高中数学同步导学-(303)事件与概率

3.1随机事件的概率

(一)基础知识梳理：

1.事件的概念：在一次试验中出现的试验结果，叫做事件。一般用大写字母A,B,C,…表示。

2.随机事件的概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会在某个常数附近摆

动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A).

3.概率的性质：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率为0«P(A)41,

4。事件的和的意义：事件A、B的和记作A+B,表示事件A和事件B至少有一个发生。

5o互斥事件：在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥).

6.对立事件：事件A和事件B必有一个发生的互斥事件.A、B对立，即事件A、B不可能同时发生,

但A、B中必然有一个发生，这时P(A+B)=P(A)+P(B)=1即P(A+^)=P(A)+P(^)=1

当计算事件A的概率P(4)比较困难时，可以转化为计算它的对立事件了的概率，有P(A)=1—P(N).

(二)典型例题分析：

例1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()

A.至少有1个臼球，都是白球B.至少有1个白球，至少有1个红球

C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至少有1个白球，都是红球

例2.甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5%,和棋的

概率为59%,则乙胜的概率为.

(三)基础训练：

1.将一枚均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是()

A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定

2.某地气象局预报说：明天本地降雨概率为80%,则下面解释正确的是()

A.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨B.明天本地下雨的机会是80%

C.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨D.以上说法均不正确

3.下面事件：①若a、bCR,则a・b=b・a；②某人买彩票中奖；③6+3>10；

④抛一枚硬币出现正面向上.其中必然事件有()

A.①B.②C.③④D.①②

4.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分

得红牌”与事件“乙分得红牌”是()

A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对

5.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“所得点数是1、2”，事件B表示“所得点数大于4”，

则P(A+B)=.

6.袋中有12个小球，分别为红球，黑球、黄球、绿球，从中任取1球，得到红球的概率是工，

3

得到黑球或黄球的概率是—,则得到绿球的概率是.

3.2古典概型

(一)基础知识梳理：

1.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果，称为一个基本事件

基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点：

(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2.等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有〃个，而且所有结果都是等可能的，

这种事件叫等可能性事件.

3.古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)每个基本事件出现的可能性相等。

4,古典概型的概率计算公式：对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n,随机事件A包含的基本

事件数为m,那么事件A的概率定义为P(A)=3。

n

(二)典型例题分析：

例1.将一枚质地均匀的硬币连掷三次，则事件“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率是.

例2.(2014全国新课标I文)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书

相邻的概率为.

例3.(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中I只白球，1只红球，2只黄球，从中一次

随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.

例4.(2006福建文)每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)

(I)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；(II)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率;

(三)基础训练：

1.(2016天津文)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是,，甲获胜的概率是工，则甲不输的概率

23

为()

52,、11

(A)—(B)—(C)—(D)—

6563

2.(2016全国I文)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，

余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()

112、5

(A)—(B)—(C)一(D)—

3236

3.（2016全国m文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是“，/,N中的一

个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）

4.（2016北京文）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）

5.（2015全国新课标I卷文）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一

组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）

3

(A)—(B)-(D)—

10520

6.（2015广东文）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,

恰有一件次品的概率为（）

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

7.（2014江西文）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）

8.（2013全国新课标I文）从123,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的

概率是（）

A.gB.|C.；D.土

9.（2013江西文）集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是（）

2-clnl

A.-B.-C.-D.-

3326

10.（2013安徽文）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会

均等，则甲或乙被录用的概率为（）

,、2239

(A)-(B)y(C)-(D)—

3510

11.（2008江西文、理）电子钟一天显示的时间是从0（）：00到23：59,每一时刻都由四个数字组成，则一

天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（）

i1C击1

A.B.---D.

180288480

12.（2011全国新课标卷文、理）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学

参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）

,、1123

（A）-（B）-（C）-（D）-

3234

13.（2007江西文）一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有枣

回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不少于15的概率为（）

14.（2014江苏）从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为。

15.（2013重庆文）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为.

16.（2014浙江文）在三张奖券中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人

都中奖的概率为.

17.（2013浙江文）从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是女同

学的概率等于.

18.（2013全国新课标II文）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是。

19.（2014全国新课标II文）甲乙两名运动员各自从红，白，蓝3种颜色的运动服从选择1种，则他们

选择相同颜色的运动服的概率为.

20.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩

具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.

21.（2007全国H文）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,

则指定的某个个体被抽到的概率为.

22.（2005重庆文）.若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为.

23.（2009湖南文）一个总体分为A,B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。

已知8层中每个个体被抽到的概率都为则总体中的个体数为

12

24.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随

机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.

