北师版八上数学专题4 一次函数在图形中的应用（课件）

第四章一次函数专题4一次函数在图形中的应用数学八年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS

⦾问题综述一次函数是初中阶段所接触的第一种初等函数，体现了数

形结合的数学思想，在中考中是重要的考点.在解决问题时，除

了一些基础的问题，例如点的坐标、字母系数的取值及取值范

围，还常常涉及面积问题、最值问题等综合性较强的问题.我们

要掌握常见的解题方法，化繁为简，达到事半功倍的效果.⦾要点归纳1.

边在坐标轴上或边与坐标轴平行的三角形，叫做坐标三角

形.2.

一般三角形的面积问题

坐标三角形的面积问题.3.

四边形的面积问题

坐标三角形的面积问题.4.

求坐标系中三角形面积的方法：补、割、移.数学八年级上册BS版02典例讲练

类型一

一次函数与坐标三角形的面积问题

已知一次函数

y1＝

k1

x

－4（

k1≠0）和一次函数

y2＝4

x

＋

b

与坐标轴围成的三角形的面积都是24，求这两个一次函数的表

达式.【思路导航】先分别求出一次函数的图象与坐标轴的交点坐

标，再根据三角形的面积公式求解即可.

【点拨】已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，求一次

函数的表达式时，先设出一次函数的表达式，再用待定字母表

示出直线与两坐标轴的交点坐标（这一步要考虑直线与

x

抽、

y

轴相交时的位置的不同情况），然后利用已知三角形的面积求

出待定字母的值，最后代回所设的一次函数的表达式即可.

已知四条直线

y

＝

kx

－3，

y

＝－1，

y

＝3，

x

＝1所围成的四边

形的面积是12，求

k

的值.

显然四边形

ABCD

是梯形，且梯形的高是4，根据梯形的面积是

12，则梯形的上、下底的和是6.类型二

由面积关系求点的坐标

如图1，在平面直角坐标系中，已知直线

l1：

y

＝

x

＋1与

x

轴

交于点

A

，直线

l2：

y

＝3

x

－3与

x

轴交于点

B

，与

l1相交于点

C

.

（1）写出点

A

，

B

，

C

的坐标：

A

，

B

⁠

，

C

⁠.（－1，0）

（1，

0）

（2，3）

图1图2（2）如图2，动直线

x

＝

t

分别与直线

l1，

l2交于

P

，

Q

两点.①若

PQ

＝2，求

t

的值.②是否存在点

Q

，使得

S△

AQC

＝2

S△

ABC

？若存在，请求出此时

点

Q

的坐标；若不存在，请说明理由.【思路导航】（1）根据一次函数与一元一次方程的关系求解；

（2）①先用

t

表示点

P

，

Q

的坐标，再列方程求解；②先分类

讨论，再列方程求解.（1）【解析】对于直线

l2：

y

＝3

x

－3，令

y

＝3

x

－3＝0，解得

x

＝1，故点

B

的坐标为（1，0）.对于

l1：

y

＝

x

＋1，同理可

得，点

A

的坐标为（－1，0）.由3

x

－3＝

x

＋1，解得

x

＝2.则

y

＝3

x

－3＝3.故点

C

的坐标为（2，3）.故答案为（－1，0），

（1，0），（2，3）.（2）解：①点

P

在直线

l1上，则设点

P

（

t

，

t

＋1），同理点

Q

（

t

，3

t

－3），则

PQ

＝｜

t

＋1－3

t

＋3｜＝2，解得

t

＝1或

t

＝3.②存在.理由如下：当

t

＜2时，

BQ

＝

BC

，可得点

Q

的坐标为（0，－3）；当

t

＝2时，△

AQC

不存在；当

t

＞2时，

CQ

＝2

BC

，所以点

Q

的纵坐标为9.当

y

＝9时，9＝3

x

－3，解得

x

＝4.所以点

Q

的坐标为（4，9）.综上所述，存在点

Q

，使得

S△

AQC

＝2

S△

ABC

，点

Q

的坐标为

（0，－3）或（4，9）.【点拨】在涉及面积问题时要结合图形具体分析，这样考虑更

全面，解题更简单.

如图，在平面直角坐标系中，已知点

O

为坐标原点，直线

AB

分

别与

x

轴、

y

轴交于点

A

（5，0），

B

（0，5），动点

P

的坐标

为（

a

，

a

－1）.（1）求直线

AB

的函数表达式；解：（1）设直线

AB

的函数表达式为

y

＝

kx

＋

b

（

k

≠0）.由题意，得

b

＝5，5

k

＋

b

＝0.所以

k

＝－1.所以直线

AB

的函数表达式为

y

＝－

x

＋5.

答图（2）连接

AP

，若直线

AP

将△

AOB

的面积分成相等的两部分，

求此时点

P

的坐标.

类型三

一次函数图象的平移问题

已知一次函数

y

＝

kx

＋

b

（

k

，

b

为常数，且

k

≠0）的图象

过点（3，2）和（0，－4），交

x

轴于点

A

，交

y

轴于点

B

.

