沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第09讲解直角三角形(考点讲与练)(原卷版+解析)

第09讲解直角三角形（核心考点讲与练）【基础知识】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形（共5小题）1．(2023春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．2．(2023•青浦区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的余弦是（）A．ABAC B．BCAB C．ACAB3．(2023•宝山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（）A．2 B．12 C．52 4．(2023春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=4（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．5．(2023•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点（1）求AD的长；（2）求∠EBC的正切值．二．解直角三角形的应用（共2小题）6．(2023•越秀区校级模拟）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点B处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，且sinα＝cosβ=35，则梯子顶端上升了7．(2023•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）8．(2023秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为．9．(2023春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．10．(2023•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．11．(2023•浦东新区二模）如图，一个高BE为3米的长方体木箱沿坡比为1：3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）12．(2023秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotα B．20tanα C．1.5+20tanα D．1.5+20cotα13．(2023•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．14．(2023•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．五．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）15．(2023•普陀区模拟）如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向P处的北偏西65°PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米：当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2≈1.41，316．(2023秋•卧龙区校级月考）如图，客轮在海上由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行30km后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（）km．A．156 B．152 C．15(6【过关检测】一．选择题（共5小题）1．(2023秋•浦东新区校级期末）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（）A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的12C．不变 D．不能确定2．(2023秋•徐汇区期中）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（）A．a•sinα+b•sinα B．a•cosα+b•cosα C．a•sinα+b•cosα D．a•cosα+b•sinα3．(2023秋•松江区校级期中）如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了25m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．25m C．2m D．1034．(2023秋•杨浦区期末）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35° B．45° C．55° D．65°5．(2023•商河县校级模拟）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米 B．10千米 C．103千米 D．53千米二．填空题（共10小题）6．(2023•宝山区模拟）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC：AB＝3：4，那么cosA的值为．7．(2023•宝山区模拟）已知一个斜坡的坡度i＝1：3，那么该斜坡的坡角的度数是度．8．(2023•宝山区二模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，cosC=35．BC的垂直平分线交AB于点E，那么BE：AE的值是9．(2023•普陀区二模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为．10．(2023秋•浦东新区期中）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的12，那么称这个三角形为“好玩三角形”．已知Rt△ABC是“好玩三角形“，∠C＝90°，∠A＞45°，则tanA的值为11．(2023秋•浦东新区校级期末）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα=23，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ=412．(2023春•浦东新区校级期中）如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是．13．(2023•普陀区模拟）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为．14．(2023春•徐汇区校级期中）在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为θ，那么楼底到这十字路口的水平距离是米．15．(2023春•虹口区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD时，则sin∠CAB＝．三．解答题（共5小题）16．(2023秋•松江区期末）某货站沿斜坡AB将货物传送到平台BC．一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡度为1：2.4，点B到地面的距离BE＝1.5米，正方体木箱的棱长BF＝0.65米，求点F到地面的距离．17．(2023秋•闵行区校级期中）交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点．点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米．（1）求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则改进后栏杆平行地面时，图1中E向右移动的距离是多少？（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75．）18．(2023秋•金山区期末）如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机在位于C点时距离地面MN的高度CH为30米，测得旗杆顶部A点的俯角为30°，测得旗杆底部B点的俯角为45°，求旗杆的高度．19．(2023秋•闵行区期中）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里后达到点B处，测得岛C在其北偏东45°方向上．已知岛C周围10海里内有暗礁．问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．20．(2023秋•徐汇区期末）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB＝4米，宽BC＝2米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．（1）当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；（2）点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75，2≈第09讲解直角三角形（核心考点讲与练）【基础知识】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形（共5小题）1．