《数学》复习人教A（新高考）-第3节　等比数列及其前n项和-教师复习验收卷

《数学》复习人教A（新高考）-第3节等比数列及其前n项和-教师复习验收卷《数学》复习人教A（新高考）-第3节等比数列及其前n项和-教师复习验收卷/《数学》复习人教A（新高考）-第3节等比数列及其前n项和-教师复习验收卷第3节等比数列及其前n项和知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2,q为非零常数).(2)等比中项：如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.那么eq\f(G,a)＝eq\f(b,G),即G2＝ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an＝a1qn－1;通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时,Sn＝na1;当q≠1时,Sn＝eq\f(a1(1－qn),1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak＋m,ak＋2m,…仍是等比数列,公比为qm(3)当q≠－1,或q＝－1且n为奇数时,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{aeq\o\al(2,n)},eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))),{an·bn},eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列.2.由an＋1＝qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q＝1与q≠1分类讨论,防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列,通常设为eq\f(x,q),x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为eq\f(x,q3),eq\f(x,q),xq,xq3.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打"√”或"×”)(1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.()(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)数列{an}的通项公式是an＝an,则其前n项和为Sn＝eq\f(a(1－an),1－a).()(4)数列{an}为等比数列,则S4,S8－S4,S12－S8成等比数列.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)在等比数列中,q≠0.(2)若a＝0,b＝0,c＝0满足b2＝ac,但a,b,c不成等比数列.(3)当a＝1时,Sn＝na.(4)若a1＝1,q＝－1,则S4＝0,S8－S4＝0,S12－S8＝0,不成等比数列.2.已知{an}是等比数列,a2＝2,a5＝eq\f(1,4),则公比q等于()A.－eq\f(1,2) B.－2 C.2 D.eq\f(1,2)答案D解析由题意知q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8),即q＝eq\f(1,2).3.等比数列{an}的首项a1＝－1,前n项和为Sn,若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32),则{an}的通项公式an＝________.答案－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)解析因为eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32),所以eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32),因为S5,S10－S5,S15－S10成等比数列,且公比为q5,所以q5＝－eq\f(1,32),q＝－eq\f(1,2),则an＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n－1).4.(2018·北京卷)"十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于eq\r(12,2).若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.eq\r(3,2)f B.eq\r(3,22)fC.eq\r(12,25)f D.eq\r(12,27)f答案D解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f,公比为eq\r(12,2)的等比数列,设此数列为{an},则a8＝eq\r(12,27)f,即第八个单音的频率为eq\r(12,27)f.5.(多选题)(2021·潍坊调研)已知等比数列{an}的各项均为正数,且3a1,eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列,则下列说法正确的是()A.a1＞0 B.q＞0C.eq\f(a3,a2)＝3或－1 D.eq\f(a6,a4)＝9答案ABD解析设等比数列{an}的公比为q,由题意得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a3))＝3a1＋2a2,即a1q2＝3a1＋2a1q因为数列{an}的各项均为正数,所以a1＞0,且q＞0,故A,B正确;由q2－2q－3＝0,解得q＝3或q＝－1(舍),所以eq\f(a3,a2)＝q＝3,eq\f(a6,a4)＝q2＝9,故C错误,D正确,故选ABD.6.(2019·全国Ⅰ卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝eq\f(1,3),aeq\o\al(2,4)＝a6,则S5＝________.答案eq\f(121,3)解析由aeq\o\al(2,4)＝a6得(a1q3)2＝a1q5,整理得q＝eq\f(1,a1)＝3.所以S5＝eq\f(a1(1－q5),1－q)＝eq\f(\f(1,3)(1－35),1－3)＝eq\f(121,3).考点一等比数列基本量的运算1.(多选题)(2021·日照调研)已知在等比数列{an}中,a3＝7,前三项之和S3＝21,则公比q的值是()A.1 B.－eq\f(1,2) C.－eq\f(1,2) D.－1答案AB解析当q＝1时,an＝7,S3＝21,符合题意;当q≠1时,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝7,,\f(a1(1－q3),1－q)＝21,))得q＝－eq\f(1,2).