（1）求一次函数的表达式.（2）规定：横、纵坐标都为整数的点为整点；该一次函数的图

象与

y

＝

x

的图象及

y

轴围成的区域（不含边界）称为区域

W

.

①求区域

W

中整点的个数；②将一次函数

y

＝

kx

＋

b

的图象至少向上平移多少个单位长度，

才能使得区域

W

中整点的个数为0？【思路导航】（1）根据待定系数法可以求得该函数的表达式；

（2）①求两直线的交点坐标，分析可得整点的个数；②设出平

移后的直线的表达式，把对应点代入后求得平移的距离.解：（1）根据题意，得

b

＝－4，3

k

＋

b

＝2.所以

k

＝2.所以一次函数的表达式为

y

＝2

x

－4.（2）①令2

x

－4＝

x

，解得

x

＝4.当

x

＝4时，

y

＝4.所以两直线的交点坐标为（4，4）.画出函数

y

＝

x

和

y

＝2

x

－4的图象如图所示.分析可知区域

W

内的整点有（1，－1），（1，0），（2，1），共3个.故区域

W

内的整点有3个.②当平移后的直线经过点（1，0）时，区域

W

内有0个整点.设平移后的直线的函数表达式为

y

＝2

x

＋

n

.把（1，0）代入，得0＝2＋

n

，解得

n

＝－2.所以－2－（－4）＝2.所以将一次函数

y

＝

kx

＋

b

的图象至少向上平移2个单位长度，

才能使得区域

W

中整点的个数为0.【点拨】对于此类题目通常需要结合图象进行解题，所以准确

作出图象是解题的关键.

（2）当

x

≥－4时，对于

x

的每一个值，函数

y

＝

mx

（

m

≠0）

的值都大于一次函数

y

＝

kx

＋

b

的值，求

m

的取值范围.

类型四

一次函数与图形的综合问题

如图1，已知直线

AB

分别交平面直角坐标系中

x

轴和

y

轴于

A

，

B

两点，点

A

的坐标为（－3，0），点

B

的坐标为（0，6），点

C

在直线

AB

上，且点

C

的坐标为（－

a

，

a

）.（1）求直线

AB

的函数表达式和点

C

的坐标；（2）点

D

是

x

轴上的一动点，当

S△

AOB

＝

S△

ACD

时，求点

D

的坐标；（3）如图2，点

E

坐标为（0，－1），连接

CE

，点

P

为直线

AB

上一点，且∠

CEP

＝45°，求点

P

的坐标.图1图2备用图【思路导航】（1）求出直线

AB

的函数表达式，再将点

C

（－

a

，

a

）代入表达式即可求出点

C

的坐标；（2）求出

AD

，即可

求得点

D

的坐标；（3）分两种情况讨论：①当点

P

在射线

CB

上时，②当点

P

在射线

CA

上时分别求出点

P

的坐标.解：（1）设直线

AB

的函数表达式为

y

＝

kx

＋

b

（

k

≠0）.因为

A

（－3，0），

B

（0，6），所以

b

＝6，－3

k

＋

b

＝0.所以

k

＝2.所以直线

AB

的函数表达式为

y

＝2

x

＋6.因为点

C

（－

a

，

a

）在直线

AB

上，所以

a

＝－2

a

＋6，解得

a

＝2.所以点

C

的坐标为（－2，2）.

（3）①如图1，当点

P

在射线

CB

上时，过点

C

作

CF

⊥

CE

交直

线

EP

于点

F

.

因为∠

CEF

＝45°，所以

CE

＝

CF

.

过点

C

作

x

轴的垂线

l

，分别过点

F

，

E

作

FM

⊥

l

，

EN

⊥

l

，所以∠

FMC

＝∠

CNE

＝90°，∠

MCF

＋∠

MFC

＝90°.因为

CF

⊥

CE

，因为∠

MCF

＋∠

NCE

＝90°.所以∠

MFC

＝∠

NCE

.

所以△

FMC

≌△

CNE

（AAS）.图1所以

FM

＝

CN

＝3，

CM

＝

EN

＝2，即点

F

的坐标为（1，4）.设直线

EF

的函数表达式为

y

＝

mx

＋

n

（

m

≠0），由题意，得

n

＝－1，

m

＋

n

＝4.所以

m

＝5.所以直线

EF

的函数表达式为

y

＝5

x

－1.

②如图2，当点

P

在射线

CA

上时，过点

C

作

CH

⊥

PE

交直线

PE

于点

H

，过点

H

作

HK

⊥

y

轴于点

K

，过点

H

作

GH

⊥

x

轴，过点

C

作

CG

⊥

GH

于点

G

.

因为∠

GHK

＝∠

CHE

＝90°，所以∠

CHG

＋∠

CHK

＝∠

CHK

＋∠

EHK

.

所以∠

CHG

＝∠

EHK

.

因为∠

CEP

＝45°，所以

CH

＝

HE

.

所以△

CHG

≌△

EHK

（AAS）.图2

【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象

及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键.

如图，直线

AB

：

y

＝

x

－2与

x

轴交于点

A

，与

y

轴交于点

B

，点

C

是线段

AB

上一点（不与点

A