何概型

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与世构成该事件区域的长度(面积或体积)成比

例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

2.几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有蚂型经；

(2)每个基本事件出现的可能性蚂相等.

3.几何概型的概率公式

°,旧构成事件A的区域长度(面积或体积)

"㈤一里试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)・

注意：(1)公式中的“长度”并不是实际意义的长度.有些书上也叫测度，测

度的意义依试验的全部结果构成的区域而定，若区域分别是线段、平面图形和立

体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积.

(2)当试验全部结果所构成的区域长度一定时，A的概率只与构成事件A的

区域长度有关，而与A的位置形式无关.

二、均匀随机数

均匀随机数的产生

(1)均匀随机数的概念

如果试验的结果是区间［。，句内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是

等可能的，则称这些实数为均匀随机数.

(2)均匀随机数的产生方法

①计算器上产生［0,1］的均匀随机数的函数是RAND函数.

②Excel软件产生［0,1］区间上均匀随机数的函数为“rand()”.

注意：(1)均匀随机数是随机产生的，在一定的区域长度上出现的机率是均等

的.

(2)均匀随机数是小数或整数，是连续的数值，相邻两个均匀随机数的步长是

人为设定的.

R自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.()

(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内.()

(3)几何概型的基本事件有无数多个.()

(4)从区间上取一个数，求取到1的概率属于几何概型.()

答案(1)V(2)X(3)V(4)X

2.做一做

(1)(教材改编Pl42T2)—个靶子如右图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，

假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷

飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为()

A.5B.10C.15D.20

答案A

解析阴影部分对应的圆心角度数和为15°X4=60°,所以飞镖落在阴影内

的概率为黑=卷，飞镖落在阴影内的次数约为30义t=5.

(2)在区间［—2,3］上随机选取一个数X,则XW1的概率为()

A］B.|c.|D］

答案B

解析在区间L2,3］上随机选取一个数X,则X&的概率为广聂莺=

3

5,

(3)(教材改编PuoTi)如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随

机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是小则小狗图案的面积是()

八兀八4兀一8兀、16兀

A.gB.}"eq-D.

答案D

解析设小狗图案的面积为Si,圆的面积S=TTX42=16兀，由几何概型的计

算公式得卷=；,得匹故选D.

卜课堂互动探究

探究1与长度有关的几何概型

例1⑴在区间［-2,4］上随机地取一个数x,若x满足园W〃z的概率为q，则

m=.

(2)某汽车站每隔15min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，

求一位乘客到达车站后等车时间超过10min的概率.

［答案］(1)3(2)见解析

［解析］(1)由几何概型及题意，知相＞0.由得一mW尤当0＜〃zW2

时，由题意得誓=常解得机=2.5,矛盾，舍去.当2＜加＜4时，由题意得团一92)

=1，解得m=3,即〃？的值为3.

(2)设上一辆车于时刻。到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段。乃的长

度为15,设T是线段刀乃上的点，且，T=5,727=10,如图所示.

Tiii______l丁

1I---y人-------y-------，12

5T10

记“等车时间超过lOmin”为事件A,则当乘客到达车站的时刻r落在线段

T1T上(不含端点)时，事件A发生.

.mW£.=j_=i

./(A)一力心的长度—15-3'

即该乘客等车时间超过10min的概率是:.

拓展提升

1.解几何概型概率问题的一般步骤

(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；

(2)把基本事件转化为与之对应的区域。；

(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域/；

(4)利用概率公式计算.

2.与长度有关的几何概型问题的计算公式

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式

为：

_______构成事件A的区域长度

&A)=试验的全部结果所构成的区域长度•

【跟踪训练1]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒,

绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮.

解在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型.

红灯亮的时间_30_2

(全部时间—30+40+5—亍

黄灯亮的时间_5_1

(2"一全部时间_75.15.

不是红灯亮的时间

(3)解法一：P=

全部时间

—黄灯亮或绿灯亮的时间

全部时间

453

755-

23

解法二：P=l—P(红灯亮)=1一§=；.

探究2与面积有关的几何概型

例2如图，矩形ABCO中，点A在x轴上，点3的坐标为(1,0),且点C与

x+1»xNO,

点。在函数兀x)=《1,的图象上.若在矩形ABC。内随机取一点，

—/+1，x<0

则此点取自阴影部分的概率等于()

131

B-C-D

148

A-6

嗒

案1B

2-

[解析]依题意得，点C的坐标为(1,2),所以点。的坐标为(-2,2),所以矩

、13

形A8CO的面积S版形ABCD=3X2=6,阴影部分的面积S阴影=]X3><1=],根据

3

几何概型的概率求解公式，得所求的概率=1；,故选B.

