高中数学 1-4计数应用题规范训练 苏教版选修2-3

1.4计数应用题eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．4名不同科目的实习教师被分配到三个班级，每班至少有一人的不同分法有________．解析将4名教师分三组，然后全排列分配到不同的班级，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)．答案36种2．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和复数，则可以组成________个不同的对数值．解析Ceq\o\al(2,8)＝56，又log24＝log39，又log39＝log24，log23＝log49，log49＝log23所以可以组成52个对数值．答案523．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________．解析分两类：第一类，每个城市只能投资一个项目，共有Aeq\o\al(3,5)种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,4)种方案．由分类加法计数原理得共有Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,4)＝120(种)方案．答案1204．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有________．解析排除法：从反面考虑：Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,4)＝6×6－6＝30.答案305．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，有1,2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答)．解析(1)当有1名老队员时，其排法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)；(2)当有2名老队员时，其排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝12(种)，∴共有36＋12＝48(种)．答案486．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有Ceq\o\al(3,18)＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有Ceq\o\al(5,18)＝8568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,18)＋Ceq\o\al(3,18)＝6936(种)；(4)法一(直接法)至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(1,8)＝14656(种)．法二(间接法)由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得Ceq\o\al(5,20)－(Ceq\o\al(5,12)＋Ceq\o\al(5,8))＝14656(种)．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．解析分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)＝144(种)．(2)四位数中如果没0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝180(种)．故符合题意的四位数共有144＋180＝324(种)．答案3248．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．解析依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参加．因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其余两人从事其他三项工作，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种方案；(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车，其余三人从事其他三项工作，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)种方案，所以不同安排方案的种数是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝126.答案1269．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________．解析先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,4)种排法，再从中排除甲站两端的排法，∴所求排法种数为Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,3)·(Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)－2Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3))＝6×(6×12－24)＝288.答案28810．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有Ceq\o\al(1,4)种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种方法，这时共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有Ceq\o\al(2,4)种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有Aeq\o\al(3,3)种方法，这时共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种参加方法；综合(1)(2)，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180(种)参加方法．答案18011．4位参加辩论比赛的同学，比赛规则是：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题做答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同得分情况？解分两类：第一类四位同学中有两人选甲，两人选乙，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24(种)不同的情况；第二类四位同学中都选甲或都选乙，有2Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝12(种)不同的情况．共有24＋12＝36(种)不同的情况．12．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解(1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)(种)测法，再排余下4件的测试位置，有Aeq\o\al(4,4)种测法．所以共有不同排法Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以不同测试方法共有Aeq\o\al(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,6)·C\o\al(3,3)))Aeq\o\al(4,4)＝576(种)．13．(创新拓展)如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.则：(1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？(2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？解(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有Ceq\o\al(4,6)个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,6)个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,6)个四边形．故满足条件的四边形共有N＝Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\