高中数学常用公式及结论

高考数学公式大全：集合与常用逻辑用语

1集合的0”…的子集个数共有甲个；真子集有2"T个；非空子集有2"T个。

2含有一个量词的否定：'量词改变，结论否定'

即趣命题的否定

VxeM.p(x)切€J/,-p(X0)

VxeM~p(x)

3x0e3/sp(^o)

3直值表：同直L'且'真，后假'或'假

pqP或qP且q非P

真真M真假

真假直假假

假真真假M

假假假假直

4常见结论的否定形式：

原结论否定词原结论否定词

大于不大于至少有力个至多有（〃-1）个

都是不都是至多有“个至少有（“+D个

至少有一个一个也没有P或qrP且->q

至多有一个至少有两个尸且q或-《q

四种命题的相互关系：（师命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

充要条件：（1）、png,则p是q的充分条件，反之，q是P的必要条件；

（2）、P=＞q＞且qT^p,则P是q的充分不必要条件；

（3）、p#＞p,且g=p,则P是q的必要不充分条件；

（4）、p声＞p,且qp,则P是q的既不充分又不必要条件。

（5）、X鼠B,A是B的充分条件（小范围=大范围）

二、函数•

r三次函标的解析式的三种形式：

（1）一般式/（x）=ax2+bx+c（a=0）；

（2）顶点式f（x）=a（x-32+MaH0）;（当日眦侬的顶点坐标（瓦左）时，设为此式）

（3）零点式〃x）=a（x-XiXx-毛X4HO）；（当已失眦雌与刀轴的交点坐标为（再，0），（孙0）时）

2函数单调性：

熠函数：X］＜巧,/（不）＜/（巧）=f（X）在x€D上是减函数。（y随x的增大而熠大）

减函数：Xj＜x,,/（jq）＞/（x2）=f（x）在x^D上是减困数。（y随x的增大而减小）

等价关系：

（1）设甬,均e［。*］,再h毛那么

（再一巧）［/（再）一/（巧）］＞0="三）?（&）＞o=f（x）在［。力］上是增函徼；

天一七

。一々）［〃再）-/（々）］＜0=C（x?）＜o=/（力在口”上是减醴.

再一巧

（2）设J=/（x）在某个区间内可导，如果八x）＞0,则f（x）增3如果八力＜0,则/（幻滋.

单调性性质：（1）增函数-增函数=增函数；减函数-;就函数=减函数；（两个函数定义域交集）

（2）熠函数-减函数=熠函数；减函数-增函数=减函数,

（3）-^-,-/（X）与f（x）单调性相反，J7而与/（X）单调性相反。（有意义的前提）

/（X）

复合函数的单调性：）'=f［g（x）］,由）,=/1（〃）和〃=g（x）复合，同真异减。

3函数的奇偶性：（注：是勘物数的前提缓住是出域必窃壬原点理）

奇函数：在前提条件不，若有/（-X）=-/（x）°V（-x）+/（x）=0,则f（X）就是奇函数。

性质：（1）奇函数的图象关于原点对称；

（2）奇函数在x＞0和x＜0上具有相同的单调区间；

（3）定义在R上的奇函数，有f（0）=0.

偶函数：在前提条件下，若有f（-x）=f（x）,则f（x）就是偶函数。

性质：（1）偶函数的图象关于y轴对称；

（2）偶函数在x＞0和x＜0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

（1）奇函数•偶函数=奇函数；奇函数•奇函数=偶函数；

（2）偶奇函数•偶函数=偶函数；偶函数土偶函数=偶函数；

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称,

那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

4函数的周期性：

定义：对函数f（x）,若存在THO,使得f（既D=f（x）=T是f（x）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(Df(x+T)=-f(x),此时周期为2T;

<2)f(殳期)=f(茨坟)，此时周期为2加一;

(3)f(x+m)=--此时周期为2m;

/(x)

(4)两条对称轴：x=a,x=b,此时周期为丁=2,-6|；(形如y=sinx.y=cosx)