3矩形A5C004

拓展提升

L解与面积有关的几何概型的关键点

此类几何概型问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的

几何特征找出两个‘'面积"，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率.

2.与面积有关的几何概型的概率公式

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公

式为：

_构成事件A的区域面积

产⑷=试验的全部结果所构成的区域面积♦

【跟踪训练2】如图，在圆心角为直角的扇形0A8中，分别以OA,0B为

直径作两个半圆.在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

答案A

解析设扇形的半径为2,则其面积为一厂=兀.阴影部分的面积可转化为扇

形的面积减去AAOB的面积，即阴影部分的面积为兀一；X2X2=TI—2.因此任取

一点，此点取自阴影部分的概率为兀—丁2=1—2（.

兀71

探究3与体积有关的几何概型

例3在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在

正方体内部的概率为（)

A亚B串C亚D萼

兀2兀兀

［答案］D

［解析］由题意可得正方体的体积为％=1.又球的直径是正方体的体对角线,

即2R=N"+12+12,故球的半径R=坐球的体积丫2号/?3=乎兀则此点落在

正方体内的概率为2=5=*=需.

271

拓展提升

1.解与体积有关的几何概型的关键点

分清题中的条件，提炼出几何体的形状，找出总体积是多少以及所求的事件

占有的几何体是什么几何体，并计算出体积.

2.与体积有关的几何概型概率的求法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公

式为

构成事件A的区域体积

。⑷=试验的全部结果所构成的区域体积.

【跟踪训练3】在棱长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8

个顶点的距离都不小于1的概率为（）

A.07B0.70C.7D.1—70

答案D

解析符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，

且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的看球体外.

根据几何概型的概率计算公式得

232—8X31X74X71X13a

故选D.

探究4与角度有关的几何概型

例4如图，四边形ABCO为矩形，AB=小,BC=\,以A为圆心，1为半

径作四分之一个圆弧OE,在/D4B内任作射线AP,求射线AP与线段有公

共点的概率.

「解］因为在ND4B内任作射线AP,所以它的所有等可能基本事件对应的

区域是/D4B,当射线AP与线段有公共点时，射线AP落在NCAB内，对

/CAR3001

应区域为NCA8,所以射线AP与线段有公共点的概率不

Z-U/\D”uJ

拓展提升

当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度

量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段.

c

【跟踪训练4】如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在NAC8

内部作一条射线CM,与线段AB交于点M.求的概率.

解因为CM是NACB内部的任意一条射线，而总的基本事件是NACB的

大小，即为90。，

180。一45°

所以作AC'=AC,3.ZACC=——^-^=67.5°.

如图，当CM在NACC'内部的任意一个位置时，皆有AM<AC'=AC,即

67.5°3

P(AM<AC)=QQO=^.

例5

利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆的面积，如图，并估

计圆周率兀的近似值.

［解］(1)利用计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数，m=RAND"i=RAND.

(2)经过平移和伸缩变换，。=3—0.5)*2,

8=(历一0.5)*2,得到两组［-1,1］上的均匀随机数.

(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数M(满足屋+/W1的点伍,。)数).

(4)计算频率器，即为点落在圆内的概率.

(5)设圆的面积为S,由几何概率公式，得尸=》

:李阜,即沁爷即为圆面积的近似值.

又,黑户兀/=兀，.•.兀=5七寸，即为圆周率无的近似值.

拓展提升

用随机模拟法估计图形面积的步骤

(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆

等)内的一部分，并用阴影表示；

(2)利用随机模拟方法求出在规则图形内任取一点，落在阴影部分的概率P(A)

=三；

(3)设阴影部分的面积是S,规则图形的面积是S',则有鼠=£，解得S=

争，则所求图形面积的近似值为.

【跟踪训练5】某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路

车10分钟一班，23路车15分钟一班.则这位同学等车不超过8分钟的概率为

答案75

0815”(分钟)

解析

设x轴表示23路车的到站时间，y轴表示8路车的到站时间，记”8分钟内

乘坐8路车或23路车”为事件A.如图，则A所占区域面积为8X10+7X8=

136,整个区域的面积为10X15=150,那么，等车不超过8分钟的概率P(A)=

探=黑即这位同学等车不超过8分钟的概率为普

JLJ\Jr。J

1

r--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1涕鬻酬--------------------

1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型.

2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目.

3.注意理解几何概型与古典概型的区别.

4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，

概率公式为

构成事件A的区域长度（面积或体积）

P（A）一试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积了

5.在区间出，切上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取

值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区

间内的整数.

