高中数学《最小二乘估计》导学案

n.第日章统计

DIYlZHANG§1.8最小二乘估计

课前新知预习

［航向标.学习目标］

i.在探索多种方法确定线性回归直线的过程中，体会最小二乘的思想方法.

2.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

［读教材•自主学习］

1.最小二乘法：如果有〃个点：（X1，yi）,（X2，刈），…，（xn,%）,可以用下

面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度：

回［丫1-（a+公］）］2+卜2—（v+］2H----1-［%—（a+bx0］2.

使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为

园最小二乘法.

,be—_____X1+X2+…+*"m.___Vl+V2+••,+¥„

2.线性回归方程：如果用x表示工，用y表水~,

则可以求得8=

（X1二X）8二），）+&2-X）（），2-））H-----F（X„-X）（），"-y）=但

22

（X|-X）+（X2-X）+,,,+（xn-X）2

用+二十*，四-2九y.〃=歹一匕三.这样得到的直线方程称为线性回归方

•4+於H—I-焉一〃x2

程，a,。是线性回归方程的系数.

［看名师•疑难剖析］

1.求线性回归方程的步骤

⑴列表X”M，孙.

__nn

⑵计算x,y,£4,以必

/=1/=1

Y^iy—nxy

i=\

(3)代入公式。=-----------,o=y—求出A,a.

x2

i=\

A

(4)写出直线方程：y=hx+a.

2.线性回归方程系数公式的推导过程

首先将S—(4+人为)]2+[竺一3+bx2)]2H-----(a+bx”)]?化成关于未知数

a的一元二次多项式形式：

na2+2n(bx-y)a+[(y-bx\)2+(y2—bx*。+…+(y„—Z?x„)2]=+(Z?x-

22-2

y)f—〃Sx—y)+[(yi-i)+(y2bx^H----F(y„—Z?x„)]

因此当时，上式取得最小值，将这个关系代入上式，整理成关于

未知数b的一元二次多项式的形式：

22

[yi—(«+Z?Xi)]+[y2—(«+bx2)]-\----FD”—(a+bx,^

22

=[(yi—y)-b(x\—x)]+[(j2-y)~bg~X)]4-----卜[(y„­y)~b(xn—

x)]2

222

=/?[(x|—Xy+(X2-X)H-----F(x„—X)]—2&[(X1—X)-1—y)+(丁一x)(y2

22

—y)H-----<-(%„—x)(yM—y)]+[(yi—y)+(y2—y)-l-----b(y“一yf],因此，当b

(xi一x)(yi—)')+。2―%)(m—y)H-----x)&"-y)

(X1-X)2+(X2—X)2+X)2

n_____

Xxiyi-nxy

i=\

Xiyi十彳2丁2~1----|-%,加|一〃九

时点(修，yD(X2，")…(X",%)与直线y

於+於H----1-焉一〃x2

i=l

=a+bx最接近（注意并不是点到直线距离之和最小）.a,b的意义是：以。为基

数，x每增加一个单位，y相应的平均增加/?个单位.

课堂师生共研

考点一线性回归方程的概念

例1设有一个线性回归方程为y=4—2x,则变量x增加2个单位时（）

A.y平均增加1.5个单位B.y平均减少1.5个单位

C.y平均增加4个单位D.y平均减少4个单位

［解析］该题考查线性回归方程的两个变量之间的线性关系问题.由回归直

线方程y=4-2x,知斜率为一2,所以变量x每增加1个单位，y平均减少2个单

位，故当变量x增加2个单位时，）平均减少4个单位，所以选D.

［答案］D

类题通法

根据线性回归方程可获得对两个变量之间整体关系的了解，对于已知的变量

x,可以相应估计出变量y的值.

［变式训练1］工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的线性回归方程为y

=50+80x,下列判断正确的是（）

A.劳动生产率为1000元时，工资为130元

B.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高80元

C.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高130元

D.当月工资为210元时，劳动生产率为2000元

答案B

解析线性回归方程中匕的意义是当x增加一个单位时，y的值平

均变化。个单位，这是一个平均变化率.线性回归方程只能用于预测变量的值.

考点二求线性回归方程

例2每立方米混凝土的水泥用量式单位：kg）与28天后混凝土的抗压强度

y（单位：kg/cn?）之间的关系有如下数据:

X150160170180190200210220230240250260

y56.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7

求两变量间的回归直线方程.

［分析］由题目可获取以下主要信息：

①两变量具有线性相关关系；

②由两变量的对应数据求回归直线方程.

解答本题要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的

系数就都容易求出了.

［解］列表如下:

i123456

Xi150160170180190200

M56.958.361.664.668.171.3

孙8535932810472116281293914260

i789101112

Xi210220230240250260

yi74.177.480.282.686.489.7

孙155611702818446198242160023322

x=205,y=726

121212

Z>-=518600,2y=64572.94,力渺=182943

«=i/=iz=i

.182943—12X205X72.64347

"b=-518600-12X2052-=14300^0'304,

a=^-b~x=72.6-0.304X205=10.28.

A

于是所求的回归方程是y=0.304x+10.28.

类题通法

用公式求回归方程的一般步骤是：

①列表孙孙孙.

②计算x,y,ZAH£漱,以必

i=1i=1i=1

③代入公式计算力、a的值.

④写出回归直线方程.

