第15讲 万有引力定律及其应用 -备战2025年高考物理一轮精细复习（解析版）

第第页第15讲万有引力定律及其应用——划重点之精细讲义系列考点1开普勒三定律的理解和应用考点2万有引力定律的理解考点3不能忽略自转的万有引力定律的应用考点4忽略自转的万有引力定律的应用考点1：开普勒三定律的理解和应用1．内容定律内容图示开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积开普勒第三定律所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.eq\f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量2．应用3.天体运动的处理方法（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。（3）开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。【考向1】（2024·江苏徐州·三模）战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道（）A．恒星都是静止不动的B．行星绕太阳做圆周运动C．行星绕太阳运行的速率不变D．各行星绕太阳运行的周期不同【答案】D【详解】A．恒星都是运动的。故A错误；B．根据开普勒第一定律可知行星绕太阳做椭圆运动。故B错误；C．根据开普勒第二定律可知行星绕太阳运行的速率与行星和太阳的距离有关。故C错误；D．根据开普勒第三定律可知，各行星绕太阳运行的周期不同。故D正确。故选D。【考向2】（2024·河南·一模）若两颗人造卫星M、N绕地球做匀速圆周运动，M、N到地心的距离之比为k，忽略卫星之间的相互作用。在时间t内，卫星M与地心连线扫过的面积为SM，卫星N与地心连线扫过的面积为SA．1 B．k C．1k2 【答案】D【详解】根据G可知v=则卫星在时间t内与地心的连线扫过的面积为S=则S故选D。【考向3】（2024·山东济南·三模）2024年3月20日，“鹊桥二号”中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空。如图所示，“鹊桥二号”临近月球时，先在周期为24小时的环月大椭圆冻结轨道Ⅰ上运行一段时间，而后在近月点P变轨，进入周期为12小时的环月大椭圆冻结轨道Ⅱ。已知轨道Ⅰ的近月点P距离月球表面的高度为ℎ1，远月点Q距离月球表面的高度为ℎ2，月球半径为R，31A．3ℎ2−2C．3ℎ2−3【答案】A【详解】在两个轨道上运动时，根据开普勒第三定律有(2R+解得ℎ=故选A。考点2：万有引力定律的理解1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。2．表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出。3．适用条件（1）公式适用于质点间的相互作用。（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。（3）不能得出：当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大。因为当r→04．对万有引力定律的理解：普适性万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一相互性两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上宏观性一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计5．万有引力与重力的关系如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为F=。而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)=mg。6.万有引力应用的解题思路7．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．8．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq\f(gR2,G)，天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.①由万有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．①利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。②区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。【考向4】如图1所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为R2的小球体（球心在OP连线上，右端位于O点），如图2所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（

A．78F B．716F C．【答案】C【详解】设球体的密度为ρ，球体的质量为M，可得M=ρ⋅则小球体的质量M球体对该质点的万有引力大小F=G故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小F解得F故选C。【考向5】（2024·河北·三模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来宇航员在月球（视为质量分布均匀的球体）表面以大小为v0的初速度竖直上抛一物体（视为质点），已知引力常量为G，月球的半径为R、密度为ρ。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的时间为（