6.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面

积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.

卜随堂达标自测

1.为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包

含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，

据此可估计阴影部分的面积是（）

A.12B.9C.8D.6

答案B

解析易得正方形的面积为6X6=36,设阴影部分的面积为S,则箫心呆，

oUUJO

即S2黑义36=9.

OUU

2.某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到

达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分

钟的概率是（）

A.gB.；C.,

答案B

解析设小明到达发车站的时间为y,当y在7：50至8：00,或8：20至

201

8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故尸=而=],故选B.

3.在线段AB上任取三个点XI,X2,X3,则X2位于XI与X3之间的概率是（）

A.gB.；C.；D.1

答案B

解析因为阳，X2,相是线段A3上任意的三个点，任何一个数在中间的概

率相等且都是g.

4.利用计算机产生0-1之间的均匀随机数a,则事件“3a—l<0”的概率

为•

答案3

解析已知OWaWl,事件“3a—1<0”发生时，0<«<|,由几何概型得其概

率为小

5.奥运会射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、

蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”，靶面直径为122cm,靶心直径

为12.2cm.运动员在70m外射箭，假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都

是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

在该试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径

为122cm的大圆内的任一点，如图所示，记''射中黄心”为事件8,由于中靶

点随机地落在面积为兀X（室12cm2的大圆内，而当中靶点

落在面积为兀X（野｝cm2的黄心内时，事件8发生，于是事件8发生的概

|XTTX12.22

率为P（B）=，--------------=0.01.

4X71XI222

即射中黄心的概率是0.01.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为一边作正方形，

则此正方形的面积介于36cn?与81co?之间的概率为（）

A16BlC4D2

答案C

解析正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6

9—61

cm与9cm之间，线段A8的长度为12cm,故所求概率为下

2.某人向图中的靶子上射箭，假设每次射击都能中靶，且箭头落在任何位

置都是等可能的，则最容易射中阴影区域的是（）

答案B

解析由题意，设图中每个等边三角形的面积为1,则正六边形的面积为6.

选项A：阴影面积为2,射中阴影区域的概率为主选项B：阴影面积为3,射中

阴影区域的概率为去选项C：阴影面积为2,射中阴影区域的概率为多选项D：

阴影面积为2.5,射中阴影区域的概率为1.因为4卷＞g,所以最容易射中阴影区

域的是选项B.故选B.

3.在我国古代数学著作《九章算术》勾股章有一《池葭出水》的趣题（如图

所示）：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、

葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦

苇，露出水面1尺，将芦苇拉至池边，它的顶端正好与水面一样平，问水有多深？

该植物有多长？（“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用，1丈=10

尺，1米=3尺）.若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水下的概率是（）

9

A诃B13C14D15

答案B

解析设水深为无尺，则（x+l）2=f+52,解得x=12,即水深12尺，芦苇

12

长13尺，则所求概率P=存

4.分别在区间［1,6］,［1,4］内各任取一个实数，依次记为加，〃，则〃?>〃的概

率是（）

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8

答案C

解析画出图形（如图所示），加，〃所满足的区域为矩形A8CD,而〃所

15,

满足的区域为梯形ABCE,所以m>n的概率「=合也=-^=07故选C.

3柜彩4BC。1J

DE/_

C

B

5.在区间［0,2］上随机地取一个数x,则事件“一lWlog*+，Wl”发生的

概率为（)

aA.43B,3C3D4

答案A

111幺,所以袅x+袅2,

解析由-11

3

3\（1\23

解得0W尤韦，故事件“一lWlog5（x+5）Wl”发生的概率为5=不

乙乙,乙）乙I

二、填空题

6.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面上自由爬行，某时刻该蚂

蚁距离三角形的三个顶点的距离不超过1的概率为.

答案专

解析由已知得到三角形为直角三角形，三角形ABC的面积为:X3X4=6,

离三个顶点距离都不大于1的地方如图三角形的阴影部分，它的面积为半径

为1的半圆面积5=呼1义12=r1r

所以其恰在离三个顶点距离不超过1的概率为

7.记函数兀r）=N6+x—f的定义域为。.在区间［-4,5］上随机取一个数x,

则的概率是.

答案|

解析由6+x—<20,解得一2W尤W3,贝《。=［—2,刃，则所求概率为

3-（-2）_5

5-（-4）-9-

8.“丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周

日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能地到达）在

歌乐山健身步道起点处会合，若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分

钟.若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟.若在等待时间内对方到

达，则她俩就一起快乐地爬山，否则，她们均不再等候对方而独自去爬山，则“丁

香”和