(5)两个对称点：(qO),(瓦0),此时周期为T=l\a-b\i(形如y=sinx,>=cosx)

⑹一条对称轴：一个对称点：x=a,(6,0),此时周期为7=4卜-同；(形如p=sinxj=cosx)

5对称性：对于回数v=/(x)(xe&),

①/(—x)=/(x)=函数/(X)关于y轴对称

②f(-x)=-/(x)O国数f(x)关于原点对

®f(x+a)=f(b-x)=函数f(x)的对称轴是x=三士

特别地：f(x)=f(2a-x)=函数f(x)的对称轴是x=a

@f(x+a)=-f(b-x)Q函数/(x)关于点(亨，0)对称

特别地：/(x)=-/(2a-x)=函数/(x)的对称点(我)

⑤j=f(x)与y=g(x)互为反函数=v=/(x)与y=g(x)关于y=x对称

特别地：(。力)与(仇。)关于》=》对称

6图像变换：

①平移变-=/(工)沿x轴方向平移。个单位长度y=f(x+a)左加右减

y=/(X)沿1轴方向平移h个单位长良y=/(x+d)上加下减

②对称变换：1=八》与^=”-力关于｝轴对称

V=/(X)与V=-/(X)关于X轴对称

y=/(X)与y=-/(-X)关于原点对称

y=/(x)与y=f(2a-x)关于x=a成轴对称

y=f(x)与y=-f(2a-x)关于(a,0)成点对称

③他缁频：y=Ax)纵坐标伸缩为原来的9倍y=Af(x)

y=〃X)横坐标伸缩为原来的工倍y=/(.4x)

-----------------

④翻折通：

>'=|/(x)|:作出y="x)的图像，保留x轴上方图像，将X轴下方图像沿着X轴翻折上去。

尸了(国)：作出y=/(x)的图像，保留j轴右方图像，将其沿着关于j轴翻折到左边，右边极。

()=/(|力是偶醴)

分数指数早与根式的性J^：

(1)an=y/a^(.a>Q,m,n&N',目”>1).

上11

(2)an=—-=—==(a>0.w.w6A7*,且〃>1).

(3)(病”=a.

⑷当，访掰婀，"“3当”为偿婀，海=团=『"々°八.、N

［一小。<0\卜浜/

8指数式：logaN=b=a，=N(a>0：a=1：N>0).0<a^k/>y

9指数与寸鼬函数：_一邛、

指数性质：一

mnnK

(1)1、a-p=4；(2)、a°=l(。工0)；(3)sa=(a)

ap

⑷、ara:=a~\a>0.r.5e0);⑸、a11—；

指数函数：(1)、y=，(a>l)在定义域内是单调递增函数；

(2)、y=ax(0<fl<l)在定义域内是单调递减函数。

注：争数觥图就恒过点回1L

10对数与对教酗(：

对数性质：若。>0,。工1/，>0,">0,贝1」

(1)、iogaM+logaN=\oga(AlN)；(2)、logaJf-loga.V=loga4-；产109/

n，:

(3)、logab=w-logaZ>)⑷、log^.b=—logab;(5)^Iqbg^j^Q^ZZ

(6)、logaa=l;(7)、a^=b।产1

对数的换底公式:loga.yjog*(a>0,且a#1,m>0,且也#1,*V>0).

log—

对数函数：(1)、>=loga^>l)在定义域内是单调递增函数；

(2)、>=log3x(0<a<l)在定义域内是单调递遍函数：

注：对数觥图象都恒过息

(3)、log3x>0<^a,x6(0:l)°Sa:x6(l:+x)

(4)slogax<0«>ae(0:l)IJ>iJxe(L-Hr)或ae(L+oo^lJxe(01l)

11幕函数:基函数在第一象限的情况：

(1)所有的图形都通过(1,1)这点，a大于0,函数过(0,0)；

(2)当a大于0时，幕函数为单调递增的，而a小于0时，幕函数为单调递减函数。

12平均管长率的i礴(负增长时P<o)：

如果原来产值睡础财H,平均皤长率为P,则对于时间1的总产值P,有丁=人9+尸)、

三、导教：

lf(x)在出处的魏(或变化率)：

/'&)=，二=蚂於+弋一

瞬时速度：。=s'G)=lim—=lims"+&)—(/).

