安徽省安庆市示范高中2025届高三数学下学期4月联考理科试题含解析

安徽省安庆市示范中学2024届高三数学下学期4月联考理科试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据对数函数的性质，可知，由此即可求出集合，进而求出，再依据交集运算即可求出结果.【详解】由题意可知，，所以或，所以，故，所以.故选：D.2.已知，若复数为纯虚数，则实数（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数为纯虚数，可设，代入原式，然后计算即可得结果【详解】设，，故，解得，故选：C3.“，”是“数列为等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】依据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的定义和性质进行推断即可.【详解】解：若，则满意，但数列不是等比数列，即充分性不成立，反之若数列为等比数列，则，，成立，即必要性成立，即“，”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据等比数列的定义是解决本题的关键.4.2024年，我国通信业主动推动网络强国和数字中国建设，5G和千兆光网等新型信息基础设施建设覆盖和应用普及全面加速，移动电话用户规模小幅增长.截止2024年，全国电话用户净增4755万户，总数达到18.24亿户，其中移动电话用户总数16.43亿户，全年净增4875万户，其中，4G移动电话用户为10.69亿户，5G移动电话用户达到3.55亿户，周定电话用户总数1.81亿户，全年净减121万户.自2011年以来固定电话与移动电话普及率（单位：部/百人）如图所示，则以下说法错误的是（）A.近十年以米移动电话普及率逐年递增B.近十年以来固定电话普及率逐年递减C.2024年移动电话普及率为116.3部/百人，比上年末提高3.4部/百人D.2024年固定电话普及率为12.8部/百人，比上年末降低0.1个百分点【答案】A【解析】【分析】视察折线图，得到选项A错误，选项BCD正确.【详解】解：A.由于2015年移动电话普及率比2014年的普及率低，所以近十年以来移动电话普及率逐年递增是错误的，所以该选项错误；B.近十年以来固定电话普及率逐年递减，所以该选项正确；C.2024年移动电话普及率为116.3部/百人，2024年移动电话普及率为112.9部/百人，所以2024比上年末提高3.4部/百人，所以该选项正确；D.2024年固定电话普及率为12.8部/百人，2024年固定电话普及率为12.9部/百人,2024比上年末降低0.1个百分点，所以该选项正确.故选：A5.已知函数的定义域为，其图象关于原点及对称.当时，，则下列叙述错误的是（）A.是周期函数 B.为奇函数C.在单调递增 D.的值域为【答案】A【解析】【分析】依据函数的对称性，结合对数型函数的单调性进行求解推断即可.【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以该函数是奇函数，即，当时，单调递增，故，当函数时，，函数单调递增，即值域，而，所以函数当时，函数单调递增，且，因为函数的图象关于对称，所以有，所以有，所以该函数又关于点对称，因为点和在该函数的图象上，所以由函数的对称性可知：该函数在单调递增且值域为，该函数不行能是周期函数，故选：A6.已知命题p：点在圆内，则直线与C相离；命题q：直线直线m，//平面，则.下列命题正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析真假性后推断选项【详解】对于命题p，点在圆内，则，故圆心到直线距离，直线与圆相离，为真命题，对于命题q，与位置关系不确定，为假命题，选项中只有为真命题．故选：B7.已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合函数的图象，利用导数法推断.【详解】当时，，则，故解除AB.当时，则，令，得或，当或时，，当时，，所以是函数的微小值点，是函数的极大值点，故C错误；当时，则，令，得或，当或时，，当时，，所以是函数的极大值点，是函数的微小值点，故D正确故选：D.8.已知圆锥的底面半径为1，母线.过点A的平面将圆锥分成两部分，则截面椭圆周长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圆锥侧面绽开图的圆心角，再利用数形结合求解.【详解】解：由已知圆锥绽开图圆心角.由余弦定理得所以截面椭圆周长的最小值为.故选：A.9.