初中三向量知识点概括

平面向量的线性运算

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1.通过向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意

义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向

量的和向量。

2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意

义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点

向量等。

3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数

学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。

4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进

行，掌握相反向量。

5.学会分析问题和创造性地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形

法则作出两向量的差向量。

6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理

解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量积的运算律。

7.理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平

行。

8.通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创

新能力和积极进取精神。通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。

・重难点突破

1.向量加法的运算及其几何意义。

2.对向量加法定义的理解。

3.向量的减法运算及其几何意义。

4.对向量减法定义的理解。

5.实数与向量积的意义。

6.实数与向量积的运算律。

7.两个向量共线的等价条件及其运用。

8.对向量共线的等价条件的理解运用。

・每课一记

一、求若干个向量的和的模（或最值）的问题通常按下列步骤进行：

⑴寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；

（2）用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。

二、1.向量的加法定义

向量加法的定义：如图3,已知非零向量A.b,在平面内任取一点A,作AB=a,

8C=b,则向量AC叫做a与b的和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC。

图加

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

2.向量加法的法则：

（1）向量加法的三角形法则

在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时

要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第

一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看

作向量加法三角形法则的物理模型。

（2）平行四边形法则

向量加法的平行四边形法则

如图4,以同一点0为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以0

为起点的对角线℃就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量

加法的平行四边形法则。

图4"

3.向量a,b的加法也满足交换律和结合律:

①对于零向量与任一向量，我们规定a+O=O+a=a。

②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相

加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。

③当a,b不共线时，|a+b|v|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);

当a,b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b：；

当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|aHb|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度

大于向量b的长度时，|a+b1=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时，

|a+b|=|b|-|a|o

一般地，我们有|a+b|W|a|+|b|。

④如图5,作赢=a,AD=b,以AB.AD为邻边作口ABCD,则BC=b,DC=ao

因为AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a。

如图6,因为丽=尼+丽=(而+前)+①=(a+b)+c,

AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c)o

综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。

特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得

新知识的过程与方法。

三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，

最后回扣物理问题，解决问题。

四、向量也有减法运算。

由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。

于是一(-a)=ao

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.

任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=O。

所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=O。

1.平行四边形法则

如图1,设向量AB=b,AC=a，则AD=-b,由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b。

又b+BC=a,所以BC=a-b。

由此，我们得到a-b的作图方法。

图2

2.三角形法则

如图2,已知a、b,在平面内任取一点0,作m=2,OB=b,则应=a-b,即a-b

可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

(1)定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。

与数X的相反数是-X类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a

的相反向量，记作-a。

(2)向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b),

即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

规定：零向量的相反向量是零向量。

(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的

几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。

五、我们规定实数人与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记

作入a,它的长度与方向规定如下：

(1)|Xa|=|X||a|；

(2)当人＞0时，入a的方向与a的方向相同；当人＜0时，的方向与a的方

向相反。

由⑴可知，人=0时，Xa=0o

根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。

实数与向量的积的运算律

设入、U为实数，那么

⑴X(11a)=(XU)a;

(2)(入+u)a=入a+pa;

⑶入(a+b)=入a+入b.

特别地，我们有(-入)a=-(入a)=入(-a),X(a-b)=Xa-Xbo

向量共线的等价条件是：如果a(aWO)与b共线，那么有且只有一个实数入，使

b=Xao共线向量可能有以下几种情况：

(1)有一个为零向量；

(2)两个都为零向量；

(3)同向且模相等；

(4)同向且模不等；

(5)反向且模相等；

⑹反向且模不等。

数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大

小由I入I•Ia|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或

缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面

内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条

直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量

a、b,以及任意实数人、外、恒有入(〃田土出切=入〃国土入〃213。

・经典例题

例1化简：

⑴商+X5

⑵DB+CD+BC

⑶Q+5?+而+丽+FX

解：

(1)BC+AB=AB+BC=AC

⑵而+而+前=豆+而+丽=(阮+而)+而=丽+而=0

(3)AB+5F+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA

^\C+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0

解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。

例2若AC=a+b,DB=a-b

①当a.b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？

②当a.b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|?

③当a.b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？

④a+b与a-b可能是相等向量吗？

解析：如图6,用向量构建平行四边形，其中向量AC、恰为平行四边形的

对角线。

由平行四边形法则，得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-bo

由此问题就可转换为：

①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？（［a|=|b|）

②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？（a.b互相垂直）

③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？（a.b相等）

④a+b与a-b可能是相等向量吗？（不可能，因为对角线方向不同）

解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到

在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问

题。

・练习题

1.已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,^=c,比=b,则|a+b+c|为（）。

A.0

B.3

C.&

D,2^2

2.设a=（而+而）+（记+而），b是任一非零向量，则下列结论中正确的为（）。

（l）a/7b；②a+b=a；③a+b=b；@|a+b|<|a|+1b|；⑤|a+b|=|a|+|b|。

A.①②

B.①③

C.①③⑤

D.③④⑤

3.下列等式中，正确的个数是（）o

①a+b=b+a②a-b=b③O-a=-a④-（-a）=a⑤a+（-a）=0

A.5

B.4

C.3

D.2

4.如图7,D、E、F分别是AABC的边AB、BC、CA的中点，则AF-OB等于（）o

A.FD

B.定

C.FE

D.BE

5.下列式子中不能化简为而的是（）。

A.（AB+CD）+BC

B.（AD+Mfi）+（BC+CM）

C.MB+AD-BM

DOC-OA+CD

6.已知A.

B.C三点不共线，0是AABC内一点，若次+而+而=0,则0是△人8（；的（）。

A.重心

B.垂心

C.内心

D.外心

1]_

7.3[5(22+813)-(42-213)]等于()。

A.2a-b

B.2b_a

C.b-a

D.a-b

8.设两非零向量el、e2不共线，且kel+e2与el+ke2共线，则k的值为()。

A.1

B.-1

C.±1

D.0

9若向量方2x-3(x-2a)=0,则向量x等于()。

A6

A.—a

5

B.-6a

C.6a

nD."6-a

5

10.设向量a,b都不是零向量：

(1)若向量a与b同向，则a+b与a的方向,且|a+b||a|+|b|；

⑵若向量a与b反向，且|a|>|b|,则a+b与a的方向,且

Ia+b||a|-|b|o

11.如图17所示，已知正方体ABCD—ABCD，设而=a,诟巾，M=c,则

AC1=_______（用A、B、C表示）

图1"

12.在aABC,AE=5AB,EF〃BC,EF交AC于F,设施=a,AC=b,则而用a、

b表示的形式是而=0

13.在AABC,M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