A．2v03πρGR B．3v【答案】C【详解】设月球表面的重力加速度为g0G解得g根据竖直上抛运动的规律可知，落回月球表面的时间t=C正确。故选C。【考向6】（2024·湖北黄石·一模）电影中的太空电梯非常吸引人。现假设已经建成了如图所示的太空电梯，其通过超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转。图中配重空间站比同步空间站更高，P是缆绳上的一个平台。则下列说法正确的是（

）A．太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离的平方成反比B．超级缆绳对P平台的作用力方向背离地心C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动一边落向地球D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，且断裂处为椭圆的远地点【答案】B【详解】A．太空电梯上各点具有相同的角速度，根据a=可知，太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离成正比，故A错误；B．P平台如果只受地球万有引力，则圆周运动角速度比同步空间站要快，而实际圆周运动角速度等于同步空间站角速度，则在万有引力之外，P平台还受到缆绳拉力，故地球的引力与缆绳拉力提供P平台做圆周运动所需的向心力，P平台做圆周运动所需的向心力小于地球对它的万有引力，所以超级缆绳对P平台的作用力方向背离地心，故B正确；C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动一边偏离地球，做离心运动，故C错误；D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，其断裂处为椭圆的近地点，因为在近地点线速度较大，半径较小，需要的向心力更大，故D错误。故选B。【考向7】（多选）（2024·福建龙岩·三模）如图所示，嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火星的质量为月球质量的9倍，火星的半径为月球半径的2倍。假设月球、火星可视为质量均匀分布的球体，忽略其自转影响，则下列说法正确的是（）A．月球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为2：3B．月球的第一宇宙速度与火星的第一宇宙速度之比为2C．嫦娥五号绕月球转动的周期与天间一号绕火星转动的周期之比为3D．嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值与天问一号绕火星转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值相等【答案】BC【详解】A．在月球表面G解得g同理，可得g所以gA错误；B．在星球表面，可以认为重力为其圆周运动提供向心力，故有m解得v同理可得v所以vB正确；C．根据周期公式T=2πrTC正确D．开普勒第三定律是对于同一中心天体而言，嫦娥五号与天问一号圆周运动的中心天体不同，D错误。故选BC。【考向8】（多选）（2024·湖北黄石·三模）位于贵州的500米口径球面射电望远镜，其反射面相当于30个足球场的大小，灵敏度达到世界第二大望远镜的2.5倍以上，大幅拓展了人类的视野。射电望远镜观测到某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，B星的运行周期约为A星的22倍，A星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2倍，B星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的3倍。假设A、BA．A星受到行星的引力最大值与最小值之比为4:1B．B星受到行星的引力始终小于A星C．A星受到行星的引力最大值与B星受到行星的引力最小值之比为9:2D．B星轨迹近点到行星的距离小于A星轨迹远点到行星的距离【答案】AD【详解】A．已知A星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2倍，则根据万有引力定律可知，A星受到行星的引力最大值与最小值之比为4:1，故A正确；BC．由于卫星A、B的质量关系未知，所以无法判定两个卫星受到的引力大小关系，故BC错误；D．根据开普勒第三定律可得a整理得a由题可知21即B星轨迹近点到行星的距离小于A星轨迹远点到行星的距离，故D正确。故选AD。考点3：不能忽略自转的万有引力定律的应用1.不忽略地球自转的影响，地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图。①在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。②在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。③在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。2.物体在赤道上完全失重的条件设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态,即FN=0,有mg=mω2R所以完全失重的临界条件为(地球半径R=6400km)a=g=9.8m/s2，rad/s,,上述结果恰好是近地人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。3.地球不因自转而瓦解的最小密度地球以T=24h的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力,即根据质量与密度的关系,有所以,地球的密度应为即最小密度为ρmin=18.9kg/m3。地球平均密度的公认值为ρ0=5507.85kg/m3,足以保证地球处于稳定状态。【考向9】某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（