综上,q的值是1或－eq\f(1,2),故选AB.2.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12,a6－a4＝24,则eq\f(Sn,an)＝()A.2n－1 B.2－21－nC.2－2n－1 D.21－n－1答案B解析设等比数列{an}的公比为q,则q＝eq\f(a6－a4,a5－a3)＝eq\f(24,12)＝2.所以eq\f(Sn,an)＝eq\f(\f(a1(1－2n),1－2),a12n－1)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n.3.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20,a3＝8.(1)求{an}的通项公式;(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋解(1)设{an}的公比为q(q>1),且a2＋a4＝20,a3＝8.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＋a1q3＝20,,a1q2＝8))消去a1,得q＋eq\f(1,q)＝eq\f(5,2),则q＝2,或q＝eq\f(1,2)(舍).因此q＝2,a1＝2,所以{an}的通项公式an＝2n.(2)易知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·22n＋1,则数列{(－1)n－122n＋1}公比为－4.故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1·anan＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1＝eq\f(23[1－(－4)n],1＋4)＝eq\f(8,5)[1－(－4)n]＝eq\f(8,5)－(－1)n·eq\f(22n＋3,5).感悟升华1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以"知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q＝1时,{an}的前n项和Sn＝na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn＝eq\f(a1(1－qn),1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).考点二等比数列的判定与证明【例1】(2021·新高考8省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列;(2)若a1＝eq\f(1,2),a2＝eq\f(3,2),求{an}的通项公式.(1)证明an＋2＝2an＋1＋3an,所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an),因为{an}中各项均为正数,所以an＋1＋an>0,所以eq\f(an＋2＋an＋1,an＋1＋an)＝3,所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.(2)解由题意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1,因为an＋2＝2an＋1＋3an,所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an),a2＝3a1,所以a2－3a1＝0,所以an＋1－3an＝0,故an＋1＝3an,所以4an＝2×3n－1,an＝eq\f(1,2)×3n－1.感悟升华1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n＝1的情形进行验证.【训练1】(2020·石家庄质量评估)已知数列{an}中,a1＝1,an·an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).(1)证明：数列{a2n－1}和数列{a2n}都是等比数列;(2)若数列{an}的前2n项和为T2n,bn＝(3－T2n)n(n＋1),求数列{bn}的最大项.(1)证明由anan＋1＝eq\f(1,2n),得an＋1an＋2＝eq\f(1,2n＋1).两式相除,得eq\f(an＋2,an)＝eq\f(1,2)因为a1＝1,a1·a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1),所以a2＝eq\f(1,2),所以{a2n－1}是以a1＝1为首项,eq\f(1,2)为公比的等比数列,{a2n}是以a2＝eq\f(1,2)为首项,eq\f(1,2)为公比的等比数列.(2)解因为T2n＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\f(1,2))＝3－eq\f(3,2n),所以bn＝(3－T2n)n(n＋1)＝eq\f(3n(n＋1),2n).则eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(3(n＋1)(n＋2),2n＋1)·eq\f(2n,3n(n＋1))＝eq\f(n＋2,2n).当n<2时,eq\f(n＋2,2n)>1,即b2>b1＝3;当n＝2时,eq\f(n＋2,2n)＝1,即b2＝b3＝eq\f(9,2);当n>2时,eq\f(n＋2,2n)<1,即bn＋1<bn.故数列{bn}的最大项是b2或b3,为eq\f(9,2).考点三等比数列的性质及应用【例2】(1)(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1＋a2＋a3＝1,a2＋a3＋a4＝2,则a6＋a7＋a8＝()A.12 B.24(2)(2021·长沙检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8－2S4＝5,则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A.25 B.20 C.15 D.10答案(1)D(2)B解析(1)设等比数列{an}的公比为q,则q＝eq\f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝eq\f(2,1)＝2,所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.(2)在正项等比数列{an}中,Sn>0,因为S8－2S4＝5,则S8－S4＝5＋S4,易知S4,S8－S4,S12－S8是等比数列,所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8),所以S12－S8＝eq\f((S4＋5)2,S4)＝eq\f(25,S4)＋S4＋10≥2eq\r(\f(25,S4)·S4)＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号)因为a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8,所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.