高中数学课题之导数及其应用

第五章导数及其运用

学问网络

第1讲导数的概念及运算

★知识梳理★

1.用定义求函数的导数的步骤.

(1)求函数的变更量(2)求平均变更率包.(3)取极限，得导数/'(xo)=lim”.

AxArf0A%

2.导数的几何意义和物理意义

几何意义：曲线/(x)在某一点(xo，yo)处的导数是过点(xo，为)的切线的

物理意义：若物体运动方程是5=s(t),在点P(iss(to))处导数的意义是1=10处

的___________

解析：斜率.；瞬时速度.

3.几种常见函数的导数

C=0(c,为常数)；(x")'=nx"^'(ne/?);

(sinx)=；(cosx)=；

(Inx)'='；(logax)'=-log“e；

XX

(e*)'=e*；(ax)-a'Ina.

解析：cosx;-sinx;

4.运算法则

①求导数的四则运算法则：

(U±V)-U±V;(MV)--；(凹)=(v^O).

uv-uv

解析：UV+UV;---j——

V

②复合函数的求导法则：£(*(x))=八")°。)或丫；=)”“，

★重难点突破★

1.重点：理解导数的概念与运算法则，娴熟驾驭常见函数的计算和曲线的切线方程的求法

2.难点：切线方程的求法及复合函数求导

3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率，再利用函数的性质解决有关的问题.

(1)平均变更率的实际含义是变更量与自变量的变更量的比。

问题1.比较函数/(x)=2X与g(x)=3'，当xe[1,2]时,平均增长率的大小.

(2)求复合函数的导数要坚持“将求导进行究竟”的原则，

问题2.已知y=(1+cos2x)2,则y'=.

(3)求切线方程时已知点是否切点至关重要。

问题3.求)，=2炉+3在点尸(1,5)和2(2,9)处的切线方程。

★热点考点题型探析★

考点1：导数概念

题型1.求函数在某一点的导函数值

［例1］设函数/(X)在/处可导，则!吧二02二乌2等于

A./'(xo)B.-/(X。)C./(X0)D.-/(xo)

【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式上^=r(x。)

A-OAx

考点2.求曲线的切线方程

［例2］(高超一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数＞=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=—X+8,则

/(5)+/'(5)=.

题型3.求计算连续函数y=/(x)在点X=X。处的瞬时变更率

［例3］一球沿一斜面从停止起先自由滚下，10s内其运动方程是s=s(t)=F(位移单位：加,时间单

位：s),求小球在t=5时的加速度.

【名师指引】计算连续函数y=/(%)在点x=x0处的瞬时变更率的基本步骤是

］计算Ay=/(X。+—/(X。)

AxAx

2.计算lim—

【新题导练】.

1.曲线y=上和y=f在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.

x

2.某质点的运动方程是S=-(21-1)2,则在匕Is时的瞬时速度为()

A.-1B.-3C.7D.13

3.已知曲线与。2：)=—(犬一2)2,直线/与G、。2都相切，求直线/的方程.

考点2导数的运算

题型1:求导运算

［例1］求下列函数的导数：

(1)y=excosx(2)y=x2+tanx(3)y=ln(x+l)

11

(3)y--------(x+1)=------

x+1x+1

x

【名师指引】留意复合函数的求导方法(分解-求导-回代)；留意问题的变通：如丁=&7的导数简洁求错，但＞=土

e'

的导数不易求错.

题型2:求导运算后求切线方程

2,,

例2.(广州市2008届二月月考)已知函数--x-2ax'+3x(xeR).

(1)若a=l,点P为曲线y=/(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

(2)若函数y=/(x)在(0,内)上为单调增函数，试求满意条件的最大整数a

例与曲线)，=!/相切于p(6e)处的切线方程是()

e

A.y=ex-2B,y=ex+2C.y=2x+eD.y=2x-e

题型3:求导运算后的小应用题

例3.某市在一次降雨过程中,降雨量与时间f（min）的函数关系可近似地表示为y=/⑺=历,则在时刻f=40min的

降雨强度为（）

A.20mmB.400mmC.—tnm/mnD.—mm/mn

24

【新题导练】.

4.设函数/(x)=x(x+&)(x+2幻(x-3Z),且/'(0)=6,则左=

5.设函数/（x）=（x-a）（无一切（x-c）,（4、b、c是两两不等的常数），

e。bc

贝!J--------1----------1--------=.

/⑷f'S）fXc）

6.质量为10kg的物体按s（r）=3/+f+4的规律作直线运动，动能E=,则物体在运动4s后的动能是

★抢分频道★

基础巩固训练

1.（广东省六校2009届高三其次次联考试卷）/'（X）是/。）=：/+2犬+1的导函数，则/'（一1）的值是.

