《数学》复习人教A（新高考）-第3节　圆的方程

第八章

第3节圆的方程知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1．圆的定义和圆的方程定点

定长

D2＋E2－4F＞0

2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．圆外圆上圆内1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1) (y－y2)＝0.1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (

) (2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆． (

) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆． (

) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (

)√

√

×

×

D

3．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(

) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

解析

设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.

因为圆心C在直线x＋y－2＝0上， 所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2， 所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2， 所以a＝1，b＝1.

所以r＝2.

所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.C

4．(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 (

) A．4B．5C．6D．7A

5．(多选题)(2021·济南调研)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是 (

) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为10 C．圆M的半径为5 D．圆M被y轴截得的弦长为6

解析

由圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0， 则圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52， 故圆心为(4，－3)，半径为5， 则AC正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6， 故D正确；令y＝0，得x＝0或x＝8，弦长为8， 故B错误．ACD

B

解析

设圆心为P(x0，y0)，半径为r， ∵圆与x轴，y轴都相切， ∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2，1)， ∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2， ∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.考点分层突破题型剖析考点聚焦21．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为

________________．考点一圆的方程///////自主演练x2＋y2－2x＝0

所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，(x－1)2＋(y＋1)2＝2

解析

法一

∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴可设所求圆的圆心为(a，－a)．∵所求圆与直线x－y＝0相切，3．(2020·郑州二模)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为 (

) A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4 C．(x－4)2＋(y－6)2＝4 D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4C

AB

解析

设圆心为C(a，b)，半径为r，圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1∶2，则其中劣弧所对圆心角为120°，由圆的性质可得r＝2|b|，又圆被y轴截得的弦长为4，∴a2＋4＝r2，感悟升华考点二与圆有关的最值问题///////多维探究角度1利用几何意义求最值【例1】(2)求x＋y的最大值和最小值； 解

设t＝x＋y， 则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距． 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，感悟升华【例2】(2020·衡水联考)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________． 解析因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，角度2利用对称性求最值故A′(－4，－2)．感悟升华角度3建立函数关系求最值12

根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．感悟升华B

【训练1】(2)(2020·长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．【例4】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：

(1)直角顶点C的轨迹方程； 解法一设C(x，y)， 因为A，B，C三点不共线， 所以y≠0.

因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1，考点三与圆有关的轨迹问题///////师生共研所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．【例4】(2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解

设M(x，y)，C(x0，y0)，

所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1.

因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．感悟升华【训练2】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程． 解如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，课后巩固作业提升能力分层训练3一、选择题1．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 (

) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

解析因为圆心为(1，1)且过原点，D

B

3．(2021·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(

) A．2 B．－2 C．1 D．－1

解析

由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1，1)， 即1＝k＋3，解得k＝－2.B

4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (

) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析

设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，A

5．(2020·成都诊断)若抛物线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为 (

) A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5

解析抛物线y＝x2－2x－3关于直线x＝1对称，与坐标轴的交点为A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，设圆心为M(1，b)，半径为r，D

所以由交点确定的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.

故选D.6．(2021·西安调研)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为 (

) A．x2＋y2－2x－4y－8＝0 B．x2＋y2＋2x－4y－8＝0 C．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 D．x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0C

二、填空题7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是

_________________，半径是________． 解析

由已知方程表示圆， 则a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1.

当a＝2时，方程不满足表示圆的条件， 故舍去． 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．(－2，－4)

5

x2＋(y＋1)2＝4

9．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为_________． 解析

P是x轴上任意一点， 则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3， 则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)．三、解答题10．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值； 解由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，解设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，11．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求l的方程； 解

由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．11．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