感悟升华1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是"若m＋n＝p＋q,则am·an＝ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.【训练2】(1)(多选题)(2021·山东名校联考)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a6＋a7>a6a7＋1>2,记{an}的前n项积为Tn,则下列选项正确的是()A.0<q<1 B.a6>1C.T12>1 D.T13>1(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若eq\f(S6,S3)＝3,则eq\f(S9,S6)＝________.答案(1)ABC(2)eq\f(7,3)解析因为等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a6＋a7>a6a7＋1>2,所以(a6－1)(a7－1)<0,得a6<1,a7>1或a6>1,a7<1,当a6<1,a7>1时,q>1,但由a1>1得an>1,与a6<1矛盾,因此舍去.当a6>1,a7<1时,0<q<1,满足题意.所以0<q<1.因为a6a7＋1>2,所以a6a7>1,所以T12＝a1·a2·…·a11·a12＝(a6a7)6>1,T13＝aeq\o\al(13,7)<1.故选ABC.(2)法一由等比数列的性质知,S3,S6－S3,S9－S6仍成等比数列,由已知得S6＝3S3,所以eq\f(S6－S3,S3)＝eq\f(S9－S6,S6－S3),即S9－S6＝4S3,S9＝7S3,所以eq\f(S9,S6)＝eq\f(7,3).法二因为{an}为等比数列,由eq\f(S6,S3)＝3,设S6＝3a,S3＝a,所以S3,S6－S3,S9－S6为等比数列,即a,2a,S9－S6成等比数列,所以S9－S6＝4a,解得S9＝7a,所以eq\f(S9,S6)＝eq\f(7a,3a)＝eq\f(7,3).等比数列前n项和性质的延伸在等比数列{an}中,Sn表示{an}的前n项和,{an}的公比为q,1.当Sn≠0时,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…成等比数列(n∈N*).2.Sn＋m＝Sn＋qnSm,特别地S2n＝S奇＋qS奇.【典例】(1)已知等比数列{an}共有2n项,其和为－240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q＝________.(2)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3＝S6,则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为________.答案(1)2(2)eq\f(31,16)解析(1)由题设,S偶＝S奇－80,S2n＝－240.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＋qS奇＝－240,,qS奇＝S奇－80,))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80,,q＝2.))(2)设等比数列{an}的公比q,易知S3≠0.则S6＝S3＋S3q3＝9S3,所以q3＝8,q＝2.所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为1,公比为eq\f(1,2)的等比数列,其前5项和为eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(5),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).素养升华1.等比数列前n项和的性质,体现了整体思想在数列中的应用.2.在运用性质1时,要注意条件Sn≠0;在性质2中,回避讨论公比q＝1是否成立,优化了解题过程.【训练】已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1＋a2＋a3＝4,a4＋a5＋a6＝8,则S12＝()A.40 B.60 C.32 D.50答案B解析数列S3,S6－S3,S9－S6,S12－S9是等比数列,即数列4,8,S9－S6,S12－S9是首项为4,公比为2的等比数列,则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16,S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32,又S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝4＋8＋16＝28.因此S12＝28＋32＝60.A级基础巩固一、选择题1.(2020·重庆联考)设b∈R,数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b,则()A.{an}是等比数列B.{an}是等差数列C.当b＝－1时,{an}是等比数列D.当b≠－1时,{an}是等比数列答案C解析当n＝1时,a1＝S1＝3＋b,当n≥2,an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1,当b＝－1时,a1＝2适合an＝2·3n－1,{an}为等比数列.当b≠－1时,a1不适合an＝2·3n－1,{an}不是等比数列.2.已知等比数列{an}满足a1＝1,a3·a5＝4(a4－1),则a7的值为()A.2 B.4 C.eq\f(9,2) D.6答案B解析根据等比数列的性质得a3a5＝aeq\o\al(2,4),∴aeq\o\al(2,4)＝4(a4－1),即(a4－2)2＝0,解得a4＝2.又a1＝1,a1a7＝aeq\o\al(2,4)＝4,∴a7＝4.3.在数列{an}中,满足a1＝2,aeq\o\al(2,n)＝an－1·an＋1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6＝64,则S7的值为()A.126 B.256 C.255 D.254答案D解析数列{an}中,满足aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2),则数列{an}为等比数列,设其公比为q,又由a1＝2,a6＝64,得q5＝eq\f(a6,a1)＝32,则q＝2,则S7＝eq\f(a1(1－27),1－2)＝28－2＝254.4.(多选题)(2021·济南调研)设等比数列{an}的公比为q,则下列结论正确的是()A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D.