25、（2016上海文）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两

种水果相同的概率为.

26.（2004广东）某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1

名女生当选的概率是（用分数作答）

27.（2016四川文）从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b,则log”b为整数的概率=.

28、（2010江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同

的概率是1

29.（2005重庆文）.若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为.

30（据2007山东理改编）设方程/+法+。=0的系数人和。分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.

（I）求方程x2+bx+c^0有两个不等实根的概率；（II）求方程x2+bx+c^0没有实根的概率；

3.3几何概型

（一）基础知识梳理：

1.几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比，则称

这样的概率模型为几何概型。

2.几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个：

（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。

3.几何概型事件的概率计算公式：

=构成事件A的区域长度（面积或体积）

（一实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

（二）典型例题分析：

例1.（2016全国I理）某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站

乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

1I23

(A)g(B)2(C)Q(D)a

例2.（2014福建文）如图，在边长为1.的正方形中，随机撒1000粒豆子,

有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积一为.

例3.（2015湖北理）在区间［0,1］上随机取两个数x,y,记口为事件“x+yzg”的概率，p2为事件

“|x-y|wg”的概率，化为事件“孙的概率，则()

A.pt<p2<p,B.p2Vp3VPi

C-Py<Pt<P2D.p3<P2<Pt

例4.（2013四川理）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互

独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯

同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）

（三）基础训练：

1.（2016全国n文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一

名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）

7

(A)(B)-(c)(D)

108iA

2.（2016全国II理）从区间［0,1］随机抽取2〃个数苞，声，…，乙，%，％，…，%，构成〃个

数对（％,y）,（%,%），…，（X,,，％），其中两数的平方和小于1的数对共有旭个，则用随机模拟的

方法得到的圆周率乃的近似值为（）

/、4〃，、2〃“、4加/、2m

（A）—（B）—（C）——（D）——

mmnn

3.（2014湖南文）在区间［-2,3］上随机选取一个数X,则X41的概率为（)

A.-B.3C.-D.-

5555

4.（2014辽宁文）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中

AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）

5.（2013湖南文）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使4APB的最大边是AB”发生的概

率为L,则

()

2AB

A.1

cB

224

6.（2009辽宁文）ABCD为长方形,AB=2,BC=1,0为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点,

取到的点到0的距离大于1的概率为（）

71兀Tt7t

(A)-(B)1——(C)-(D)1——

4488

7.（2015山东文）在区间［0,2］上随机地取一个数x,则事件+发生的概率为（）

22

321

(A)-(B)(D)-

434

8.（2015福建文）如图，矩形A8CD中，点A在x轴上，点8的坐标

x+l,x>0

为（1,0）.且点C与点。在函数/（九）=|1的图像上.若在

—x+1,x<0

I2

矩形A8CO内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）

9.（2016山东理）在［-1,1］上随机地取一个数屋则事件“直线产履与圆（x-5）2+>2=9相交”发生

的概率为.

10.（2014重庆文）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每

人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.（用数

字答）

11.（2013福建理）利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则时间发生的概率为

12.（2015重庆文）在区间［0,5］上随机地选择一个数p,则方程*2+2px+3p-2=0有两个负根的概率

为.

第三章“概率”综合练习题（一）

1.（2009福建文）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸

取一个球。（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

（II）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。

2.（2016山东文）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示

的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.

奖励规则如下：①若孙＜3,则奖励玩具一个；

②若孙28,则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.指针

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

（I）求小亮获得玩具的概率；

（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

3.（2011广东文）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用乙表示编号为〃（〃=1,2,…,6）

的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号〃12345

成绩7()76727072

（1）求第6位同学的成绩4,及这6位同学成绩的标准差S；

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率.

4.（2008海南、宁夏文）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对

某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10。把这6名学生的得分看成

一个总体。（1）求该总体的平均数：（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，

他们的得分组成一个样本•求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

5.（2015福建文）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报

道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的

“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.