(2023春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．分析：（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=EF2+CF2【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=2AC=6∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=22×4=∴BE＝AB﹣AE＝62−22=4（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=2∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=EF2在Rt△ECF中，cos∠ECB=CF【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．(2023•青浦区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的余弦是（）A．ABAC B．BCAB C．ACAB分析：根据余弦的定义即可得出答案．【解答】解：如图，cosA=AC故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握cosA=邻边3．(2023•宝山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（）A．2 B．12 C．52 分析：过P点作PA⊥x轴于A，则∠POA＝α，利用P点坐标得到OA＝1，PA＝2，然后根据正切的定义求出tan∠POA的值即可．【解答】解：如图，过P点作PA⊥x轴于A，则∠POA＝α，∵点P的坐标为（1，2），∴OA＝1，PA＝2，∴tan∠POA=PA即tanα＝2．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．4．(2023春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=4（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．分析：（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC=（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BD∴4BC∴BC＝5，∴CD=B（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=1∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EF【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．5．(2023•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点（1）求AD的长；（2）求∠EBC的正切值．分析：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，利用等腰三角形的性质得到AH＝DH，再证明∠ACH＝∠ABC，则sin∠ACH＝sin∠ABC=13，然后利用正弦的定义求出AH，从而得到（2）在Rt△ABC中先求出AB＝9，则BD＝7，再证明∠HCD＝∠EBD，则sin∠EBD=DEBD=13，利用正弦的定义求出【解答】解：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，∵CD＝CA，∴AH＝DH，∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，∴∠ACH＝∠ABC，∴sin∠ACH＝sin∠ABC=1在Rt△ACH中，sin∠ACH=AH∴AD＝2AH＝2；（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC=AC∴AB＝3AC＝9，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，∵∠E＝90°，而∠EDB＝∠HDC，∴∠HCD＝∠EBD，∴sin∠EBD=DE∴DE=13BD∴BE=7在Rt△EBC中，tan∠EBC=EC【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．二．解直角三角形的应用（共2小题）6．(2023•越秀区校级模拟）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点B处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，且sinα＝cosβ=35，则梯子顶端上升了分析：在原图中标上必要的字母，由BCAB=sinα=ECED=cosβ=35，设BC＝3m，则AB＝5m，求出m的值和AB【解答】解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，AB＝ED＝10，由BCAB=sinα=ECED设BC＝3m，则AB＝5m，则5m＝10，解得m＝2，∴BC＝3×2＝6，设EC＝3n，则ED＝5n，∴5n＝10，解得n＝2，∴EC＝3×2＝6，∴DC=E∴BD＝DC﹣BC＝8﹣6＝2（米），∴梯子顶端上升了2米，故答案为：2．【点评】此题考查锐角三角函数、解直角三角形、勾股定理等知识与方法，解题的关键是根据题中所给的三角函数值设未知数，使每一个直角三角形由两个未知边变为两个已知边．7．(2023•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）分析：（1）延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，根据题意可得∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，然后在Rt△AGF中，利用锐角三角函数的定义求出AG，从而求出GB的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC于点E，根据题意可得∠AEB＝29°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=AB∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）8．(2023秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为1：1.5．分析：根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．(2023春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为13米．分析：根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC=1解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=A故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．(2023•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．分析：根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：10故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．(2023•浦东新区二模）如图，一个高BE为3米的长方体木箱沿坡比为1：3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为3米．分析：根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：3，∴tan∠DAF=1∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BE∴3DE解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）12．(2023秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotα B．20tanα C．1.5+20tanα D．1.5+20cotα分析：由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．(2023•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为3.2米．分析：根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．(2023•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα分析：设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CD∴AD=x在Rt△BCD中，tanβ=CD∴BD=x∵AD﹣BD＝100，∴xtanα解得x=100⋅tanβ⋅tanα故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）15．