）A．GM6R3 B．GM12R3【答案】A【详解】设赤道处的重力加速度为g，物体在两极时万有引力等于重力，有G在赤道时万有引力可分解为重力和自转所需的向心力，则有G联立解得该行星自转的角速度为ω故选A。【考向9】“FAST精细刻画活跃重复快速射电暴”入选2022年度中国科学十大进展，这些快速射电暴极有可能处在超新星遗迹等环境中。假定地球的自转周期变为5000s时，则地表会缺少引力束缚而解体。若FAST检测到的周期为1ms的脉冲是由某种星体的自转所致，即该星的自转周期为1ms，地球的平均密度取5.5×10A．5×103kgC．1.4×1015kg【答案】D【详解】地表恰好缺少引力束缚时GMm该星体的密度为ρ=联立可得ρ=假设某种星体的自转的周期为1ms时，恰好未解体，此时其周期为地球自转周期的15000000，则其密度是地球的2.5×1013倍，即为1.375×1017故选D。【考向10】地球赤道表面上某质量为m的人用体重计测量体重，静止时体重计的示数为F．已知地球近地卫星的周期为T1，地球同步卫星的周期为T2．假设地球可视为质量分布均匀的球体，地球的自转不能忽略．则可计算出地球的半径为（A．F⋅T12C．F⋅T12【答案】A【详解】地球同步卫星的周期等于地球自转周期T2G对地球近地卫星G解得R=故选A。【考向11】甲、乙两位同学分别站在地球的南极和赤道上，用大小相等的初速度将一个小球竖直向上抛出，小球落回手中的时间之比为k，不计空气阻力。若已知地球密度为ρ，引力常量为G，则乙同学随地球自转的角速度大小为（）A．2(1−k)πGρ3 C．2kπGρ3 【答案】A【详解】设南极处的重力加速度为g0，小球落回手中的时间为t0，赤道处的重力加速度为g，小球落回手中的时间为tv所以g在南极，由万有引力提供重力有GMm在赤道，由万有引力提供小球的重力和小球随地球自转的向心力有GMm又ρ=联立以上各式可解得ω=2故选A。【考向12】（多选）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R，地球北极表面附近的重力加速度为g，引力常量为G，地球质量为M，则地球的最大自转角速度ω为（）A．2πGMR3 B．GMR3 【答案】BC【详解】AB．设地球赤道上有一质量为m的物体，要维持该物体随地球一起以最大角速度ω转动，则物体与地球之间的万有引力提供自转所需的向心力，则有G解得ω=A错误，B正确；CD．在地球北极表面附近有G则有GM=gR2解得ωC正确，D错误。故选BC。考点4：忽略自转的万有引力定律的应用由于地球自转缓慢，向心力很小，所以在一般计算中只要题目不强调自转不可忽略或者提及赤道两极的重力加速度不一样，则可认为重力近似等于万有引力，重力方向竖直向下（即指向地心）。忽略地球自转影响，即mg＝Geq\f(Mm,R2)。可得：①地球表面重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，距地面高h处重力加速度g′＝。有eq\f(g,g′)＝。②某深度处的重力加速度：推论1在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF引＝0推论2在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)举个栗子假想有一个深度为h的矿井，其底部的重力加速度为g”，则由mg＝Geq\f(Mm,R2)①，②，③，可得【考向13】假设地球是半径为R、质量分布均匀的球体。一飞机离地面的高度为d，飞机所在高度的重力加速度大小为g1；一矿井深度也为d，矿井底部的重力加速度大小为g2。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则A．R3(R+d)2C．(R−d)2(R+d)2【答案】A【详解】设地球的质量为M，在飞机上质量为m的物体有mg1=G以地球中心为球心、以R-d为半径的球体质量M'=则矿井底部质量为m的物体有mg2=G联立可得g故选A。【考向14】如图所示，假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox。则在x轴上各位置的重力加速度g随x的变化关系图正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】令地球的密度为ρ，当x≥R时，地球可被看成球心处的质点，则有GMm由于地球的质量为M=所以重力加速度为g=根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为R-x的位置，受到地球的万有引力即为半径等于x的球体在其表面产生的万有引力，即g当r＜R时，g与x成正比，当r＞R后，g与x平方成反比。故选A。【考向15】（2024·山西·一模）2023年，神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”！已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为d(10909m)，空间站离地面的高度为ℎ(400km)。假设地球质量分布均匀，半径为R，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，则深度为A．(R−d)(R+ℎ)2RC．R+dR−ℎ2 【答案】A【详解】设质量为m1G又M质量为m2G解得马里亚纳海沟底处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为g故选A。【考向16】（2023·河南开封·三模）假定月球为质量分布均匀的球体，其半径为R，在月球表面测得重力加速度为g0，设g为距离月球表面高度为ℎ时的重力加速度．当ℎ比R小得多时，g和g0的关系式近似为（）[当x≪1时，数学近似公式为A．g=g01+C．g=g01【答案】D【详解】物体在月球表面时，有GMm物体距离月球表面高度为ℎ时，有GMm联立可得g可得g=故选D。【考向17】（多选）（2023·辽宁大连·二模）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O′为隧道的中点，O′与地心O的距离为ℎ=32R，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，PA．