三角函数的概念 课件 2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1三角函数的概念第五章三角函数人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标

通过上一单元的学习,对角度的认识拓展到了任意角,在角的度量的计算中学习了弧度制这个更方便的表示方法,这为本单元的学习打下了坚实基础.本单元中,我们从单位圆上点的运动规律,定义任意角的三角函数,并根据周而复始的特性,研究相同终边角的三角函数关系,以及从圆周上点的坐标关系出发,研究同角三角函数之间的关系.学习单元2

三角函数的概念

本单元的研究路径为:三角函数的概念——同角三角函数的关系.这是我们学习本单元的知识明线,具体内容结构如图所示:

本学习单元的最终目标是理解三角函数的概念,掌握并能应用同角三角函数关系的公式,并知道其推导过程.在此单元的学习过程中,通过概念、公式的理解、掌握、应用等,培养数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养.学习目标1.借助单位圆理解并掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.(数学抽象)2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.(数学运算)3.能利用三角函数的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.(数学抽象)4.通过对任意角三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.(数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点一:三角函数的概念概念前提如图,设α是一个任意角,它的终边OP与

相交于点P(x,y)

定义正弦

叫做α的正弦函数,记作sin

α,即

余弦

叫做α的余弦函数,记作cosα,即

单位圆

把点P的纵坐标y

y=sinα把点P

的横坐标x

x=cosα定义正切

叫做α的正切函数,记为tan

α,即=tan

α(x≠0)

三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数把点P的纵坐标与横坐标的比值

微思考初中学的锐角三角函数是否满足现在的定义?知识点二:三角函数值的符号sin

α,cosα,tan

α在各个象限的符号如下:记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦.”名师点睛正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.微思考如何理解并记忆三角函数在各个象限的符号?提示

根据三角函数的定义,,所以正弦的符号由y决定,所以一、二象限为正,三、四象限为负;余弦的符号由x决定,所以一、四象限为正,二、三象限为负;正切的符号由x,y同时决定,所以同号为正,异号为负,即一、三象限为正,二、四象限为负.知识点三:公式一1.语言表示:终边相同的角的

三角函数的值相等.

2.式子表示:(1)sin(α+k·2π)=

,

(2)cos(α+k·2π)=

,

(3)tan(α+k·2π)=

,其中k∈Z.

微思考如何理解并记忆公式一?同一

sinαcosαtanα提示

因为α+2kπ的终边与α相同,根据三角函数的定义,它们对应的三角函数相等.重难探究·能力素养速提升问题1任意角的三角函数是刻画周期变化的数学模型,如何研究单位圆上点的运动规律?问题2借助函数的研究经验,上述几何问题可以转化为什么代数问题来研究?任意角的三角函数如何定义?问题3任意角的三角函数与锐角三角函数之间有什么关联?探究点一利用三角函数的定义求三角函数值问题4三角函数的定义实质上是构建了角与坐标之间的函数对应关系,如何根据此对应关系求出相应的函数值?【例1】

求解下列各题:(1)若角α的终边与单位圆的交点是P(x,),则sin

α=

,cosα=

,tan

α=

.

分析

先求出x的值,再计算分析

利用三角函数的定义的推广求解.(3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cosα-sin

α=

.

分析

先在终边上取点,再利用定义求解.解析∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,延伸探究已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,4a),其中a<0,则sinα=(

)D解析

因为a<0,所以|a|=-a,因为角α的终边上有一点P的坐标是(3a,4a),故选D.规律方法

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sin

α=y,cos

α=x,tan

α=.(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.探究点二三角函数值符号的运用问题5根据三角函数的定义,可否确定相应角的三角函数值的符号?反过来,根据三角函数值的符号,可否确定角的范围?【例2】

(1)若sin

αtan

α<0,且

<0,则角α是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角分析

由已知条件确定出sin

α,cos

α的符号即可确定角α的象限.C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α异号,从而α为第二、第三象限角.由

<0可知cos

α,tan

α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.(2)判断下列各式的符号:①sin105°cos230°;

②cos3tan().分析

先判断每个因式的符号,再确定积的符号.解

①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°cos

230°<0.规律方法

判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础:准确确定各角所在象限;(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误当作角度导致象限判断错误.注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.探究点三公式一的应用问题6三角函数与众不同的是其周期性.因此,三角函数取值的规律性、各三角函数的相互联系性就是值得研究的性质.你能发现什么时候三角函数取值相等或相反吗?问题7由三角函数的定义知道,若角的终边位置相同,则相应的三角函数值是确定的,这体现了三角函数是典型的周期现象模型.据此,如何求出任意角的三角函数值?【例3】

求下列各式的值:(1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2tan765°-2abcos(-1080°);解

原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin

90°+b2tan

45°-(a-b)2tan

45°-2abcos

0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.规律方法

公式一的应用策略(1)公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2π角的三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数转化为0到2π角的三角函数,即把角实现“大化小,负化正”的转化.学以致用·随堂检测促达标12345678910A级必备知识基础练1.sin(-1080°)=(

)A.- B.1 C.0 D.-1C解析

sin(-1

080°)=sin(-3×360°+0°)=0.故选C.123456789102.在平面直角坐标系xOy中,已知角α的始边是x轴的非负半轴,终边经过点P(-1,2),则cosα=(

)C123456789103.(多选题)代数式sin(-330°)cos390°的值为(

)BC12345678910A12345678910B123456789106.已知角α的终边经过点P(x,-6),且tanα=-,则x的值为

.

10123456789107.已知角α的终边在直线y=3x上,求sinα,cosα,tanα的值.123456789108.求下列各式的值:(2)sin(-1380°)cos1110°+tan405°.123