7T

2.（广东省2008届六校其次次联考）y=xcosx在x=-处的导数值是.

3.已知直线x+2y—4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点,O是坐标原点，P是抛物线的弧人须上求一点P,当△雨8面积最

大时，P点坐标为.

4.（广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试）已知f（x）=gx,g（x）=gd+即+g（m<0）,直线/与函数“幻、g（》）

的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为L求直线/的方程及加的值；

5.（湛江市试验中学2009届高三第四次月考）已知函数/。）=山羽8（%）=3/+。（4为常数）,直线/与函数尸（力送。）的图

象都相切，且/与函数f（x）图象的切点的横坐标为1,求直线/的方程及a的值；

综合拔高训练

6.对于三次函数/（x）=a?+灰2+cx+d（aH0）,定义：设/〃（幻是函数y=/（x）的导函数y=/'（x）的导数，若

/〃（x）=0有实数解4,则称点（x0,/（x。））为函数y=f（x）的“拐点”。现已知/（幻=》3-3/+2》一2,请解答下列问题：

（1）求函数/（x）的“拐点”A的坐标；

（2）求证/（x）的图象关于“拐点”A对称;并写出对于随意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要

求证明）.

7.已知定义在正实数集上的函数/(x)=+2ca,g(x)=3/[nx+。，其中。>()。设两曲线y=/(》),〉=g(x)有公共点,

且在公共点处的切线相同。

(1)若a=l,求b的值；

(2)用〃表示人，并求〃的最大值。

8.设三次函数/(冗)=必？+力*2+5+〃(4<。<。),在％=1处取得极值，其图象在无=相处的切线的斜率为一3。。求证：

0<-<1；

a

第2讲导数在探讨函数中的应用

★知识梳理★

1.函数的单调性与导数的关系

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间(。,份内，假如r(x)>0,那么函数y=/(x)在这个区间内:假如r(x)<0,那么函数y=/(x)

在这个区间内.

解析：单调递增；单调递减

2.判别内⑹是极大、微小值的方法

若X。满意:(%)=0,且在/的两侧/(x)的导数异号，则方是/(X)的极值点，/(%)是极值，并且假如r(x)在X。

两侧满意“左正右负”，则X。是/(X)的,/(X。)是极大值；假如/'(X)在X。两侧满意“左负右正”，则/是/(X)的

微小值点，/(%))是

解析：极大值点；微小值.

3.解题规律技奇妙法总结：求函数的极值的步骤：

⑴确定函数的定义区间，求导数r(X).

⑵求方程，(x)=0的根.

⑶用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查

/'(X)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么/(X)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么/(X)在这个根处取得微

小值；假如左右不变更符号，那么/(X)在这个根处无极值.

4.求函数最值的步骤：(1)求出f(x)在(a,b)上的极值.(2)求出端点函数值/(a),/(。).

(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

★重难点突破★

1.重点：熟识利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，娴熟驾驭求常见函数的单调区间和极值与最值的方法

2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题

3.重难点：借助导数探讨函数与不等式的综合问题

(1)在求可导函数的极值时，应留意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。

问题1.设a20,/(x)=x-l-ln2x+2«lnx(x>0).令F(x)=W\x),探讨尸(x)在(0,+8)内的单调性并求极值；

(2)借助导数处理函数的单调性，进而探讨不等关系关键在于构造函数.

问题2.己知函数/(x)是(0,+8)上的可导函数，若矿(x)>/(x)在x>()时恒成立.

(1)求证：函数g(x)="。在(0,+8)上是增函数；

X

(2)求证：当％]>0,工2>0时，有/(尤1+々)>/(X]+X2),

★热点考点题型探析★

考点1：导数与函数的单调性

题型1.探讨函数的单调性

——，x<1

例1(08广东高考)设ZeR,函数/(x)=«l—x，F(x)=f(x)-kx,XGR,试探讨函数P(x)的单调性.

—yjx—1,X21

【名师指引】解题规律技奇妙法总结：求函数单调区间的一般步骤.

(1)求函数/(x)的导数r(x)(2)令/'(x)2O解不等式，得x的范围就是单调增区间;令/'(x)4O解不等式，得x的范

围就是单调减区间(3)比照定义域得出结论.

[误区警示]求函数单调区间时，简洁忽视定义域，如求函数y=ln(x+l)-；d-x的单调增区间，错误率高，请你一试，该

题正确答案为(—1,0).

题型2.由单调性求参数的值或取值范围

例2：若/(3)=。？+工在区间上单调递增，求a的取值范围.

