新教材2025版高中数学第二章导数及其应用6用导数研究函数的性质6.1函数的单调性第1课时函数的单调性与导数学案北师大版选择性必修第二册

第1课时函数的单调性与导数[教材要点]要点导数与函数的单调性在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调________f′(x)<0单调________f′(x)＝0常数函数状元随笔(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对随意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.[基础自测]1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上改变越快，函数在这个区间上导数的肯定值越大．()(4)推断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．()2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则()A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的符号不确定3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()4．命题甲：对随意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型一导函数与原函数图象间的关系例1(1)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()(2)(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是()方法归纳函数与导数图象间的关系推断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再留意以下两个方面：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；假如f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)导数与函数图象的关系函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f′(x)>0且越来越大f′(x)>0且越来越小函数值削减得越来越快函数值削减得越来越慢f′(x)<0且越来越小肯定值越来越大f′(x)<0且越来越大肯定值越来越小跟踪训练1(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()题型二用导数探讨不含参数的函数单调性例2推断下列函数的单调性(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝ex(3)f(x)＝x3＋3x方法归纳用导数推断函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(4)写出结论．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝xlnx，x∈(0，5)，下列推断正确的是()A．在(0，5)上是增函数B．在(0，5)上是减函数C．在(0，1e)上是减函数，在(1D．在(0，1e)上是增函数，在(1(2)函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上单调________．(填“递增”、“递减”)．题型三用导数探讨含参函数的单调性例3已知函数f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试探讨函数f(x变式探究本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？方法归纳在探讨含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数不简单推断其正负时，须要对参数进行分类，分类的标准：(1)按导函数是否有零点分大类；(2)在大类中再按导数零点的大小分小类；(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类．跟踪训练3已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，探讨f(x)的单调性．易错辨析探讨函数单调性时忽视定义域致错例4已知函数f(x)＝xlnx，推断函数f(解析：函数f(x)的定义域为(0，1)∪f′(x)＝lnx由f′(x)＝0，可得x＝e.则当0<x<1或1<x<e时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x>e时，f′(x)>0，f(x)为增函数．【易错警示】出错缘由纠错心得忽视了函数f(x)的定义域．在探讨函数的单调性时，要特殊留意函数的定义域．[课堂非常钟]1．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()2．假如函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，则在(0，＋∞)上f(x)的单调性是()A．递增B．递减C．先减后增D．先增后减3．“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设f(x)＝x－sinx，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数5．设函数f(x)＝ax－1－lnx，探讨函数f(x)的单调性．第1课时函数的单调性与导数新知初探·课前预习要点递增递减[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故选B.答案：B3．解析：∵当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故选D.答案：D4．解析：例如取f(x)＝x3(－1<x<1)，则f(x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件．故选A.答案：A题型探究·课堂解透题型一例1解析：(1)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)>0(即全部在x轴上方)，故解除A、C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)>0，故解除B，故选D.(2)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不行能，故选ABC.答案：(1)D(2)ABC跟踪训练1解析：(1)当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最终单调递增，解除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0旁边函数应单调递增，解除B.故选D.(2)当x>0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满意，故选D.答案：(1)D(2)D题型二例2解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－1x＝2x因为x>0，所以2x＋1>0，令f′(x)>0，解得x>22所以函数f(x)在(22令f′(x)<0，解得0<x<22所以函数f(x)在(0，22(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪f′(x)＝exx-因为x∈(－∞，2)∪2，+∞，所以ex令f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，得x<3，又x∈(－∞，2)∪所以函数f(x)在(－∞，2)和(2，3)上单调递减．(3)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪f′(x)＝3x2－3x2＝3(x2－令f′(x)>0，得x<－1或x>1，所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0得－1<x<1且x≠0，所以函数f(x)在(－1，0)和(0，1)上单调递减．跟踪训练2解析：(1)由f(x)＝xlnx，可得f′(x)＝lnx＋x·1x＝lnx＋1.由f′(x)>0且x∈(0，5)，可得1e<x<5；由f′(x)<0，可得0<x<1e，所以函数f(x)在(0，1(2)因为f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)，所以f′(x)＝cosx－1<0.所以函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上单调递减．答案：(1)C(2)递减题型三例3解析：函数的定义域为(0，＋∞),f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2-①当0<a<1时，1a∴x∈(0，1)和(1a，＋∞)时，f′(xx∈1，1a时，f∴函数f(x)在(0，1)和1a，+②当a＝1时，1a∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；③当a>1时，0<1a∴x∈(0，1a)和(1，＋∞)时，f′(xx∈1a，1)时，f∴函数f(x)在0，1a综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和1a，+当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)在0，1a变式探究解析：a>0时，探讨同上；当a≤0时，ax－1<0，∴x∈(0，1)时，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，综上，当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和(1a，＋∞)上单调递增，在1当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)在0，1a跟踪训练3解析：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex(ex－a)＋ex·ex－a2＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln-a当x∈-∞，ln-a2当x∈ln-a2，+故f(x)在-∞，在ln-[课堂非常钟]1．解析：由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数，视察选项易知C正确，故选C.答案：C2．解析：∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上递减，又函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在(0，＋∞)上f(x)递增．故选A.答案：A3．解析：若f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝4x－m＋1x≥0对随意的x∴有4x＋1x≥m对随意的x∈(0，＋∞)恒成立，即m≤4x+1xmin，而4x＋1x≥24x·1∴“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．故选A.答案：A4．解析：由题意知f(0)＝0，f(x)的定义