吉林省白山市2024-2025学年高中数学第三次校内模拟考试试卷

Page10吉林省白山市2024-2025学年第三次校内模拟考试试卷满分：150分时间：120分钟一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，且，其中，为实数，则（）A.， B.，C.， D.，3.设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（）A.2 B. C.3 D.4.已知向量，满意，，，则（）A. B. C. D.5.数列中，，对随意，，，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.56.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（）A. B. C. D.7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.8.已知函数的定义域为，且，，则（）A. B. C.0 D.1二、多选题（每题5分，选错不得分，漏选得2分）9.已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（）A.若点在圆上，则直线与圆相切 B.若点在圆内，则直线与圆相离C.若点在圆外，则直线与圆相离 D.若点在直线上，则直线与圆相切10.已知，，且，则（）A. B.C. D.11.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象关于直线对称C.D.在上的值域为12.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）A. B. C. D.三、填空题（每题5分，共20分）13.已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为______.14.过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.15.已知两个单位向量，的夹角为，，若，则______.16.已知函数，，，函数的图象在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于，两点，则取值范围是______.四、解答题（17题10分，18-22每题12分）17.记的内角，，的对边分别为，，，已知（1）若，求；（2）求的最小值.18.记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：.19.设数列满意，（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和.20.已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.（1）若，求的方程；（2）若，求.21.矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上.（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程.22.已知函数.（1）当时，探讨的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：.数学参考答案：1.A2.A3.B4.D5.C6.A7.C8.A9.ABD10.ABD11.AC12.BC13.814.或或或15.2； 16. 17.（1）；（2）【详解】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.18.（1）（2）见解析（1）∵，∴，∴，又∵是公差为的等差数列，∴，∴，∴当时，，∴，整理得：，即，∴，明显对于也成立，∴的通项公式；（2），∴19.（1），，，证明见解析；（2）.【最优解】：通性通法由题意可得，，由数列的前三项猜想数列是以3为首项，2为公差的等差数列，即.证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对随意的，都有成立；[方法二]：构造法由题意可得，.由，得，，则，两式相减得.令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以.[方法三]：累加法由题意可得，，由得，即，，….以上各式等号两边相加得，所以.所以.当时也符合上式.综上所述，.[方法四]：构造法，，猜想.由于，所以可设，其中，为常数.整理得.故，，解得，.所以.又，所以是各项均为0的常数列，故，即.（2）由（1）可知，错位相减法，①，②由①②得：，即.20.（1）；（2）【详解】（1）设直线方程为：，，，由抛物线焦半径公式可知：∴联立得：则∴∴，解得：∴直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则∴∴，∵∴∴，∴则21.（I）边所在直线的方程为（II）矩形外接圆的方程为（III）动圆的圆心的轨迹方程为【详解】解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为.又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为..（II）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为.所以为矩形外接圆的圆心.又.从而矩形外接圆的方程为.（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即.点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长，半焦距.所以虚半轴长动圆的圆心的轨迹方程为（缺范围扣1分）22.（1）的减区间为，增区间为（2）（3）见解析（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设冲突.若，则，下证：对随意，总有成立，证明：设