2025高考数学一轮复习5.4复数【课件】

第五章平面向量、复数第4节复数ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1(1)定义：我们把集合____＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的_____，b叫做复数z的_____

(i为虚数单位).(2)分类：1.复数的有关概念

满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔________a＋bi为虚数⇔________a＋bi为纯虚数⇔________________C实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔________________

(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__________________

(a，b，c，d∈R).a＝c且b＝da＝c，b＝－d2.复数的几何意义(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.3.复数的运算×解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(

) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(

) (3)原点是实轴与虚轴的交点.(

) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(

)×√√D2.在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝(

) A.1

B.i C.1－i D.1＋iAA.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1.1解析因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.6.(易错题)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于________.2KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2所以实部为b，虚部为－2，故b的值为－2，故选A.A对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；对于D，z的共轭复数为1＋i，错误.ABC对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，3.(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(

)ABC对于D，若z1＝1，z2＝i，∴x＝－1.4.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________.－1D解析因为iz＝4＋3i，(2)设iz＝4＋3i，则z＝(

)A.－3－4i

B.－3＋4iC.3－4i

D.3＋4iC可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.C训练1(1)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(

)B解析因为z＝2－i，CACA(2)已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为(

)解析因为z＝a＋(a－1)i，BA.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为－1C.z＝4D.满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上所以复数z1在复平面内对应的点是(－1，－1)，位于第三象限，所以A正确；AB复数z1的虚部为－1，所以B正确；D解析z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，B解析由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，D例3

已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根. (1)求实数a，b的值；解

把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.解

由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴x2＝－1－i是方程的另一个根.所以3－4i的平方根为±(2－i)，训练3

在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.

解

因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，

所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.即原方程的根为x1＝1，x2＝－1＋i.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析法一因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.法二因为(1＋ai)i＝3＋i，1.已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(

) A.－1

B.1 C.－3 D.3CCD解析z＝i(a－i)＝1＋ai表示的点为(1，a)，因为a＜0，所以点(1，a)位于第四象限.4.复平面内表示复数z＝i(a－i)(a＜0)的点位于(

) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限DA解析因为满足|z－i|＝|z＋i|的点Z为复平面内到点(0，－1)和(0，1)的距离相等的点的集合，所以Z(x，y)的轨迹为x轴，其方程为y＝0.6.设复数z满足|z－i|＝|z＋i|，i为虚数单位，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论一定正确的是(

) A.x＝1

B.y＝1 C.x＝0

D.y＝0DAD解析(1)当根为实数时，将x＝1代入原方程得a2＋2a＋2＝0，无解；8.如果关于x的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a的值(

) A.不存在 B.有一个

C.有三个 D.有四个C(2)当根为虚数时，Δ＝a(a＋8)＜0，∴－8＜a＜0.即a2－a－2＝0.解得a＝－1或a＝2(舍去)，故a的值共有三个.解析(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0，1－2a≠0，∴a＝－2.9.若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.－25－5i解析设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.12.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________.2＋3i13解析对于A，设z＝a＋bi(a，b∈R)，13.(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是(

)ACD对于B，z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；对于C，|z|＝1可以看成以O(0，0)为圆心，1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取|z＋i|的最大值2；对于D，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故O，N重合时，|z|＝0最小，当O，M，N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.故选ACD.解析对于A，e2i＝cos2＋isin2，14.(多选)欧拉公式exi＝cosx＋isinx(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是(

)BC∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；解析设z＝a＋bi，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.所以|z2＋z＋3|＝