列车在隧道中A点的合力大小为mgB．列车在P点的重力加速度小于gC．列车在P点的加速度a=D．列车在P点的加速度a=【答案】BD【详解】A．列车在隧道中A点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支持力，如图所示则有F合=GMmR解得FA错误；B．由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，则在P点有G由于质量均匀分布，则有M解得gB正确；CD．令∠POO'=α，根据上述，则有GMP解得gC错误，D正确。故选BD。【真题1】（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（）A．a处最大 B．b处最大 C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小【答案】A【详解】根据万有引力公式F可知图中a处单位质量的海水收到月球的引力最大；故选A。【真题2】（2024·全国·高考真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的16A．在环月飞行时，样品所受合力为零B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小【答案】D【详解】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A错误；BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的16C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。故选D。【真题3】（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（）A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍【答案】B【详解】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有GG联立可得M由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得M故选B。【真题4】（2023·浙江·高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1:2:4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（

A．木卫一轨道半径为n16r C．周期T与T0之比为n32 【答案】D【详解】根据题意可得，木卫3的轨道半径为rAB．根据万有引力提供向心力G可得R=木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1:2:4,可得木卫一轨道半径为r木卫二轨道半径为r故AB错误；C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；D．根据万有引力提供向心力，分别有GG联立可得M故D正确。故选D。【真题5】（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（）A．3π(1+k)3GT2k3 B．【答案】D【详解】设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力G月球的体积V=月球的平均密度ρ=联立可得ρ=故选D。【真题6】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（）A．r3a3 B．a3r3【答案】D【详解】“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律a同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律r又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以M联立可得M故选D。一、单选题1．（2023·浙江温州·二模）《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为2.5kg的物体重力为16N。已知地球半径为6371km，不考虑地球自转，则此时太空电梯距离地面的高度约为（

）A．1593km B．3584km C．7964km D．9955km【答案】A【详解】设地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球表面重力加速度为g0，太空电梯离地高度为h，太空电梯所在位置处的重力加速度为g’，根据万有引力公式有G代入数据有G整理得R所以太空梯距离地面高度为ℎ=故选A。2．如图所示，从一质量为M、半径为2R的均匀球体的球心O处挖出一半径为R的小球，将其移至两球面相距R处，已知引力常量为G，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为（）

A．7GM21024R2 B．7GM【答案】A【详解】大球剩余部分和小球的质量之比为m质量之和为m所以大球剩余部分和小球的质量分别为mm所以二者之间的万有引力大小为F=G故选A。3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）中子星是目前发现的除黑洞外密度最大的星体，设中子星的密度为ρ，半径为r，由于自转而不瓦解的最小周期为T0。则不同的中子星（