【名师指引】：本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特殊留意导数值等于零的用法.

题型3.借助单调性处理不等关系

例3.x>0,求证当e*>l+x

【新题导练】.

1.若函数/(X)=*3—以2+1在。2)内单调递减，则实数。的取值范围是

A.a23B.a=2C.aW3D.0<a<3

2.函数片x3+x的单调增区间为

3.已知函数/(x)=In,g(x)=—(6/>0)F(x)=/(x)+g(x).

x

(I)求函数/(X)的单调区间；

(n)若以函数y=F(x)(xe(0,3])图像上随意一点P(x0,%)为切点的切线的斜率k<-恒成立，求实数。的最小值；

考点2:导数与函数的极值和最大(小)值.

题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值

1jr

例1.若函数f(x)=/ncosx+5sin2x在x=1处取得极值，则m.

推断单调性.

例2.(2008•深圳南中)设函数/(x)=—x(x—a)?(xeR),其中a>0,求函数/(x)的极大值和微小值.

例3.(广东省深圳外国语学校2009届高三上学期其次次统测)已知函数/(x)=xlnx.

(I)求/(力的最小值;

(II)若对全部X21都有/(x)2av-l,求实数a的取值范围.

例3.(广东省六校2009届高三其次次联考)

己知函数/(x)=—/+以2+法+c图像上的点P(l,—2)处的切线方程为y=-3尤+1.

(1)若函数/(x)在x=-2时有极值，求“X)的表达式

(2)函数/(x)在区间［-2,0］上单调递增，求实数b的取值范围

【新题导练】

4.)=—/一2x+3在区间&2］上的最大值为"，则。=()

4

3111-3

A.——B.—C.——D.一或——

22222

5.-3/+2在区间［一1,1］上的最大值是

A.-2B.0C.2D.4

6.已知函数_/'(幻=奴3+0工+£/(4*0)是/?上的奇函数，当x=l时/(X)取得极值-2.

(1)求/(X)的单调区间和极大值；

(2)证明对随意％€(一1，1)，不等式1/(为)一/(々)|<4恒成立.

★抢分频道★

基础巩固训练

1.(广东省六校2009届高三其次次联考试卷)

函数/(X)的定义域为开区间(4力)，导函数广(X)在(。淮)内的图象如图所示，则函数/(x)

在(a,份内有微小值点共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.函数y=l+3x-d有（）

A.微小值-1,极大值1B.微小值-2,极大值3

C.微小值-2,极大值2D.微小值-1,极大值3

3.函数y=/(x)=lnx—x,在区间(O,e］上的最大值为

A.l-eB.-1C.—eD.O

4.(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三其次次月考)若a>l,求函数/(x)=V7-ln(x+a)(xe(0,+a)))的单调区间.

5.(汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考)已知函数，(x)=@父+3/一户1,问是否存在实数a,使得f(x)在(0,

4)上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。

综合拔高训练

6.(东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试)己知函数f(x)=ax、bx2—3乂在*=±1处取得极值.

(1)求函数f(x)的解析式;

(II)求证：对于区间［-1,1］上随意两个自变量的值X”X2,都有|f(xO-f(xz)|W4；

(III)若过点A(1,m)(m#—2)可作曲线y二f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

7.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)

Inx

已知/(x)=ox—lnx,x£(0,e］,g(x)=---，其中c是自然常数，aeR.

x

(I)探讨a=1时，/(x)的单调性、极值；

(II)求证：在(I)的条件下，/(x)>g(x)+g；

(III)是否存在实数。，使/(x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

8.(潮南区08-09学年度第一学期期末高三级质检)已知函数/(x)=JTTT-alnx(aeR)

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：lnx<Vx+T

第3讲导数的实际应用

★知识梳理★

利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：

★重难点突破★

1.重点：利用于数学学问建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。

2.难点：建模的过程

3.重难点：仔细审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题.

(1)关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题

问题1：路灯距地平面为8机，一个身高为1.66的人以84〃7/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C,沿某直

线离开路灯，求人影长度的变更速率V.

点拨：利用导数的物理意义解决

设路灯距地平面的距离为。C,人的身高为£3.设人从C点运动到B处路程为x米，时间为f(单位：秒)，AB为人影长度，

设为y,则

---二二，又84/〃/min=L4〃?/s,...y=—x=一z(x=1.4r)

y+x8)420

77

y=—,.♦•人影长度的变更速率为一m/s.

2020

(2)利用导数处理最大(小)值问题是高考常见题型.

