2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第03讲 数列求通项（解析版）

第03讲数列求通项目录TOC\o"1-2"\h\u题型一：法 1角度1：用，得到 1角度2：将题意中的用替换 3角度3：作差法 4题型二：数列前项积做商法 7题型三：累加法 10题型四：累乘法 12题型五：构造法 14题型六：倒数法 16题型七：隔项等差数列 18题型八：隔项等比数列 21题型九：递推关系求通项 24题型一：法角度1：用，得到典型例题例题1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项；【答案】(1)【详解】（1）当时，，∴，当时，由①，得②，①－②得，，∴，∴，又，∴是首项为，公比为的等比数列，∴．例题2．（2023·全国·高三对口高考）根据下面的条件，求以下各个数列的通项公式：(1)已知数列的前n项和满足；【答案】(1)【详解】（1）解：数列的前n项和满足，当时，可得，当时，不符合上式，所以数列的通项公式为.例题3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足,(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由，得，当时，，解得，当时，，化简得，∴数列是以为首项，为等差的等差数列，所以.角度2：将题意中的用替换典型例题例题1．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知是数列的前项和，满足，且.(1)求；【答案】(1)【详解】（1）因为，显然，所以，即，所以，所以，又当时，也满足，所以.例题2．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知正项数列的前项和为，且，（且）.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）∵，∴，又，∴，∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴，∴，当时，，当时，，满足上式，∴数列的通项公式为；角度3：作差法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）已知，①当时，；当时，，②①-②得，所以，当时，相符，所以.例题2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数满足，的前项和为.(1)求数列的通项公式及前项和；【答案】(1)【详解】（1）由题可知：①当时，当时，②由①-②得：，即，检验符合，∴，.题型一精练核心考点1．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）数列的前项和为，，若该数列满足，则下列命题中错误的是（

）A．是等差数列 B．C． D．是等比数列【答案】C【详解】对于A，当时，由得：，，即，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，A正确；对于B，由A知：，，B正确；对于C，当时，，经检验：不满足，，C错误；对于D，由B得：，，又，是以为首项，为公比的等比数列，D正确.故选：C.2．（2023春·河南南阳·高二镇平县第一高级中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）∵，，当时，，∴．由，，两式相减可得：．∴，又．∴是以4为首项，2为公比的等比数列，∴．3．（2023·云南·校联考二模）正项数列的前n项和为，已知．(1)求证：数列为等差数列，并求出，；【答案】(1)；；【详解】（1）由可得，，又因为为正项数列的前n项和，所以，因为，所以，所以，数列为等差数列，所以，，，所以.4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1），两式相减得：，由于，则，当时，，得，，则，所以是首项和公差均为2的等差数列，故．5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且有．求数列的通项公式；【答案】【详解】由题，当时，，∴；当时，由，所以，两式相减，得，∴．当时，，∴．6．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知正项数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）∵，当时，，两式相减得：，整理得，

∵，∴，当时，，∴（舍）或，

∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则；题型二：数列前项积做商法典型例题例题1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.(1)求数列和的通项公式;【答案】(1),【详解】（1）当时,,∴,当时,,化简得,∵,∴,∴数列是首项为,公差为的等差数列,∴.当时,,当时,，当时也满足，所以.例题2．（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且.(1)求的通项公式；【答案】(1)，【详解】（1）由，得，两式相减，得，所以，又，所以，当时，，所以，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以.当时，；当时，，满足上式.所以.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项的积为，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【详解】，，，，可得；当时，，，∴，∵时，，∴，∴当时，，当时取等号，综上，当或5时，取最大值.故选：A．2．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知数列的前n项之积为，且，．(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由题意得，，．所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，则．当时，由，得，则，对也成立，故．3．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项积为，若，．(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由题意得，所以．因为当时，，所以当时，，整理得，所以，即当时，，所以当时，，即，又符合上式，所以．4．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知数列的前n项和为，为数列的前n项积，满足（n为正整数），则___________；___________．【答案】2【详解】当时，，所以，即，，所以；由，得，时，，所以，得，即，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，故答案为：2；题型三：累加法典型例题例题1．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）在数列中，，，则等于（）A．4 B． C．13 D．【答案】A【详解】依题意，在数列中，，，即，所以.故选：A例题2．（2023·江苏·高二专题练习）已知数列满足：，，，则______．【答案】.【详解】因为，，所以当时，有，因此有：，即，当时，适合上式，所以，故答案为：.精练核心考点1．（2023·江苏·高二专题练习）数列中，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得：，则，，…，，各式作和可得：，又，，.故选：B.2．（2023·江苏·高二专题练习）数列中，且，则_________.【答案】100【详解】∵，∴∵=9，即=9，解得n=100故答案为：100题型四：累乘法典型例题例题1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足,,则（