数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比为eq\f(1,q)的等比数列答案AD解析对于A,由eq\f(anan＋1,an－1an)＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列;对于B,当q＝－1时,数列{an＋an＋1}的项中有0,不是等比数列;对于C,当q＝1时,数列{an－an＋1}的项中有0,不是等比数列;对于D,eq\f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq\f(an,an＋1)＝eq\f(1,q),所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比为eq\f(1,q)的等比数列,故选AD.5.(2020·西安调研)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3＝1∶2,则S9∶S3＝()A.1∶2 B.2∶3C.3∶4 D.1∶3答案C解析∵{an}是等比数列,则S3,S6－S3,S9－S6成等比数列,由S6∶S3＝1∶2,令S3＝x(x≠0),则S6＝eq\f(1,2)x.∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6),则S9－S6＝eq\f(x,4),从而S9＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,4)＝eq\f(3x,4),故S9∶S3＝3∶4.6.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑完了1000米,此时乌龟便领先他100米,当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟领先他10米,当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟领先他1米,……,所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,当阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时,乌龟爬行的总距离为()A.eq\f(105－1,900)米 B.eq\f(105－9,90)米C.eq\f(104－9,900)米 D.eq\f(104－1,90)米答案D解析由题意可知,乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an},且a1＝100,q＝eq\f(1,10),an＝0.1.∴乌龟爬行的总距离为Sn＝eq\f(100－0.1×\f(1,10),1－\f(1,10))＝eq\f(104－1,90).二、填空题7.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1,a4＝b4＝8,则eq\f(a2,b2)＝________.答案1解析{an}为等差数列,a1＝－1,a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d,∴d＝3,∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数列,b1＝－1,b4＝8＝b1·q3＝－q3,∴q＝－2,∴b2＝b1·q＝2,则eq\f(a2,b2)＝eq\f(2,2)＝1.8.(2021·河南六市联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3＝7,S6＝63,则a1＝________.答案1解析由于S3＝7,S6＝63知公比q≠1,又S6＝S3＋q3S3,得63＝7＋7q3.∴q3＝8,q＝2.由S3＝eq\f(a1(1－q3),1－q)＝eq\f(a1(1－8),1－2)＝7,得a1＝1.9.若数列{an}的首项a1＝2,且an＋1＝3an＋2(n∈N*).令bn＝log3(an＋1),则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________.答案5050解析由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1),所以数列{an＋1}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an＋1＝3n,an＝3n－1.所以bn＝log3(an＋1)＝n,因此b1＋b2＋b3＋…＋b100＝eq\f(100(1＋100),2)＝5050.三、解答题10.(2021·南昌调研)等比数列{an}中,a1＝1,a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63,求m.解(1)设数列{an}的公比为q,由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2,解得q＝0(舍去),q＝－2或q＝2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1,则Sn＝eq\f(1－(－2)n,3).由Sm＝63得(－2)m＝－188,此方程没有正整数解.若an＝2n－1,则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64,解得m＝6.综上,m＝6.11.(2020·北京适应性测试)已知{an}是公比为q的无穷等比数列,其前n项和为Sn,满足a3＝12,________.是否存在正整数k,使得Sk＞2020?若存在,求k的最小值;若不存在,请说明理由.从①q＝2,②q＝eq\f(1,2),③q＝－2这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解若选①,因为a3＝12,q＝2,所以a1＝3,则Sk＝eq\f(3(1－2k),1－2)＝3(2k－1).令Sk＞2020,即2k＞eq\f(2023,3).所以存在最小正整数k＝10使得Sk＞2020.若选②,因为a3＝12,q＝eq\f(1,2),所以a1＝48,则Sk＝eq\f(48×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2k))),1－\f(1,2))＝96eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2k))).令Sk＞2020,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)＜－eq\f(1924,96),又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)＞0恒成立,所以不存在正整数k使得Sk＞2020.若选③,因为a3＝12