3。Aza-Ar

—E.../八..AvvO+Az)-vO)

瞬时加速度：a=v(r)=lim—=lim------------.

At->oAT->oA,

2函数N=f(x)在点X：处的翱的几何意义：

醴严〃力在点毛处的熟是崎)=/(x)在尸(不J«))处砸嘴率/'(不)，相应的班新

程是y-y0=f'(x^x-x^.

3几种常见魔的导数：

(1)<7=0(C为翻).⑵3)'=叔T(〃eQ).(3)(sinx)'=cosx.

(4)(cosxy=-sinx.(5)(fax)r=-;0ogxy=—loge.

XaXa

⑹(e")'=e'；(a")'=a'Ina.

4导数的运算法则：

，*

(1)(u±v)=u±v.(2)(uv)=〃y+〃v.(3)(—)=---：——(v0).

5复合翻(的导数：'V

y=fL(x)],由y=/Q)和u=g(x)复合，y=/[g(x)]=f(u)-g(x)'o

6导数在函数中的应用：

(1)N=/(x)在区间Iq6的单调性与导数：

在&》内恒有f(力>0=>v=f(x)递增

在E加内恒有/(x)<0=y=f(x)递减

在(。力)内恒有/(x)=0v=f(x)是常数函数

y=〃x)在递增=/(x)>0

y=f8在(a,方)递J=/(x)<0

(2)判别/(f)是极大(小)值的方法：

当函数/(x)在点X-处朝时，

(1)如果在占附近的左侧/'(x)>0,右侧尸(力<0,则/(%)是极大值；

<2)如果在受附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则〃天)是极小通

7定积分的性质：

Jkf(x}dx=kJf(x)dx

bpbpb

\f(x)±g(x)]dx=f{x)dx±S(x)dx

(2)JaJa

rbpcpb

f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx

(3)aJaJc

[f(x)dx>

(4)如果在区间[则上，f(X)20厕Ja0

8微积熠本包里：

如果f(x)是囱⑼上的朝I，并且有'尸'(x)=f(x),那么「/(x心•=尸(%)]；=尸⑸一尸⑷

9定积分的几何意义：由连续曲线y=/(x)(/(x)之0)和x=a,x=5及j=0围成的平面图形

乂出必称为曲边梯形.

1)若/(x)40,如图5-8所示，则面积为

s=-[V(x)^

2)把由直线尸c,尸d(c<中及两条连续曲线产自3),x=g：(y)(g-.(y)(y))

所围成的平面图形称为尸型图形.V

d

一

x一蓑

-

g2

-

00

)》

X

阴影部分的面积：S=f|X（x）-工（冷汝

10定积分在物理上的应用。

（1）变速用火以之。）时间在上引段，路程S=1v©山

*！

（2）变力F=F（x）,物体沿力的方向从a移司倒6,侬功甲=1F（x）小

四、三角函数：

1三角不等式：

(1)若xe(0，),JiJlsinx<x<tanx.

2

(2)若xw(0：令，JiJl1<sinx+cosx<^2.

(3)|sinx|+|cosx^l.

2同角三角醴融本关系式：sin^+cos^=l,tan8="

cos6

3正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

4和角与差角公式

sin(a±)8)=sinacos)5±cosasinJ3；cos(a±j3)=cosacosy^Tsinasin/3；

.-tana±tanB

tanz(a±£)=---------------—.

1千tanatan(3

asina+icosa=y/a:+b2sin(a+<p)(辅助角夕所在象限由点(a/)限决定,tan(2?=-).

a

5二倍角公式及醒公式

.、、.2tana

sm2a=2sma-cosa=--------s-

1+tan*a

♦2•2.21-tan"CL

cosla=cosa-sina=2cosa-l=l-2sina=--------—

1+tan'a

-2tana

tan2a=--------—.