(2023•普陀区模拟）如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向P处的北偏西65°PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到100千米：当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到（60+10t）千米；（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2≈1.41，3分析：（1）根据题意易求当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到的长度；当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到的长度；（2）实质就是将最近距离与区域半径进行比较，所以需作垂线．作OH⊥PQ于点H，在Rt△OMH中，∠OMH＝45°，OP＝200，运用三角函数求出PH的长，从而求出时间再求半径，比较后得结论．【解答】解：（1）由题意可得，当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到：60+10×4＝100（千米），当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到：（60+10t）（千米），故答案为：100，（60+10t）；（2）作OH⊥PQ于点H，∴∠OHP＝90°，∵∠OPH＝70°﹣25°＝45°，在等腰直角三角形OPH中，OP＝200千米，根据勾股定理可算得OH＝1002≈设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则PH＝20t＝1002，解得t＝52（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：60+10×52≈∴城市O不会受到侵袭．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，此题的难度在于半径的变化，理解半径又是随时间的变化而变化，所以转化为求时间，又已知速度，归结为求路程即三角形边长，解三角形求解．16．(2023秋•卧龙区校级月考）如图，客轮在海上由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行30km后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（）km．A．156 B．152 C．15(6分析：过点B作BD⊥AC于点D，先解Rt△BCD，求出BD＝CD＝152，再解Rt△ABD，求出AD＝56，则CA＝CD+AD．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠ACB＝25°+20°＝45°，BC＝30km，∴BD＝CD=22BC＝152在Rt△ABD中，∵∠BDA＝90°，∠ABD＝30°，∴AD＝BD•tan30°＝56km，∴CA＝CD+AD＝152+56（km即C到A的距离为（152+56）km故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．(2023秋•浦东新区校级期末）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（）A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的12C．不变 D．不能确定分析：把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应角相等得到锐角A的大小没改变，根据正切的定义得到锐角A的正切函数值也不变．【解答】解：因为把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切函数值也不变．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，利用了正弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质．2．(2023秋•徐汇区期中）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（）A．a•sinα+b•sinα B．a•cosα+b•cosα C．a•sinα+b•cosα D．a•cosα+b•sinα分析：作AE⊥OB交OB的延长线于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BOC中解直角三角形可求出点A到OC的距离．【解答】解：如图，作AE⊥OB交OB的延长线于点E，∵OC⊥OB，∴∠AEB＝∠BOC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠OBC＝∠BCO＝α，∵BEAB=cos∠ABE＝cos∴BE＝AB•cosα＝a•cosα，∵OBBC=sin∠BCO＝sin∴OB＝BC•sinα＝b•sinα，∴OE＝BE+OB＝a•cosα+b•sinα，∵AE∥OC，∴点A、点E到OC的距离相等，∴点A到OC的距离等于a•cosα+b•sinα，故选：D．【点评】此题考查直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，解题的关键是作辅助线将点A到OC的距离转化为一条线段的长．3．(2023秋•松江区校级期中）如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了25m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．25m C．2m D．103分析：可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．【解答】解：∵AB＝25m，tanA=BC∴设BC＝x，AC＝2x，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即（25）2＝x2+4x2，解得：x＝2，故小球距离地面的高度为2m．故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，i的定义，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．4．(2023秋•杨浦区期末）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35° B．45° C．55° D．65°分析：根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与俯角的定义．5．(2023•商河县校级模拟）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米 B．10千米 C．103千米 D．53千米分析：根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．【解答】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，∴BE＝5米，AE＝53千米，∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），∴AC=C故选：C．【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据直角三角形的三角函数得出AE，BE解答．二．填空题（共10小题）6．(2023•宝山区模拟）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC：AB＝3：4，那么cosA的值为74分析：根据题意设BC＝3x，AB＝4x，根据勾股定理求出AC，进而利用锐角三角函数关系求出答案．【解答】解：如图所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：4，∴设BC＝3x，AB＝4x，∴AC=AB则cosA=AC故答案为：74【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．(2023•宝山区模拟）已知一个斜坡的坡度i＝1：3，那么该斜坡的坡角的度数是30度．分析：坡度＝坡角的正切值，据此直接解答．【解答】解：∵tanα＝1：3=∴坡角＝30°．【点评】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．8．(2023•宝山区二模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，cosC=35．BC的垂直平分线交AB于点E，那么BE：AE的值是分析：过点A作AH⊥BC于H，作BC的垂直平分线交AB于点E、交BC于F，根据余弦的定义求出CH，根据勾股定理求出AH，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，作BC的垂直平分线交AB于点E、交BC于F，在Rt△AHC中，cosC=CHAC，则CH2解得：CH=6由勾股定理得：AH=A在Rt△ABH中，∠B＝45°，则BH＝AH=8∴BC＝BH+CH=14∵EF是BC的垂直平分线，∴BF=7∴FH＝BH﹣BF=1∵EF⊥BC，AH⊥BC，∴EF∥AH，∴BEEA故答案为：7．【点评】本题考查的是解直角三角形、平行线分线段成比例定理，根据余弦的定义求出CH是解题的关键．9．(2023•普陀区二模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为43分析：在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：如图：在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝4，∴cotB=BD故答案为：43【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．