）A． B．C．数列为递增数列 D．数列为递减数列【答案】BC【详解】因为数列满足，，，则当时，，，……，，所有的式子相乘得，即，当时也符合通项，故，数列为递增数列，故选：BC例题2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列满足，．(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由及，得，所以，当时，有．当时，，符合上式，所以．例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知正项数列满足.求的通项公式；【答案】【详解】由可得：，因为为正项数列，所以，所以，则，……，，将这个式子相乘，则，又因为，所以精练核心考点1．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）已知，，则数列的通项公式是（）A．n B． C．2n D．【答案】C【详解】解：由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，因为，所以，故选：C．2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，上述各式相乘得，因为，所以，经检验，满足，所以.故选：D.3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知为等差数列，.(1)求的通项公式；【答案】(1)；【详解】（1）∵.∴，∴，∴；当时，满足上式，所以；题型五：构造法典型例题例题1．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知数列中，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，得，而，因此数列是首项为，公比为4的等比数列，则，即，所以.故选：C例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．【答案】【详解】解法一：因为，设，所以，则，解得，即，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法二：因为，两边同时除以得，所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，所以.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式．【答案】．【详解】因为，所以，又因为，所以数列是常数列0，所以，所以．精练核心考点1．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知数列满足，．(1)求证：数列是等比数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）因为，所以，又，所以是以为首项，以3为公比的等比数列；2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则_______．【答案】【详解】设，令得，所以；故，所以；，所以是首项为，公比为的等比数列，从而，故．故答案为：.题型六：倒数法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的通项公式．【答案】．【详解】，，则，则，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列．于是，．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．【答案】．【详解】由题意，，所以，则，而，故是以为首项，3为公比的等比数列．于是．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．【答案】【详解】令．先求出数列的不动点，解得．将不动点代入递推公式，得，整理得，，∴．令，则，．∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列．∴的通项公式为．将代入，得．∴．2．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求其通项公式．【答案】【详解】因为，所以特征方程为，解得,令，代入原递推式得,因为，所以，故,因此，，从而,又因为，所以．题型七：隔项等差数列典型例题例题1．（多选）（2023春·江西·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且，，，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．【答案】ACD【详解】解：根据，得，解得：，所以，当n为偶数时，，同理，当n为奇数时，，对于A,,故A正确，对于B,若数列是等比数列,即要求数列为等差数列，根据上述结论，数列不为等差数列，故B错误.对于C,,故C正确，对于D,,故D正确，故选：ACD.例题2．（多选）（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考开学考试）已知数列的前项和为，且，则（

）A． B．C．数列为等差数列 D．为奇数时，【答案】ABD【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，因为，则，对任意的，由可得，上述两个等式作差可得，所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，综上所述，，B对；对于C选项，，故数列不是等差数列，C错；对于D选项，当为奇数时，设，则，则，D对.故选：ABD.例题3．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)求；【答案】(1)【详解】（1）解法一：当为偶数时，设，，，所以．当为奇数时，设，则，，所以．综上，．解法二：因为，，所以，得，当时，，所以，所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以．精练核心考点1．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）已知数列中，，，，数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由得数列的奇数项为公差为4的等差数列，偶数项也为公差为4的等差数列，当为奇数时，当为偶数时，2．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知数列满足，，，则数列的前30项和为_______.【答案】465【详解】当为奇数时，，是首项为1，公差为1的等差数列；当为偶数时，，是首项为2，公差为3的等差数列；故答案为：465题型八：隔项等比数列典型例题例题1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知数列满足，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为数列满足，当时，，当,，又，两式相除可得，所以数列的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列，数列的偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，，故选：D例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.(1)设，求和的值及数列的通项公式；【答案】(1)，【详解】（1）由已知，所以，则，，则，，则；因此，，因为，，所以，即，故是为首项，为公比的等比数列，因此；精练核心考点1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列满足，且，．(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由，可得，所以，则，又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以，则，所以.2．（多选）（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）数列满足，，，为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】由，,得数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，故，故选项A正确；，故B选项错误；对于C中，奇数项通项公式为，偶数项通项公式为，当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项所以，当为偶数时，奇数项偶数项各有项，，所以C选项正确；对于D中，奇数项通项公式为，偶数项通项公式为，当为奇数时，为偶数，，当为偶数时，为奇数，，