1—tan*a

.i1-cos2a21+cos2a

sin*a=------------.cos，a=-------------

22

6三角醴的雕公式

函数.1，=5m（。》+0）及幽（》=««（0》+0）血3,。为常数，目样。）的周期T=就；

函数P=tan（0x+。）,x^k7T+-,kEZ且血）的雕T=’.

2⑷

三角函数的图像:

=a=sin46=2RsinBzc=2RsinC

a:6:c=sinJ:sin5:sinC

(a>b=X>8=sind>sin3)

8余弦定理：

cT=b2+c'-2bccosA;

b2=c2+/-ICOQQSB；

c1=a24-i2-2abeosC.

9面积定理：

<Ds=ga%=汕二四（V%4加W；a、b、ca±粽）.

(2)S=­aisinC=-icsinA=-casinB.

222

10三角形内焦和定理：

在△ABC中，有X+3+C=/r=C=;r-(X+3)

=C=2一=2C=2兀-2(/+3).

222

五、平面向量：

1实数与向量的积的运算律:设尢、以为实数，那么：

⑴结合律：X（Ha）=（kH）a；

⑵第一分配律：（入+四）万=入3+四3;

⑶第二分配律:X（5+6）=X5+Xi.

23与b的数量积（或内积）：a-b=\a\\b|cos^（）

3平面向量的坐标运算：

⑴设石=（不比），6=（孙川，则1+5=（巧+程达+%）一

⑵设石=（甬,M）,6=（孙必），则1“=（再-巧,%

⑶设A（a%）,B（孙心），则=OB-OA=（x1-xl,y1-y｛）.

⑷设石=（兑&R,则/a=（Ax,Ay）.

（5）设石=（甬布），6=（孙汝），则不,1=巧巧+>仍・

4求夹角：cos6=•:%一=一,一,％,：+“丁（1=（毛,凶），石=（孙必））.

1。卜伊1收+才7,+因

求长度：同=7^=-jx：+三，

5平面两点间的距离公式：

=I⑷31=〜铝=再+（?’2一/）'（A（项,川），B（孙乃））■

6共线向量定理：空间任意两个向量万、b（5^0）,d/亦存在刻z,使石=北。

(1)三A、B、C=AB=AAC<=>OC=xOA+yOB(其中x+y=l)

（2）与石共线的单位向量为土M

Pl

7共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同T面内的向撤H做共面向*说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量万石不共线，石与向量3万共面的条件是存在实数x,y使

p=xa+ybo

(3)四回面：若A、B、C.PAP=xAB+yAC

oOP=xQ/<+jOB+zOC(其中x+「+z=1)

8向量的平行与垂直：设d=（甬,儿），8=（巧,）3）,且3工6,则：

a116<=>h=X5<=>xjv2-x,vj=0.（交叉相乘差为零）

a_b（5H6）=G-bKOXjX；+}i”=0.（对应相乘和为零）

9线段的定比分公式：设4（再J。，R^y.）,P（xj）是线段耳巴的分点,义是实数，目肝=2属

N+%

x=

1+A

则.EgOP=tO^+(\-t)Ofi----)

出+元也1+A

>-

1+A

1。三角形踵心坐标公式：ABC三个顶点的坐标分别为A（x：,y：）、B（x”yJ、C（x”外），则丽的

重心的坐标是不+；+专,&苫二竺）.

11三角形四“心”向量形式的充要条件：

设。为所在平面上一点，角45,C所对边长分别为。也c,则

（1）。为4奶c的外心（外接圆的圆心，中垂线的交点）=。^3'二?《二

（2）。为A13C的重心（中线的交点，三等分点（中位线比））^>OA+OB+OC=Q.

（3）。为，必。的垂心（高的交点）=9质=砺反=历届.

（4）。为，18C的内心（内切圆的图口，角平分线的交点）^>aOA+bOB+cOC=0.

六、数列：

1等差数列：

（1）通项公式：（D%=4+（”一1财，其中q为首项，d为公差，n为项数

<2）4和酥繇S£C、（注:该公赵任髭梦周蒯）

一一