（I）现从融合指数在［4,5）和［7,8］内的''省级卫视新闻台”中随机抽蛆号。分组2频数0

IdH5K2d

取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在［7,8］的概率；

2。叵6)28。

（H）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.3c

4d口冲3d

6.（2015北京理）A,3两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下:

A组：10,11.,12,13,14,15,16B组：12,13,15,16,17,14,a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A,B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选

出的人记为乙.（I）求甲的康复时间不少于14天的概率；

（II）如果。=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

（III）当a为何值时，A,B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

7.（2015全国新课标H卷文）某公司为了了解用户对

其产品的满意度，从48两地区分别随机调查了40个

用户,根据用户对其产品的满意度的评分，得到A地区0.040

用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意0.035

0.030

度评分的频率分布表.0.025

（I）在答题卡上作出5地区用户满意度评分的频率分0.020

0.015

布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均0.010

值及分散程度.（不要求计算出具体值，给出结论即可）0.005

B地区用户满意度评分的频率分布直方图满意度讨分

B埠区用户”意度评分的频数分布表

（H）根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级:满意度评分分组|[50,60)|[60,70)|[70,80)|[80,90)|[90,100)

研.IoQI14ITnIa

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分频率/组距

满意度等级不满意满意非常满意0.040

0.03」

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由.0.030

0.020

0.015

0.010

O.OOo

5060708090100满意度评分

第三章“概率”综合练习题（二）

1.（2013辽宁文）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.

试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率.

2.（2015安徽文）某企业为了解下属某部门对本企业职工.的服务情况，随机访问50名职工，根据这

50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

[40,50],[50,60],皿[80,90],[90,100]

（I）求频率分布图中。的值；

（II）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;

（III）从评分在[40,60]的受.访职工中，随机抽取2人,

求此2人评分都在[40,50]的概率.

3.（2015北京文）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,

整理成如下统计表，其中"V”表示购买，“X”表示未购买.

（I）估计顾客同时购买乙和丙的概率；商，

（H）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率;顾‘客\品.

甲Q乙。丙e丁。

（III）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那

种商品的可能性最大？

100・XdJ*

217。X。VPXPJQ

200d"cJaX。

300。XaJdXd

85。JdXPX。XQ

98dXdJdX。Xd

4.(2013山东文)某小组共有A,B,C,D,E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标

(单位：千克/米2)如下变远_____________________________________________

ABCDE

身高1.691.731.751.791.82

体重指标19.225.118.523.320.9

(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；

(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在［18.5,23.9)中的概率.

5.(2013天津文)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若

SW4,则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机

抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：

产品编号AxNA3.As

质量指标

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)

(r»»2)

(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品.

(i)用产品编号列出所有可能的结果；产品编号A6%A1。

(n)设事件8为“在取出的2件产品中，每件产品质量指标

(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)

的综合指标S都等于4"，求事件8发生的概率.(r,y,

6.(2015湖南文)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装

有2个红球A，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球力,生和2个白球4，4的乙箱中，各随机摸出1

个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果；

(H)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请

说明理由。

(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

8.(2015山东文)某中学调查了某班全部45名同学参加参加书法社团。未参加书法烟，

书法社团和演.讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加演讲社和即5。

(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一未参加演讲社团。2a加

个社团的概率；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A”A2,A3,A„A”3名女同学

B„B2,B-.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求4被选中且R未被选中的概率.

9.(2010福建文)设平顶向量区“=(m,1),2=(2,n),其中m,ne{1,2,3,4).

(I)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果；

(II)记”使得%，(%“也)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率。

10.（2010山东文）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

（I）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率：

（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的

编号为n,求〃<6+2的概率.

11.（2010广东文）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名

电视观众，相关的数据如下表所示：

文艺节目新闻节目总计

20至40岁401858

大于40岁152742

总计5545100

（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？.

（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？

（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。

12.（2014山东文）海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口

此种商品的数量（单位：件）如右表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进

行检测.

地区ABC

数量50150100

（I）求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量；

（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

第01讲事件与概率（参考答案）

（二）典型例题分析：例1.C.例2.18%.

（三）基础训练：1.B.2.B.3.A.4.200.

（四）巩固练习：LC.2.21

3.至少有一件是2级品4.

34

第02讲古典概型（参考答案）

（二）典型例题分析：例1.j.例2.2.例3.J.

815260

例4.解：（I）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P（A）="=*.

6x66

答：抛掷2次，向上的数不同的概率为2.

6

（1D设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。

•.•向上的数之和为6的结果有（1,5）、（2,4）、（3,3）、(4,2)、(5,1)5种,

55

P(B)

6x636

向上的数之和为6的概率为之.

答：抛掷2次,

36

5

（三）基础训练:1.C.2.A.3.D.4,—5.

337&I

（四）巩固练习:

11717（2）

1.B.2.A.3.C.4.—；5.—6.(1)茅

204536

第03讲随机数与几何概型

（二）典型例题分析：

例1.解：记A=｛投标击中小圆内｝,B=｛投标击中大圆与中圆形成的圆环）,C=｛投标击中大圆之外｝

正方形的面积为5=16?=256,小圆的面积为S=/rx22

1