A．ρ越大，T0一定越小 B．ρ越大，TC．r越大，T0一定越小 D．r越大，T【答案】A【详解】中子星不瓦解是由于星球表面的物体所受到的引力大于或等于自转所需的向心力，即GM=ρ⋅解得T≥所以TAB．ρ越大，T0CD．T0与r故选A。4．（2024·吉林·二模）如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨道为椭圆，哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986年，预计哈雷彗星下次回归到近日点将在2061年。已知椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离是地球公转轨道半径R的0.6倍，则椭圆轨道远日点到太阳的距离为345A．17.2R B．17.8R C．35R D．36R【答案】C【详解】地球绕太阳公转的周期T为1年，哈雷彗星的周期T1为T1=2061年－1986年=75年根据开普勒第三定律得a解得a得a=17.8R又近日点到远日点的距离为2a，已知近日点到太阳中心距离为0.6R，故d故选C。5．人类发现并记录的首颗周期彗星——哈雷彗星在2023年12月初抵达远日点后开始掉头，踏上归途。哈雷彗星是人一生中唯一可能裸眼看见两次的短周期彗星，因英国物理学家爱德蒙·哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名。已知哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，如图所示为地球、哈雷彗星绕太阳运动的示意图，哈雷彗星轨道是一个很扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球的公转轨道可视为半径为A．在近日点与远日点的速度大小之比为rB．在近日点与远日点的加速度大小之比为rC．哈雷彗星大约将在2071年左右再次离太阳最近D．哈雷彗星的轨道参数与地球轨道参数间满足r【答案】B【详解】A．根据开普勒第二定律，取时间微元Δt1解得vA错误；B．在近日点时，由牛顿第二定律可得GMm在远日点时，由牛顿第二定律可得GMm联立解得aB正确；C．由题中信息可知，哈雷彗星将在2023+(76÷2)=2061年左右回到近日点，C错误；D．根据开普勒第三定律a得a则有a=又半长轴a=则rD错误；故选B。6．（2024·陕西宝鸡·三模）人类视月球与火星是地球的“卫士”和“兄弟”，从未停止对它们的探测。已知月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为g，轨道半径是地球半径的a倍；火星表面重力加速度是地球表面重力加速度的b倍。科研人员在火星水平表面的发射架上水平发射一小球，发射点高为h，测得发射点与落点间的水平距离是2h，不计火星表面的大气阻力，则发射小球的初速度大小是（）A．a2bgℎ B．b2agℎ C．2agℎb【答案】A【详解】设地球的半径为R,地球的质量为M,表面的重力加速度为g'r=aR根据万有引力定律及牛顿第二定律可知GG解得g所以火星表面的重力加速度g在火星表面将物体水平抛出，由抛体运动的规律可知ℎ=2ℎ=联立上述各式可得v故选A。7．哈雷彗星是人类首颗有记录的周期彗星，也是唯一能裸眼直接从地球看见的短周期彗星。科学家观察到哈雷彗星于2023年12月9日飞过远日点，预计2061年7月28日飞过近日点，到时能够再一次观察到壮观的天文现象。已知地球到太阳的距离为1AU（AU为天文单位），哈雷彗星的近日点到太阳的距离为0.9AU，则它的远日点到太阳的距离约为（）A．18AU B．27AU C．35AU D．41AU【答案】C【分析】考查目标本题考查了开普勒第三定律，考查考生的推理能力和科学思维、科学态度与责任【详解】根据题中提供的信息可知，哈雷彗星的周期T约为76年，设哈雷彗星的半长轴为r，地球绕太阳运行的周期T0=1年，轨道半径r可得r=17.9由于2r=近距离d1=0.9AU，解得远日点到太阳的距离约为d故选C。8．（2024·天津河东·二模）2024年2月9日农历除夕，神舟十七号3名航天员在中国空间站里贴春联、挂灯笼、系中国结，并通过视频向祖国和人民送上新春祝福。已知空间站绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g，下列说法正确的是（

）A．空间站的运行速度大于第一宇宙速度B．根据题中所给物理量无法计算出地球的密度C．空间站离地面的高度为3D．春联和中国结处于完全失重状态，不受任何力的作用【答案】C【详解】A．根据万有引力提供向心力G可得v=可知当卫星贴近地球表面运动时的速度最大即为第一宇宙速度，可知空间站的运行速度小于第一宇宙速度，故A错误；B．物体在地面表面受到的万有引力等于重力，则有GMm可得M=又M=ρ⋅联立可得地球的密度为ρ=故B错误；C．空间站绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得GMm可得ℎ=故C正确；D．春联和中国结处于完全失重状态，受到地球的万有引力提供绕地球转动所需的向心力，故D错误。故选C。9．（2024·安徽·三模）2024年3月25日0时46分，我国成功利用长征运载火箭将“鹊桥二号”中继星送入环月轨道飞行，该中继星进入周期为T的环月大椭圆使命轨道，按计划开展与“嫦娥四号”和“嫦娥六号”的通信测试。如图是中继星环绕月球的示意图，其中P点为近月点，与月球表面距离为r1，Q点为远月点，与月球表面距离为r2，M、N为椭圆的短轴点，月球半径为R，万有引力常量为A．该中继星在P点时机械能最大B．该中继星沿MPN运动时间等于沿NQM运动时间C．月球表面重力加速度g=D．月球的质量M=【答案】D【详解】A．由于中继星在该轨道上无动力飞行，仅受万有引力，故其机械能守恒，A错误；B．由于中继星在近月点P附近速率较大，MPN与NQM路程相同，故MPN阶段时间较少，B错误；CD．由开普勒第三定律与天体圆周运动的规律可得rk=GM解得M=g=C错误，D正确。故选D。10．工程上经常利用“重力加速度法”探测地下矿藏分布，可将其原理简化，如图所示，P为某地区水平地面上一点，如果地下没有矿物，岩石均匀分布、密度为ρ，P处的重力加速度（正常值）为g；若在P点正下方一球形区域内有某种矿物，球形区域中矿物的密度为12ρ，球形区域半径为R，球心O到P的距离为L，此时P处的重力加速度g′相比P处重力加速度的正常值g会偏小，差值δ=g−A．若球心O到P的距离变为2L，则“重力加速度反常值”变为12B．