数学-湖南省益阳市安化县两校联考2023-2024学年高二下学期7月期末试题和答案

2023-2024学年下学期期末自检高二数学A.3B.6C.6D.94.已知锐角α满足tan2α=，则sin2α一3coscosα=()A.1B.C.D.5.已知等比数列{an},Sn是其前n项和，S2=3a2，则）7A.B.8C.726.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是()A.C种B.A种C.47种D.74种7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童ABCD一EFGH中，AB=4,AD=2,EF=8,EH=4，平面ABCD与平面EFGH之间的距离为3，则此“刍童”的体积为A.36B.46C.56D.66线C的右焦点，则iMNi+iMFi的最小值为()A.5·23B.522C.322D.321的展开式中，下列说法正确的是()A.不存在常数项B.二项式系数和为1C.第4项和第5项二项式系数最大D.所有项的系数和为128Af,(x)=3x2—1B.f(x)有两个极值点.C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.f(x)有两个零点B.线段PA的长为B.线段PA的长为 2C.点P的轨迹长为 2312.已知函数=x2ln为奇函数，则a的值为.13.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=40米，则云台阁的高度为米.14.设F1，F2是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且PF1=3PF2，则双曲线C的离心率为__.若△PF1F2内切圆圆心I的横坐标为2，则b（1）求的值；bc16.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是圆柱底面圆的内接矩形，PA是圆柱的母线，PA=AD=2，（1）证明：平面PCD丄平面PAD；（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值.17.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：脐橙数量/盒[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]购物群数量/个m32（1）求实数m的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；（2）假设所有购物群销售脐橙的数量X~N(μ,σ2)，其中μ为（1）中的平均数，σ2=14400.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在[256,616)（单位：盒）内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“A级群”奖励100，对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金群的个数按四舍五入取整数）附：若X~N(μ,σ2)，则P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.683，P(μ-2σ≤X<μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ≤X<μ+3σ)≈0.997.18.已知椭圆及直线l:x-y+t=0.（1）若直线l与椭圆没有公共点，求实数t的取值范围；（2）P为椭圆C上一动点，若点P到直线l距离的最大值为6·,求直线l的方程.19.设函数f(x)=ex-alnx.（1）当a=1，求f(x)在点(1,e)处的切线方程；（2）证明：当a>0时，f(x)≥2a-alna；2023-2024学年下学期期末自检高二数学A.{-2,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,0}D.{2,0,1}【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念与运算直接得出结果.故选：CA.2+iB.2-iC.1-iD.-1+i【答案】C【解析】设z=a+bi，代入利用复数相等求解.因为所以a-bi=1-所以解得故选：CA.3B.6C.6D.9【答案】B【解析】【分析】对a-+2两边平方可得答案..故选：B.3(2,3(2,A.-1B.-C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式求出tanα=再将原式化为，代入求解即可.【详解】因为α为锐角，所以tanα>0，故选：D.5.已知等比数列{an},Sn是其前n项和，S2=3a2，则）7A.B.8C.72【答案】C【解析】【分析】设等比数列{an}的公比为q，根据题意求得结合等比数列前n项和的定义即可求解.【详解】设等比数列{an}的公比为q，2，所以q故选：C.6.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是()A.C种B.A种C.47种D.74种【答案】D【解析】【分析】由题意每位同学都有7种选择，利用分步计数原理即可求解.【详解】由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有74种选择方案.故选：D.7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童ABCD-EFGH中，AB=4,AD=2,EF=8,EH=4，平面ABCD与平面EFGH之间的距离为3，则此“刍童”的体积为A.36B.46C.56D.66【答案】C【解析】【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可求解.由AB//EF，AD//EH，BC//FG，DC//HG，且则EA,FB,GC,HD交于同一点P，该“刍童”为四棱台，矩形ABCD的面积为4×2=8,且上下底面的高为3，所以四棱台的体积×3=56.故选：C线C的右焦点，则iMNi+iMFi的最小值为()A.5·23B.522C.322D.321【答案】A【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算.(y1)2+b2当且仅当M、N在线段DF1与双曲线右支、圆的交点时取等号.故选：A的展开式中，下列说法正确的是()A.不存在常数项B.二项式系数和为1C.第4项和第5项二项式系数最大D.所有项的系数和为128【答案】AC【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.【详解】因为展开式的通项公式为Tr+1=Cr对A，由2r-7=0，得r=所以展开式不存在常数项，故A正确；对B，二项式系数和为27=128，故B错误；对C，展开式共有8项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；故选：AC.10.