已知，设是的导函数，下列结论错误的是（）A.将图象向左平移可得的图象 B.将图象向右平移可得的图象C.与的图象关于对称 D.与的图象关于轴对称【答案】C【解析】【分析】先求，依据性质依次推断即可.【详解】由已知，所以，故将图像向左平移或右移可得的图象，故A、B正确；，所以与的图象关于y轴对称，故D正确；，所以与的图像关于对称错误，故C不正确.故选：C.10.已知，都是正整数，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意得，构造函数求解即可.【详解】因为，所以，令，所以，故在上单调递增，由已知得，故，因为，都是正整数，即.故选：A.11.已知抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的切线与y轴交于点T，则不能为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形【答案】D【解析】【分析】不妨设抛物线设，求出切线方程和点坐标得到，即得解.【详解】解：不妨设抛物线.设，所以所以切线的斜率为，所以切线方程为，令得.所以，所以，故等腰三角形.又可以为锐角､直角及钝角，所以不行能为不等边三角形.故选：D12.在自然界中，树木的分叉､花瓣的数量､植物种子的排列等都遵循了某种数学规律，直到13世纪意大利数学家莱昂纳多·裴波那契从免子繁殖问题发觉了一组奇妙的数字1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，它揭示了植物生长的规律，我们将其称为裴波那契数列，该数列也可以表示为，，下面结论：①，②，③，④，则以上正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】利用累加法求解计算并推断.【详解】由己知，累加得，由，累加得；由，累加整理得；因为，故选：A【点睛】求解本题的关键是利用递推关系，由累加法求解.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满意，则___________.【答案】【解析】【分析】依据已知求出，再利用模长公式得解.【详解】解：由得.故答案为：14.已知双曲线的顶点分别为M､N､P为C上一点且直线的斜率之积为3，则双曲线C的离心率为___________.【答案】2【解析】【分析】设点，可得，结合的斜率之积为3，可得，利用离心率公式求得答案.【详解】不妨设,设为C上一点，所以，,由已知得，即,故，所以,故答案为：215.2024年北京冬奥会自由式滑雪大跳台竞赛在首钢滑雪大跳台进行，在资格赛中每位选手滑跳三次，假设某运动员滑跳一次成果超过70分的概率为，则在资格赛中该运动员超过70分的次数X的数学期望为___________，其中至少有两次成果超过70分的概率为___________.【答案】①.##2.25②.【解析】【分析】由可得超过70分的次数X的数学期望为；分别求出有两次超过70分和有三次超过70分的概率，相加即可得至少有两次成果超过70分的概率.【详解】假设该运动员在3次滑跳中有X次成果超过70分，则，则，该运动员至少有两次成果超过70分的概率为.故答案为：##2.25；.16.已知四棱锥的底面为矩形，，则其外接球的表面积为___________.【答案】##【解析】【分析】依据球的性质，结合勾股定理、球的表面积公式进行求解即可.【详解】如图取中点E，底面中心为，外接球的球心为O，则底面.由已知得，又，所以平面PAD，平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD又PE⊥AD，平面ABCD平面PAD=AD，平面PAD,所以PE⊥平面ABCD，.设球的半径为R，.在直角梯形中，.在直角中，，联立得，即，故球表面积为，故答案为：三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答.17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求证：；（2）若为，等差中项，且，求的面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依据题意得，再依据三角形性质求解即可；（2）设，得，求解即可.【小问1详解】由已知及正弦定理得，又代入上式得，即又，明显，所以，故【小问2详解】由（1）知，因为为，的等差中项，不妨设由余弦定理得，整理得：①由已知得，②由①②联立，整理得：，所以.所以，所以的面积为18.2024年北京冬奥会防寒服中的“奇妙内芯”—仿鹅绒高保暖絮片，是国家运动员教练员竞赛服装的保暖材料.该“内芯”具有超轻超薄､湿态保暖､高蓬松度等特点，其研发是国家重点研发安排“科技冬奥”重点专项之一，填补了国内空白.为了保证其质量，厂方技术员从生产的一批保暖絮片中随机抽取了100处，分别测量了其纤维长度(单位：)的均值，并制成如下频率分布直方图：