问题2.(2006•江苏)请您设计一个帐篷。它下部的形态是高为1m的正六棱柱，上部的形态是侧棱长为3m的正六棱锥(如

右图所示)。试问当帐篷的顶点。究竟面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

★热点考点题型探析★

考点：最优化问题

题型1.函数模型中的最优化问题

例1.设工厂到铁路途的垂直距离为20km,垂足为B.铁路途上距离B为100km处有一原料供应站

C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条马路.假如已知每千米的铁路运费与马路运费之

比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？

例2.某产品按质量分为10个档次，生产第一档（即最低档次）的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但在

相同的时间内产量削减3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件洞在相同的时间内，生产第几档次的产品的总利润最大?

有多少元？

题型2:几何模型的最优化问题

【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.

例3.（07上海春季高考）某人定制了一批地砖.每块地破（如图1所示）是边长为0.4米的正方形A8CD,点E、F分别在边BC

和CD上，ACFE、△A8E和四边形均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平

方米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形

（1）求证：四边形EFG”是正方形；AD

（2）E、/在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？\

题型3:三角模型的最优化问题

例4.若电灯B可在桌面上一点0的垂线上移动，桌面上有与点0距离为。的另一点A,问电灯与点0的距离怎样，可使点A

处有最大的照度？（N8A0=e，8A=r,照度与sin。成正比，与六成反比）

【新题导练】.

1.在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱

底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

2..一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与

速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？

★抢分频道★

基础巩固训练

1.我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段?答:_____________

据有关统计资料，我里儿童4日前身高,况有一罩统计数5

年0.511.522.533.54—

身0.50.60.70.80.91.01.01.1

高/米23353162

2.（2008•深圳6校）某日中午12时整，甲船自A处以的速度向正东行驶，乙船自A的正北18%加处以16Am/丸的

速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变更率是.

3.要建立一个长方体形态的仓库，其内部的高为3m,长和宽的和为20m,则仓库容积的最大值为1800m3.

4.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm,要使体积为最大，则其高应为.

5.质量为5kg的物体运动的速度为v=（18r-3r2）m/s,在时间t=2s时所受外力为N.

综合拔高训练

6.在长为100千米的铁路途AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离C4为20千米.由铁路上的B处向工厂供应原料，马

路与铁路每吨千米的货物运价比为5：3,为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一

条马路（如图）.

（1）将每吨货物运费y（元）表示成X的函数.A|V1004

⑵当X为何值时运费最省？20xDB

7.（广东省2008届六校其次次联考）设某物体一天中'C的温度7■是时间t的函数，已知

T（t）=at3+bt2+ct+d（a*0）,其中温度的单位是"C,时间的单位是小时.中午12:00相应的t=o,中午12:00以后相应的

t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4,下午16：00相应的t=4）.若测得该物体在早上8:00

的温度为8℃,中午12:00的温度为60。，下午13:00的温度为58℃,且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的

变更率.

（1）求该物体的温度7关于时间t的函数关系式；

（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？

8.今有一块边长a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子,

要使这个盒子容积最大，x值应为多少？

第4讲定积分与微积分的基本定理

★知识梳理★

1、定积分概念

定积分定义：假如函数/（X）在区间口,句上连续，用分点。=/＜玉＜工2＜＜X,.-1＜X,＜＜当=匕，将区间切等

n6_0

分成几个小区间，在每一个小区间［私心］上任取一点以，=1,2,…,〃），作和£二当“一＞8时，上

,=|n

述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数/（%）在区间［a,句上的定积分，记作［v,,x,］J"（x）公，即

f*/（x）^=limy—这里a、人分别叫做积分的下限与上限，区间［a向叫做积分区间，函数/（x）叫做被积函

J〃一＞8/-I

数，X叫做积分变量，f（x）办叫做被积式.

2、定积分性质

b

(1)^akf{x}dx=k^f(x)dx；

(2)J："(%)±£(x)W=J"(x)dx土JN(x心

(3)h

jaf(x)dx+Jcf(x)dx=J：f(x)dx(a<c<b)

3、微积分基本定理

一般地，假如/(x)是在口刈上有定义的连续函数，/(无)是在[a向上可微，并且尸(x)=/(x),则

「/")以=尸(份-尸(a),这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式，为了便利，经常把网力―F(a),

记作F(x)|：,即「f(x)dx=F(x)|>F(b)-F(a).

4.、常见求定积分的公式

hnn+h

(1)[xdx=-x't(«*-1)(2)\acdx^cx^a(C为常数)

J"n+1八

(3)J*sinxdx=-cosx|*(4)J:cosx<ix=sinx|：

h

(5)[a—dx=\nx^u(b>a>0)(6)I：

Jx

x

(7)=—|*(«>0Ka*l)

JIna

★重难点突破★

1.重点：定积分的计算和简洁应用。

2.难点；利用定积分求平面区域围成的面积

3.重难点：驾驭定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.

