2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第07讲 第五章章节综合检测（解析版）

第07讲第五章平面向量及解三角形章节综合检测本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023春·山东日照·高一统考期中）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且．若，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】因为，所以有，整理可得.故选：A.2．（2023春·山东菏泽·高一统考期中）的内角、、的对边分别为、、，若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设的外接圆半径为，由正弦定理可得，因此，.故选：C.3．（2023春·江苏宿迁·高一统考期末）向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（

）A． B．且C． D．且【答案】B【详解】由题可知，即，又向量不共线，所以，，所以实数k的取值范围为且.故选：B4．（2023春·浙江嘉兴·高二统考期末）已知为非零向量，且满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，即：，所以在上的投影向量为.故选：D.5．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）青岛五四广场主题钢雕塑（如图1）以单纯简练的造型元素排列组合成旋转腾空的“风”，通体火红，害意五四运动是点燃新民主主义革命的“火种”及青岛与五四运动的渊源．某中学数学兴趣小组为了估算该钢雕塑的高度，选取了与钢雕塑底部在同一水平面上的两点（如图2），在点和点测得钢雕塑顶端点的仰角分别为和，测得米，，则钢雕塑的高度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【详解】由题意得，，所以，，设，则，，在中，由余弦定理得，，即，解得，即米．故选：C6．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）在中，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由及正弦定理，得，，又,,.又，，，,的取值范围为.故选：A.7．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）已知，若点M是所在平面内的一点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

依题意，所以，，所以，所以.故选：C.8．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设的外接圆的半径为，可得，因为，由正弦定理得，所以的面积为，又因为为锐角三角形，可得，解得，则，所以，所以，所以的面积的取值范围为.故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·江苏连云港·高一统考期中）已知向量，，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】对于选项A：因为，故A正确；对于选项B：因为，则，故B错误；对于选项C：因为，则，且，所以，故C正确；对于选项D：因为，则，故D正确；故选：ACD.10．（2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（

）A．，，，有两解 B．，，，有两解C．，，，只有一解 D．，，，只有一解【答案】CD【详解】对于A，因为，，则，由正弦定理，得，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；对于B，，，，由正弦定理得，无解，B错误；对于C，，，，有，则，由正弦定理得，有唯一解，C正确；对于D，，，，有，则，此时，有唯一解，D正确.故选：CD11．（2023春·江苏南通·高一统考期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形，，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（

）

A． B．C．若，则λ＋μ的最大值为 D．的取值范围是【答案】ACD【详解】如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，连接，，连接，交于点，易得，在上，．过作，垂足为点，过作，垂足为点．由题意得，，所以，，所以，所以，A正确．计算，所以B错误；，所以，，所以，即，连接，取的中点，连接，则，所以，当点与点重合时取得最大值，所以的最大值为：，C正确；因为四边形为矩形，所以，，所以，当与重合时，取得最大值为，当与重合时，取得最小值为，所以的取值范围是，，D正确．故选：ACD．

12．（2023春·江西·高一校联考阶段练习）景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界.景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地上举办陶瓷展览会，已知，，E为边的中点.G，F分别为边，上的动点，，举办方计划将区域作为白瓷展览区，则白瓷展览区的面积可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】解：设，则，由，，得，易得，，则，，由，得，得，则.因为，，所以白瓷展览区的面积可能是，.故选：BC三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）在中，内角A，，所对的边分别为，，，若，，，则______．【答案】【详解】，由正弦定理得，即，得．故答案为：14．（2023·河南·校联考模拟预测）向量的夹角为，定义运算“”：，若，则的值为___________.【答案】【详解】因为，所以，则，所以.故答案为：.15．（2023春·江苏南京·高一统考期中）如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为__________．

【答案】【详解】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设，

因为，且，故，故，，故，而，故，故，即，所以，当时，.故答案为：16．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）在中，是边上一点，且，若是的中点，则__________；若，则的周长的最大值为__________.【答案】//【详解】因为是的中点，则，，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，若，，，由上述知，所以，则，故，则，在中，由余弦定理得，即，则，即，当且仅当时，等号成立，故，即的周长的最大值为.故答案为：；.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·陕西西安·高一统考期末）已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，因为，所以，解得．（2）由题意可得，，因为，所以，解得．18．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）如图，在中，点是边上靠近点的三等分点，点是线段上的动点．

(1)若，求；(2)若交于点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为点是边上靠近点的三等分点，所以根据向量的线性运算法则，可得，因为，所以．所以．（2）由题可知三点共线，分别为线段上的动点，所以由平面向量基本定理，得．同理．因为，所以．所以①,②．①+②得．因为，所以．故的取值范围为19．（2023春·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，.(1)求；(2)求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，根据余弦定理可知，所以，又，得，因为，所以.（2）因为，，由余弦定理，即，由于，所以，即（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以时的面积最大，最大值为.20．（2023·全国·高一专题练习）在中，角的对边分别为，.(1)若，求；(2)若，点在边上，且平分，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，则，，又，，则，又，所以，则.（2）由（1）知，则，由得，即，则，即，解得，所以的面积.21．（2023春·天津南开·高一统考期末）已知的内角的对边分别是，，，且，．(1)求角A；(2)求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由正弦定理，可得，则周长，因为，则，可得，所以周长即周长的取值范围为.22．（2023春·山东聊城·高一统考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．

(1)求边的长度；(2)若，求的余弦值；(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围．【答案】(1)