内蒙古包头市2025届高三数学上学期开学调研考试理试题含解析

Page18内蒙古包头市2024届高三数学上学期开学调研考试理试题留意事项：1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用复数的四则运算求出复数，再写出其共轭复数即可.【详解】因为，所以.故选：B.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先用列举法把集合表示出来，再求集合与的并集.【详解】因为，，所以.故选:D.3.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推断函数为奇函数，解除CD；依据特别值的大小，解除A选项.【详解】定义域为，又，故为奇函数，解除CD；又，，明显，故A错误，B正确.故选：B4.已知向量满意，它们夹角为，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】依据向量的数量积的坐标公式，精确运算，即可求解.【详解】由题意，向量满意，它们的夹角为，则.故选：C.5.从2名女同学和3名男同学中任选2人参与志愿者服务，则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为（）A.0.4 B.0.3 C.0.6 D.0.5【答案】C【解析】【分析】选中的2人恰好是男女同学各1名的数量为，则所求概率为【详解】由题，选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为.故选：C6.双曲线的一条近线方程为，则其离心率为（）A.3 B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】由渐近线方程得，再由计算即可【详解】∵渐近线方程为，即，故.故选：A7.在中，，则（）A. B.5 C. D.6【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式求得，再用余弦定理即可求得AC.【详解】，，而，，在中，由余弦定理得：，代入数据得：，解得：或（舍）故选：B.8.执行如图所示的程序框图，假如输入的，则输出的（）

A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序，依次计算可得.【详解】当输入的时，S=0，K=1，K6；S=1，，K=2，K6；S=，，K=3，K6；S=2，，K=4，K6；S=，，K=5，K6；S=3，，K=6，K6；S=，，K=7，K6，输出S=.故选：D9.在正方体中，E、F分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中点，连接，依据，得到异面直线与所成的角，即为与所成的角，直角中，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，连接，在正方体中，因为是的中点，可得，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，设，设正方体的棱长为，可得，由平面，且平面，可得，所以，在直角中，可得.故选：A.10.若在是增函数，则a的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据函数性质，可得的单调区间，是单增区间的子集.【详解】，依据函数图象和性质，在上单调递增，在上单调递减.而，所以a的最大值为.故选：A.11.已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据椭圆定义得到，由得到，由勾股定理得到，两式结合求出，结合得到，求出离心率.【详解】由题意得：，则，由椭圆定义可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的离心率为.故选：C.12.已知是定义域为的奇函数，满意．若，则（）A.13 B.0 C. D.1【答案】D【解析】【分析】依据奇函数的性质得到，，再由，即可得到是以为周期的周期函数，再求出、、的值，即可得解.【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，，又，所以，即，所以，即是以为周期的周期函数，又，所以，，，所以，所以.故选：D二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题的横线上．13.曲线在点处的切线方程为_____________．【答案】【解析】【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.【详解】，曲线在点处的切线斜率，所求切线方程为：，即.故答案为：.14.若满意约束条件，则的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，结合图形，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，目标函数取得最小值，由，解得，所以目标函数的最小值为.故答案为：.15.已知，且是第一象限角，则_____________．【答案】【解析】【分析】利用两角差的正切公式求出，再依据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：因为，所以，即，解得，又，解得或，因为第一象限角，所以；故答案为：16.已知圆锥的顶点为P，母线的夹角为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_____________．【答案】【解析】【分析】由题得，为正三角形，由的面积求得PA，再由与圆锥底面所成角求得底面半径，即可依据公式求得侧面积【详解】由题，，则为正三角形，，∴母线，又与圆锥底面所成角为，∴底面半径，∴圆锥的侧面积为.故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22，23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17.记为等差数列的前n项和，已知．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最大值．【答案】（1）（2），21【解析】【分析】（1）依据等差数列的前项和公式可求出公差，从而利用等差数列的通项公式即可求出答案；（2）依据等差数列的前项和公式和二次函数的性质，即可干脆求出答案.【小问1详解】设数列的公差为，由得，即，由，得．所以的通项公式为．【小问2详解】由（1）得．因为，所以当或时，取得最大值，最大值为21．18.依据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图：