（1）估计该批保暖絮片纤维长度的平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表)；（2）该批保暖絮片进人成品库之前需进行二次检验，从中随机抽取15处测量其纤维长度均值，数据如下：31.8，32.7，28.2，34.3，29.1，34.8，37.2，30.8，30.6，25.2，32.9，28.9，33.9，29.5，34.5.请问该批保暖絮片是否合格？(若二次抽检纤维长度均值满意，则认为保暖絮片合格，否则认为不合格).【答案】（1）31，12.28；（2）合格﹒【解析】【分析】(1)依据频率分布直方图，求出每一组的频率和频数，依据方差计算公式即可计算方差；(2)求出,比较的大小关系即可推断.【小问1详解】由频率分布直方图可得，纤维长度区间是､､､､､､､的频率分别为：0.04､0.09､0.16､0.24､0.18､0.14､0.10､0.05，对应的频数分别为：4､9､16､24､18､14､10､5，故样本均值为：；样本方差为：﹒∴估计该保暖絮片的纤维长度的平均数为，方差为；【小问2详解】二次抽检纤维长度均值：，∵，∴该批保暖絮片合格﹒19.如图，为平行四边形，，将沿翻折到位置且.（1）求P、C两点之间的距离；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)延长到E，使，连接.证明CE⊥平面PDE，依据勾股定理可求PC长度；(2)取中点O，连接，以分别为x，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DPB和平面CPB的法向量，利用向量法即可求解二面角的余弦.【小问1详解】延长到E，使，连接.由己知得为平行四边形，故.又，∴，则，∵PD∩AE＝D，∴平面，∴平面，∴，∵，∴，又，∴为等边三角形，故.又，∴；【小问2详解】由(1)知为矩形，取中点O，连接，则OP⊥DE，则OP⊥平面BCED，如图，以分别为x，z轴建立空间直角坐标系，则..设平面的法向量为，则，即，取，故，设平面的法向量为，则，即，取，故，∴，由已知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.20.已知椭圆的左，右焦点分别为､，动直线过与相交于，两点.若：是其中一个的内切圆.（1）求椭圆的方程；（2）求内切圆半径的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据题意得，再利用椭圆定义求解即可；（2）依据题意得，，设直线的方程为：，联立求出韦达定理，整理求最值即可.【小问1详解】由已知方程为：，圆心，半径为.由已知得，故，由，解得故，所以，.所以椭圆的方程为.【小问2详解】设内切圆半径为，面积为，，则，又，所以，设直线的方程为：，与椭圆联立整理得，则.由，所以所以，令，则，当且仅当即时取等号.故内切圆半径的最大值为.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要留意：(1)留意视察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算实力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知函数，函数在处取得最大值.（1）求a的取值范围；（2）当时，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，然后推断函数的单调性进而可求极值，从而可得出结论；（2）方法一：结合（1）的结论可知只需证即可，然后构造函数，从而证得其最小值大于0即可；方法二：结合（1）的结论可知只需证即可，进而分别构造函数令和，然后结合函数的图象与性质即可得出结论.【小问1详解】明显，由已知得.故.若，当时，；当正数时，.有最小值，不符合题意.若，当时，；当时，.有最大值，故a的取值范围为.【小问2详解】由（1）知，当时，，所以.当时，因为，只需证，即证令，设，故在上为增函数.所以，所以存在，使得，此时.当时，，即；当时，，即.故.又因为在为减函数，且，所以故当时，，即，所以.综上，当时，.解法二：由（1）知，当时，，所以.当时，因为，只需证，即证.令在上单递增，所以；令，由得.当时，单调递增；当时，单调递减.当时，，故所以综上，当时，.【点睛】不等式证