已知函数f(x)=x3-x+1，则()A.f(x)=3x2-1B.f(x)有两个极值点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.f(x)有两个零点【答案】ABC【解析】【分析】求导后令f(x)=0，分析单调性并求出极值，即可判断ABD，利用函数对称性的定义可判断C。【详解】f(x)=3x2-1，故A正确；3ff所以函数在和上单调递增，在上单调递减，故函数处取得极小值，在x=-取得极大值，即极小值f极大值3f(x)只有一个零点，故B正确D错误；f(x)+f(-x)=x3-x+1-x3+x+1=2，所以f(x)关于(0,1)对称，故C正确。故选：ABCA.三棱锥P-A1BD的体积为B.线段PA的长为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，点P到平面A1BD的距离为再通过三棱锥P-A1BD的体积公式计算即3,|A通过勾股定理计算|PA|即可；对于2C，如图②所示，点P的轨迹是以O1为圆心，2即可.【详解】对于A，在正方体中，易证AC1丄平面B1CD1，平面B1CD1//平面A1BD，且两平面间的距离为 点P的轨迹是以O1为圆心，为半径的圆的一部分，,PP,PP5劣弧构成，其长度为圆O1周长的一半×2π×故C正确；方向上的投影，由图①可知，当P位于点P1或P2的位置时cos上PAC最小，则，故D正确.故选：ACD.12.已知函数=x2ln为奇函数，则a的值为.【答案】-1【解析】【分析】求出函数f(x)的定义域，再由奇函数的性质求出a并验证即得.由函数f(x)是奇函数，得-1+=0，解得a=-1，此时f=x2ln的定义域为(-∞,-1)(1,+∞)， =-x2ln即函数f(x)为奇函数，所以a的值为-1.故答案为：-113.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=40米，则云台阁的高度为米.【解析】【分析】设OP=h，利用三角函数分别表示OA,OB,OC,然后分别△OBA,△OBC中利用余弦定理表示求出h即可 =h.2 14.设F1，F2是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且PF1=3PF2，则双曲线C的离心率为__.若△PF1F2内切圆圆心I的横坐标为2，则【答案】①.②.6【解析】【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得a,c关系，进而求得双曲线C的离心率；利用题给条件求得a的值，进而求得△PF1F2的面积.【详解】设以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为P，PF-PF2PF2PF-PF2PF2所以PF1=a，由勾股定理得PF12+PF22=FF22,设△PF1F2内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，PF-PF2=MF-MF2又由△PF1F2内切圆圆心I的横坐标为2，得a=2， 故答案为6b（1）求的值；bc【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出A，再判断C为锐角，即可求出sinC、cosC，从而求出sinB，即可得解；（2）依题意可得将两边平方，结合b=3c及数量积的运算律求出b、c，再由面积公式计算可得.【小问1详解】因为b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=又，所以A=【小问2详解】2216.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是圆柱底面圆的内接矩形，PA是圆柱的母线，PA=AD=2，（1）证明：平面PCD丄平面PAD；（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明CD丄平面PAD，再由面面垂直的判定定理即可证明（2）以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面PCD的法向量，由平面夹角的向量公式求解即可.【小问1详解】证明：因为PA是圆柱的母线，所以PA丄平面ABCD，因为底面ABCD是圆柱底面圆的内接矩形，又因为PA∩AD=A，PA平面PAD，AD平面PAD，而CD平面PCD，所以平面PCD丄平面PAD.【小问2详解】注意到AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以AB,AD,AP两两互相垂直，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，令z1(x2,y2,z2)为平面PCD的法向量，则设平面PBC与平面PCD的夹角为α,所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为.17.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：脐橙数量/盒[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]购物群数量/个m32（1）求实数m的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；（2）假设所有购物群销售脐橙的数量X~N(μ,σ2)，其中μ为（1）中的平均数，σ2=14400.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在[256,616)（单位：盒）内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“A级群”奖励100，对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金群的个数按四舍五入取整数）（2）奖金约为95700元【解析】【分析】（1）利用频数之和等于样本总数易得m值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；（2）由题意，结合（1）的结果易得μ,σ的值，根据“A级群”，“特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可.【小问1详解】则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为【小问2详解】故故“特级群”约有1000×0.023=23个；则依题意，需要资金为819×100+23×600=95700元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.（1）若直线l与椭圆没有公共点，求实数t的取值范围；（2）P为椭圆C上一动点，若点P到直线l距离的最大值为6·,求直线l的方程.（2）x-y-8=0或x-y+8=0.【解析】【分析】（1）联立方程组，根据题意，利用Δ<0