10．(2023秋•浦东新区期中）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的12，那么称这个三角形为“好玩三角形”．已知Rt△ABC是“好玩三角形“，∠C＝90°，∠A＞45°，则tanA的值为2分析：由Rt△ABC是“好玩三角形“，∠C＝90°，∠A＞45°，确定BC＞AC，结合“三角形有一边上的高恰好等于这边长的12【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＞45°，∴BC＞AC，如图：①当BC边上的高AC是BC的12时，即AC=1此时tanA=BC②当AC边上的高BC是AC的12时，即BC=12AC，即③当AB边上的高CD是AB的12时，此时AC＝BC综上，tanA的值为2，故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形、理解新定义内容，利用分类讨论思想解题是关键．11．(2023秋•浦东新区校级期末）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα=23，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ=4分析：根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．【解答】解：作PC⊥AB交AB于点C，如右图所示，∴AC=PCtanα=PC∵AB＝AC﹣BC，∴900=PC∴PC＝1200，答：此时飞机离地面的高度为1200米，故答案为：1200．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．12．(2023春•浦东新区校级期中）如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是98分析：设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，根据平行线分线段成比例定理得出AECE=DEBE=ADBC=54，由勾股定理求出BD、DC、AC，求出DE和根据三角形的面积得出12×DE×CF=209，求出【解答】解：设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，∵AD∥BC，∴AECE由勾股定理得：BD=22+52=29，DC则DE=59BD=5299，过C作CF⊥BD于F，∵△BCD的面积S=1∴△DCE的面积为59×4∴12×DE×CF∴12×5∴CF=8由勾股定理得：EF=C∴tan∠CED=CF故答案为：98【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识点，能求出CF的长是解此题的关键．13．(2023•普陀区模拟）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为3．分析：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，根据全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB，根据全等三角形的性质得出AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，求出CF＝DE＝AE+AD＝3d，再解直角三角形求出答案即可．【解答】解：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，则∠CDA＝∠AEB＝90°，∵直线a∥直线b∥直线c，相邻两条平行线间的距离相等（设为d），∴BF⊥直线c，CD＝2d，∴BE＝BF＝d，∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠DCA+∠DAC＝90°，∠EAB+∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠EAB，在△CDA和△AEB中，∠DCA=∠EAB∠CDA=∠AEB∴△CDA≌△AEB（AAS），∴AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，∴CF＝DE＝AE+AD＝2d+d＝3d，∵BF＝d，∴cotα=CF故答案为：3．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．14．(2023春•徐汇区校级期中）在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为θ，那么楼底到这十字路口的水平距离是100tanθ分析：由题意画出图形，再由锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：如图，由题意得：∠A＝θ，∵tanA=BCAC=∴AC=BC故答案为：100tanθ【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．15．(2023春•虹口区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD时，则sin∠CAB＝1213分析：过E点作EF∥AD，利用三角形相似，各线段长度，则勾股定理求得AC，利用面积相等，求得CM，从而得出答案．【解答】解：过点E作EF∥AD，交BC于点F，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，如右图，∵∠CAD＝∠BAD，AO＝AO，∠COA＝∠EOA，∴△AOC≌△AOE（ASA），∴OC＝OE，AC＝AE，∵EF∥OD，OC＝OE，∴CD＝DF，∴EF＝2OD，设OD＝a，则EF＝2a，∵AE＝EB，EF∥AD，∴DF＝FB，∴AD＝2EF＝4a，∵CE＝AD，AO＝AD﹣OD，∴CE＝4a，AO＝3a，∴OC=12CE=在Rt△AOC中，AC=O∴AE＝AC=13∵S△ACE=1∴AE•CM＝AO•CE，∴13a×CM=3a×4a∴CM=12∴在Rt△ACM中，sin∠CAB=CM故答案为：1213【点评】本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握性质之间的线段和角度转化，是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．(2023秋•松江区期末）某货站沿斜坡AB将货物传送到平台BC．一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡度为1：2.4，点B到地面的距离BE＝1.5米，正方体木箱的棱长BF＝0.65米，求点F到地面的距离．分析：过点F作FG⊥AD于G，延长CB交FG于H，根据坡度的概念、勾股定理求出BH，进而求出FH，计算即可．【解答】解：过点F作FG⊥AD于G，延长CB交FG于H，则四边形HGEB为矩形，∴HG＝BE＝1.5米，∠HBE＝90°，∵∠EBA＝90°，∴∠BFH＝∠HBA＝∠A，∴BH：FH＝1：2.4，由勾股定理得：BF2＝BH2+FH2，即0.652＝BH2+（2.4BH）2，解得：BH＝0.25，∴FH＝0.25×2.4＝0.6（米），∴FG＝FH+HG＝2.1（米），答：点F到地面的距离为2.1米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．(2023秋•闵行区校级期中）交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点．点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米．（1）求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则改进后栏杆平行地面时，图1中E向右移动的距离是多少？（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75．）分析：（1）过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．先求出∠EAH＝53°，则∠EAH＝53°，然后在△EAH中，利用余弦函数的定义得出EH＝AE•cos∠AEH≈0.96米，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可；（2）∠EAB减小16°，则（1）中的出∠EAH＝37°，解直角三角形求出AE的长即可．【解答】解：（1）如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．∵∠EAB＝143°，∠BAG＝90°，∴∠EAH＝∠EAB﹣∠BAG＝53°．在△EAH中，∠EHA＝90°，∠AEH＝90°﹣∠EAH＝37°，AE＝1.2米，∴EH＝AE•cos∠AEH≈1.2×0.80＝0.96（米），AH＝AE•sin∠AEH≈1.2×0.60＝0.72（米），∵AB＝1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96＝2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度约为2.2米；（2）在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则∠EAH＝37°，∴AE=EHsin37°≈∴图1中E向右移动的距离是：1.6﹣1.2＝0.4（米）．【