(1)弄清定积分与导数之间的关系

问题1.一物体按规律》=初3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比(比例常数为

人〉0),试求物体由x=0运动到》="时・，阻力所做的功.

★热点考点题型探析★

考点1:定积分的计算

题型1.计算常见函数的定积分

例1.求下列定积分

(1)11x3dx(2)|„sinxdx(3)j1—dx

例2.计算:侑sir?抻

题型3:计算分段函数定积分

例3.求]；|山|公

1x

题型4:定积分的逆运算

例4.

【新题导练】.

1.(广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试)计算：「,(sinx+2)dx=

考点2:定积分的应用

题型1.求平面区域的面积

例1求在[0,2加上，由x轴及正弦曲线y=sinx围成的图形的面积.

【名师指引】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：

第一步：画出图形，确定图形范围

其次步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限

第三步：确定被积函数，留意分清函数图形的上、下位置

第四步：计算定积分，求出平面图形面积

题型2.物理方面的应用

例2.汽车每小时54公里的速度行驶，到某处须要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，间从起先刹车到停车，汽

车走了多少公里？

【解题思路】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前

应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变更式.

答：汽车走了0.0373公里.

【名师指引】若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为i，=u(7)(uQ)20),由定积分的物理意义可知，作变速

运动物体在切时间

内的路程s是曲边梯形(阴影部分)的面积，

即路程s=J：v(t)dt；假如v(r)<0(a<t<b)

时，贝I路程s=-/»«)力.

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基础巩固训练

1.(2007年广东北江中学高三其次次月考)[6(X2+1)JX=_______

Jo

2.(2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题).

J1X

3.j2Jx2-=_______________________

4.已知，(工)=]:+?__时，=)恒成立

[1+x,xe(2,4]外3

5.求曲线丁=/，y=x及y=2x所围成的平面图形的面积.

综合拔高训练

6.设y=/(x)是二次函数，方程/(x)=0有两个相等的实根，且

f(x)=2x+2.

(1)求y=/(x)的表达式；

(2)求y=/(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

(2)若直线x=-t(0<1<1=把，寸(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.

7.抛物线y=ax?+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值

的a、b值，并求Smax.

8.设直线y=av(a<l)与抛物线y=V所围成的图形面积为s,它们与直线x=l围成的面积为T,若U=S+T达到最小值，求“值;

并求此时平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积.

当ae(0,,U'<0

当时，U、0

故，当"争寸"最小值为dy=ax

⑵当a<0时，如图2

由)'="：得交点(0,0)和(a,Y)

y=x

cf°z2xi⑷2工3

S=J(tlx-x)dx=(—-----)

/a3a3

-------1-----------

236

7=［*2-词心=(5-券

1a_1a

3~2"3-2

；.U=S+T=-《-@+L

623

U'=-----<0

32图2

所以函数U⑷在(-oo,0)上单调递减.

故函数U(a)无最小值。

当a=0时，明显无最小值。

V2+1

V=---------71

30

第五章综合检测

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.已知函数y=/(x)=x2+l,则在x=2,Ax=0.1时,Ay的值为

A.0.40B.0.41C.0.43

解析:由函数值的增量公式”=/仅0+4»-7%),得4，=/(2+0.1)—/(2)=(2+0.1)2+1—(22+1)=0.41.答案3

2.函数y=(2x—l)3的图象在(0,-1)处的切线的斜率是()

A.3B.6C.12D.-1

ro

3.j(x-ex)dx=()

1313

A-1——B-1C——+-D——

e2e2

4.函数y=4x--,在［一1,2］上的最大、最小值分别为()

A./(1),/(-1)B./(1),/(2)C./(-1),/(2)D./(2),/(-l)

5.下列结论中正确的是()

A.导数为零的点肯定是极值点

B.假如在X。旁边的左侧/'(x)>0,右侧/,'(xXO,那么f(x。)是极大值

C.假如在X。旁边的左侧/,(%)>0,右侧/'(X)<0,那么/(与)是微小值

D.假如在x0旁边的左侧/'(x)<0,右侧/'(x)>0,那么/(%)是极大值

6.如图是函数y=f(x)的导函数片/'(x)的图象，则下面推断正确的是

A.在区间(一2,1)内/(x)是增函数B.在(1,3)内/(x)是减函数

C.在(4,5)内Hx)是增函数D.在x=2时/(x)取到微小值

7.函数y=x3-2