高中数学 3.4生活中的优化问题举例活页训练 湘教版选修1-1

【创新设计】-学年高中数学3.4生活中的优化问题举例活页训练湘教版选修1-1eq\a\vs4\al\co1(基础达标限时20分钟)1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 ()．A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件解析令y′＝－x2＋81＝0，得x1＝－9(舍去)，x2＝9.注意当x∈(－9,9)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，所以x＝9是函数的极大值点，故选C.答案C2．已知一矩形内接于半径为R的半圆，则矩形周长最大时的边长为 ()．A.eq\f(R,2)和eq\f(3R,2) B.eq\f(\r(5)R,5)和eq\f(4\r(5)R,5)C.eq\f(4R,5)和eq\f(7R,5) D.eq\f(4R,5)和eq\f(4\r(5)R,5)解析如图，设∠COB＝α，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则矩形的边长分别为Rsinα和2Rcosα，则周长l＝2(Rsinα＋2Rcosα)＝2R(sinα＋2cosα)．由l′＝2R(cosα－2sinα)＝0，得cosα＝2sinα，解得cosα＝eq\f(2,\r(5))，sinα＝eq\f(1,\r(5)).又函数l＝2R(sinα＋2cosα)为单峰函数，故边长分别为eq\f(\r(5)R,5)和eq\f(4\r(5)R,5)，故选B.答案B3．制作一个母线长为20cm的圆锥形漏斗，要使其体积最大，则其高应为 ()．A.eq\f(20\r(3),3)cm B．100cmC．20cm D.eq\f(20,3)cm解析设高为hcm(0<h<20)，圆锥的底面半径为r，则r2＝400－h2，则V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(400－h2)h＝eq\f(1,3)π(400h－h3)，所以V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)＝0，解得h＝eq\f(20\r(3),3)，故选A.答案A4．将正数a分解为两个正数的和，使这两个正数的立方和为最小，则这两个正数分别为________和________．解析设所分成的两个整数为x和a－x(0<x<a)，则它们的立方和为y＝x3＋(a－x)3.令y′＝3x2－3(a－x)2＝0得x＝eq\f(a,2).又函数y＝x3＋(a－x)3为单峰函数，故两个正数的立方和为最小时，这两个正数都等于eq\f(a,2).答案eq\f(a,2)eq\f(a,2)5．设气球以每秒36πcm3的常速注入气体，假设气体压力不变，那么在8秒末气球半径的增加速度为________．解析设在t时刻气球的半径为r(t)，体积为V，则V＝eq\f(4,3)πr3(t)＝36πt，所以，把t＝8代入，得r′(t)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)cm/s6．用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为eq\f(14.8－4x－4x＋0.5,4)＝(3.2－2x)(m)．由3.2－2x>0和x>0，得0<x<1.6.设容器的容积为ym3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)．整理，得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x.∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0.解得x1＝1或x2＝－eq\f(4,15)(不合题意，舍去)．从而在定义域(0,1.6)内，只有在x＝1处使得y′＝0.因此，当x＝1时，y取得最大值且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 ()．A．150 B．200C．250 D．300解析总利润P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,90090－100x－20000，x>390，))由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.答案D8．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的容积最大时底面边长为 ()．A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．1 D.eq\f(4,3)解析设切去四边形后正六边形的边长为x，则正六棱柱的高为eq\f(\r(3),2)(1－x)，体积V＝eq\f(9,4)x2(1－x)，V′＝eq\f(9,4)(2x－3x2)＝eq\f(9,4)x(2－3x)，当x＝eq\f(2,3)时，Vmax＝eq\f(1,3).故选B.答案B9．建造一个总体积一定的圆柱形锅炉，若两个底面的材料每单位面积的造价为a元，侧面的材料每单位面积的造价为b元，当造价最低时，锅炉的直径与高的比值为________．解析设锅炉的底面半径为r，高为h，则体积为V＝πr2h.总造价P＝2πr2·a＋2πrh·b＝2πar2＋eq\f(2bV,r)(r>0)．令P′＝4πar－eq\f(2bV,r2)＝0，得r3＝eq\f(bV,2πa)，又V＝πr2h，所以r3＝eq\f(bπr2h,2πa)＝eq\f(br2h,2a)，所以eq\f(2r,h)＝eq\f(b,a).故填eq\f(b,a).答案eq\f(b,a)10．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝eq\f(梯形的周长2,梯形的面积)，则S的最小值是________．解析设剪成的小正三角形的边长为x，则S(x)＝eq\f(3－x2,\f(1,2)·\f(\r(3),2)·1－x2)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(3－x2,1－x2)(0<x<1)．所以S′(x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(2x－6·1－x2－3－x2·－2x,1－x22)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(－23x－1x－3,1－x22).令S′(x)＝0(0<x<1)，得x＝eq\f(1,3).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))时，S′(x)<0，递减；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))时，S′(x)>0，递增，故当x＝eq\f(1,3)时，S的最小值是eq\f(32\r(3),3).答案eq\f(32\r(3),3)11．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.则a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，∴当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′(x)＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′(x)>0，当x∈(20,30)时，V′(x)<0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包装盒的高与底面边长之比为eq\f(1,2).12．(创新拓展)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形按照设计要求容器的容积为eq\f(80π,3)立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半圆形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V.则V＝πr2l＋eq\f(4,3)πr3，又V＝eq\f(80,3)π，∴l＝eq\f(V－\f(4,3)πr3,πr2)＝eq\f(80,3r2)－eq\f(4,3)r＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r)).由于l≥2r，∴0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πreq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r))×3＋4πr2c.即y＝4π(c－2)r2＋eq\f(160π,r)，该函数定义域为{r|0＜r≤2}．(2)由(1)知y′＝8π(c－2)r－eq\f(160π,r2)＝eq\f(8πc－2,r2)(r3－eq\f(20,c－2))，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0，当r3－eq\f(20,c－2)＝0时，r＝3eq\r(\f(20,c－2)).当0<3eq\r(\f(20,c－2))<2，即c>eq\f(9,2)时，时，y′<0，r∈eq\b\lc\(\rc\)