若球形区域半径变为12R，则“重力加速度反常值”变为1C．若球形区域变为一个空腔，即“矿物”密度为0，则“重力加速度反常值”变为4δD．若球形区域内为重金属矿物，矿物密度变为32ρ，则“重力加速度反常值”变为－3【答案】B【详解】A．如果将近地表的球形区域中的黄金矿石换成普通的密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩石的基础上减去一个密度为12M=的球引起的，该减去的球对P点一质量为m的质点产生的附加加速度为ΔgG此时P处的重力加速度g′相比P处重力加速度的正常值g会偏小，差值δ=g−可称为“重力加速度反常值”，故δ=若球心O到P的距离变为2L，则“重力加速度反常值”变为G故A错误；B．若球形区域半径变为12R，则重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩石的基础上减去一个密度为1M的球引起的，此时“重力加速度反常值”变为G故B正确；C．若球形区域变为一个空腔，则重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩石的基础上减去一个密度为ρ、质量为M的球引起的，即“矿物”密度为0，则“重力加速度反常值”变为G故C错误；D．若球形区域变为重金属矿物，矿物密度变为32ρ，，则重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩石的基础上增加加一个密度为ρM的球引起的，即“矿物”密度为32ρ−G故D错误。故选B。11．（2021·黑龙江哈尔滨·二模）一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为（）A．T0T B．TT0 C．【答案】D【详解】对近地卫星，有GM=联立得ρ考虑地球赤道处一小块质量为m0的物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有GM=联立得ρ所以ρ故D正确ABC错误。故选D。12．有科学家正在研究架设从地面到太空的“太空梯”。若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到h高度处，恰好会感到自己“漂浮”起来。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则地球自转角速度为（）A．gR(R+ℎ)3 B．gR2(R+ℎ)3【答案】B【详解】在地面万有引力等于重力G当人感到自己“漂浮”起来，为完全失重，万有引力全部提供做向心力有G联立解得ω=故B正确，ACD错误。故选B。13．（2021·新疆·一模）假设天体是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图，O为地面上的点，用d表示离地面深度，h表示离地面高度，则各点的重力加速度g随d、h变化的图像正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】AB．设天体密度为ρ，半径为R。则在天体内部有g=G可知，g随d增加而均匀减小。故A正确，B错误；CD．在天体外部有g=可知，g与该点到球心的距离的平方成反比。故CD错误。故选A。14．（2023·湖南怀化·一模）12月10日，改编自刘慈欣同名系列长篇科幻小说的《三体》动画在哔哩哔哩上线便备受关注。动画版《三体》总编剧之一赵佳星透露，为了还原太空电梯的结构，他们研究太空电梯的运行原理。太空电梯的原理并不复杂，与生活的中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，在引力和向心加速度的相互作用下，绳索会绷紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为r的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站a，相对地球静止，卫星b与同步空间站a的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间t之后，a、b第一次相距最远。已知地球半径R，自转周期T，下列说法正确的是（）A．太空电梯各点均处于完全失重状态B．b卫星的周期为2TtC．太空电梯停在距地球表面高度为2R的站点，该站点处的重力加速度g=D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比【答案】B【详解】A．太空电梯各点随地球-起做匀速圆周运动，只有位置达到同步卫星的高度的点才处于完全失重状态，故A错误；B．同步卫星的周期为T当两卫星a、b第一次相距最远时满足2πt解得T故B正确；C．太空电梯长度即为同步卫星离地面的高度，根据万有引力提供向心力GMm太空电梯停在距地球表面高度为2R的站点，太空电梯上货物质量为m，在距地面高2R站点受到的万有引力为F，则F=货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为FNF−在货梯内有Fω=2π解得g=故C错误；D．太空电梯相对地球静止，各点角速度相等，各点线速度v=ω与该点离地球球心距离成正比，故D错误。故选B。二、多选题15．（2024·福建泉州·二模）北斗卫星导航系统中的MEO卫星为中圆轨道卫星，利用引力常量G和下列数据，能计算出地球质量的是（）A．MEO卫星绕地球的轨道半径和线速度B．MEO卫星绕地球的轨道半径和运行周期C．地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球的线速度D．地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球的轨道半径【答案】AB【详解】AB．根据万有引力提供向心力有G所以M=v2由此可知，若已知卫星绕地球的轨道半径和线速度或者已知轨道半径和运行周期均可以计算出地球的质量，故AB正确；CD．根据万有引力与重力的关系G可得M=由此可知，地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球