（1）依据茎叶图推断哪位运动员的成果更好？并说明理由；（2）求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的列联表：超过m不超过m甲乙（3）依据（2）中的列联表，能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场竞赛得分有差异？附：0.150.100.052.0722.7063.841【答案】（1）乙运动员的成果更好，理由见解析（2）；填表见解析（3）没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场竞赛得分有差异【解析】【分析】（1）依据茎叶图分析数据的分布状况推断即可；（2）依据中位数的定义求解，再完善表格即可；（3）计算卡方并对比表格中的数据推断即可.【小问1详解】乙运动员的成果更好，理由如下：（ⅰ）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎3，4上；甲运动员的得分基本上也是对称的，只有的叶集中在茎3，4上．所以乙运动员的成果更好．（ⅱ）由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36；甲运动员得分的中位数是27．所以乙运动员的成果更好．（ⅲ）从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值旁边，这说明乙运动员的发挥更稳定．以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分．【小问2详解】由茎叶图可知，列联表如下：超过m不超过m甲57乙75【小问3详解】由于，所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场竞赛得分有差异．19.如图，在三棱锥中，，D为的中点．（1）证明：平面；（2）若E是棱上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依据线面垂直的性质与判定，结合等腰三角形的性质分别证明即可；（2）当的面积最小时，依据三角形的面积公式可得当的面积最小时，取最小值，此时得，再依据为与平面所成的角求解即可；或以D为坐标原点建立空间直角坐标系，依据线面夹角的向量求法求解即可.【小问1详解】因为，又D为的中点，所以，且，连接，所以为等腰直角三角形，且，，由，可知，由，平面,可知平面．【小问2详解】解法1：因为，所以，当的面积最小时，取最小值，此时得，这时为的中位线，且．因为，且，平面，所以平面，故为与平面所成的角．因为E是的中点，所以．中，，所以与平面所成角的正弦值为．解法2：同解法1，且.因为两两相互垂直，故以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则．，设平面的法向量为，则，即，所以可取，又，设与平面所成角为，则．20.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．（1）求C和的方程；（2）求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设的方程为，代入点的坐标得的值，得到的方程，设的方程为，联立方程组，求得，结合，求得的值，即可得到直线的方程；（2）由（1）得线段中点坐标，得到线段的垂直平分线方程，设所求圆的圆心坐标为，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可求解圆的方程.【小问1详解】解：设的方程为，代入点的坐标得，所以的方程为．所以焦点的坐标为，设的方程为且，联立方程组，整理得，所以，所以．由题设知，解得或（舍去），所以的方程为．【小问2详解】解：由（1）得线段中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，即，设所求圆的圆心坐标为，则，解得，或，即圆心坐标为或，又由抛物线的准线方程为，可得点或到准线的距离分别为或，即圆的半径分别为或，所以圆方程为或．21.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）探讨的零点状况．【答案】（1）递增区间为，递减区间为（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；（2）依据题意转化为，令，利用导数求得函数的单调性和极值，结合图象，即可求解.【小问1详解】解：当时，则，可得，令，解得，当时，，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减．【小问2详解】解：当时，；当时，等价于，令，则，当时，；当时，；当时，；所以在单调递增；在单调递减，且当时，，当时，；当时，，如图所示，可得为的极大值，当，即时，与只有1个交点，即只有1个零点；当时，与有2个交点，即有2个零点；当时，与有3个交点，即有3个零点．综上，时，只有1个零点；当时，有2个零点；当时，有3个零点．

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化函数的零点个数为方程的根的根数，进而利用分别参数法，转化为函数的交点个数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，假如多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出曲线C的一般方程和直线l的一般方程，联马上可求出交点坐标.（2）设C上的点坐标为，依据点到直线的距离公式即可求得a.【小问1详解】曲线C