2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第2课时基本不等式的应用分层演练新人教A版必修第一册

2.2基本不等式第2课时基本不等式的应用A级基础巩固1.当x>0时,f(x)=2xx2A.12C.2 D.4答案:B2.若x>0,则函数y=-x-1x (A.有最大值-2 B.有最小值-2C.有最大值2 D.有最小值2答案:A3.用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆长度是 ()A.30m B.36mC.40m D.50m答案:C4.若实数x,y满意xy=1,则x2+2y2的最小值为22.5.(2024年广东模拟)已知x>0,y>0,且4x+y=1,则1x+9y的最小值是解析:因为x>0,y>0,且4x+y=1,所以1x+9y=(4x+y)(1x+9y)=4+36xy+yx当且仅当36xy=yx,即x=110,B级实力提升6.若正实数x,y满意1x+4y=1,且x+y4>a-3恒成立,则实数a的取值范围为解析:由题意,知x+y4=(x+y4)(1x+4y)=2+因为x>0,y>0,所以4xy>0,y所以4xy+y4x≥24xy4x=y时取等号,所以x+y4≥4,所以a-3<4,解得a<77.多空题若实数a,b满意a2+b2+ab=1,则ab最大值为13,a+b的最小值为-2解析:由1=a2+b2+ab≥2ab+ab,得ab≤13,当且仅当a=b=33时等号成立.由1=a2+b2+ab=(a+b)2-ab,得ab=(a+b)2-1,而ab≤(a+b2)2,所以(a+b)2-1≤(a+b2)2,解得-238.设a,b为正实数,且1a+1b=2(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.解:(1)由22=1a+1b≥21ab,得ab当且仅当a=b=22时取等号故a2+b2≥2ab≥1,当且仅当a=b=22时取等号所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=22时取得最小值(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得(1a-即(1a+1b)2-4又因为ab+1ab≥2,当且仅当ab=所以ab+1ab=2,所以ab=19.某市打算建一个综合性休闲广场,其示意图如图所示.已知矩形广场的总面积为2000m2,其中阴影部分为通道,通道的宽均为1m,中间的两个小矩形完全相同.(1)用矩形的宽x(单位:m)表示中间的三个矩形的总面积S(单位:m2)的函数解析式,并给出定义域.(2)当矩形的宽x为何值时,S取得最大值?并求出最大值.解:(1)因为矩形广场的总面积为2000m2,所以xy=2000,即y=2000x因为2a+2=y,所以2a=y-2=2000x-所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(1000x-1)=2005-(5000x+2x),3<x<(2)S=2005-(5000x+2x)≤2005-25000x×2x=1805.当且仅当2x=5000x,即C级挑战创新10.多选题一个矩形的周长为l,面积为S,其中可作为(l,S)的取值的实数对是 ()A.(4,1) B.(8,6) C.(10,8) D.(3,12解析:依题意设矩形的长、宽分别为a,b,则有a即l=2(a+b)≥4ab=4S,所以lS≥4对于选项A,41=