［变式训练2］为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身

高数据如下：

父亲身高x(cm)174176176176178

儿子身高＞,(cm)175175176177177

则y对无的线性回归方程为（）

A.y=x-1B.y=x+l

C.y=88+5D.y=176

答案C

解析本题考查线性回归方程的求法.设y对x的线性回归方程为

-2X(—1)+OX(-1)+OXO+OX1+2X11

因为b=a=176—176=

(-2)2+2221

88,所以y对x的线性回归方程为y=1x+88.选C.

规范答题思维

规范答题线性相关关系的判断及线性回归方程的求解

［例］（12分）假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如

下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

（1）请画出上表数据的散点图，判断它们是否具有线性相关关系；若线性相关,

用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10年时，维修费用是多

少？

（一）精妙思路点拨

(二)分层规范细解

(1)散点图①如图所示:

年

由散点图可知，两变量之间具有相关关系，且为线性相关关系.4分

下面用最小二乘法求线性回归方程：

列表，计算

i12345

Xi23456

%2.23.85.56.57.0

孙4.411.422.032.542.0

49162536

弟=90,玄力=112.3②

x=4,y=5,

<=1/=1

设所求回归方程为：y=bx+a,则由上表可得

5____

»以一5xy

___________112.3-5X4X512.3,田

b~5—90-5X42—10—L23

i=\

8分

■^―②

a=y=5-1.23X4=0.08.

二线性回归方程为y=1.23x+0.08.10分

(2)把尤=10代入(1)中所求得的线性回归方程得：

y=1.23X10+0.08=12.38,11分

即使用年限为10年时，维修费用约是12.38万元③.12分

(三)来自一线的报告

通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的

①②③见分层规范细解过程)

在解答过程中，①处散点图的画法中，横、纵

①坐标的刻度选取不当，不易观察散点分布，

会丢失2分；或选取样本数据出现描点错

误，也会失2分.

失

分在解答过程中，②处的计算都很复杂，易出

②

警错，致使后面的解答也易出错，若出错，在考

示

试中最多得5分.

在解答过程中，由回归方程计算得到的

12.38万元只是一个预测值，是实际问题的

一个估计值，因此若最后③处回答中无“约”

字，则会失掉1分.

（1）在解题中注意运用数形结合法，正确地画出图形.

解

（2）求线性回归方程时，注意数字的运算技巧，提高

题

启运算能力.

示

（3）体会理解公式的作用，在记忆公式的同时，加深

理解公式的特点和规律.

（四）类题练笔掌握

以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据:

房屋面积Mn?）80105110115135

销售价格y（万元）18.42221.624.829.2

（1）画出数据对应的散点图；

（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；

⑶试预测90m2的房屋，销售价格是多少？（精确到0.01）

解（1）根据表中所列数据可得散点图如下：

由图可见两者之间是线性相关的.

(2)列表，计算：

i12345

Xi80105110115135

18.42221.624.829.2

X〉i14722310237628523942

xi640011025121001322518225

__55

x=109,y=23.2,)=60975,12952

2=1/=1

故可求得：

5_____

xy

1=1

b=

ixi-572

7=1

12952—5X109X23,2_

=―60975-5XI092—2°1962'

a=y-Z?x=23.2-0.1962X109=1.8142,

所以，线性回归方程为y=0196Zc+1.8142,回归直线如(1)中图.

(3)把x=90代入上述回归方程y=0.1962x+1.8142,

即^=0.1962X90+1.8142^19.47,即这种90m2的房屋，销售价格约是19.47

万元.

(五)解题设问

画出散点图的作用是什么？.

答案判断数据是否线性相关

检测学业达标

1.设有一个回归方程为y=2—1.5x,则变量光增加一个单位时()

A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位

C.y平均减小1.5个单位D.y平均减少2个单位

答案C

解析由相关系数的意义可知C正确.

2.线性回归方程表示的直线y=a+法必定过(

A.(0,0)点B.(x,0)点

C.(0,歹)点D.(x,

答案D

3.试验测得四组(x,>)的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则y与x之间的线

性回归方程为()

A.y=x+lB.y=x+2

C.y=2x+\D.y=x—1

答案A

解析作散点图，利用最小二乘法求线性回归方程.

4.施化肥量xkg与水稻产量ykg在一定范围内线性相关，若线性回归方程

为y=5x+250,当施化肥量为80kg时，预计水稻的产量为.

答案650kg

解析将x的值代入线性回归方程即可.

5.假设学生在七年级和八年级的数学成绩是线性相关的，若10个学生七年

级㈤和八年级0)数学分数如下：

X74717268767367706574

y76757170767965776272

试求七年级和八年级数学分数间的回归直线方程.

解因为三=71,£^=50520,

10

9=72.3,》科=51467,

51467—10X71X72.3

所以b=—50520-10X712=1.2182,

a=72.3—1.2182X71=—14.192.

A

回归直线方程是y=1.2182x—14.192.

课后梯度测评

一'选择题

1.过三点（3,10）,（7,20）,（11,24）的线性回归直线方程是（）

A.y=1.75-5.75%B.-1.75+5.75%

C.y=5.75+1.75xD.y=5.75—1.75x

答案C

解析根据求线性回归方程的方法，利用公式可得到答案.

2.抽测10只某种白炽灯的使用寿命尤，结果如下（单位：力：1067,919,1196,785,

A936,918,1156,920,918,若4=997,则/大约是（）

A.1120B.1124C.1155D.1128

答案C

3.在线性回归方程中，b表示（）

A.当x增加一个单位时，y增加a的数量

B.当y增加一个单位时，x增加b的数量

C.当x增加一个单位时，y的平均变化量

D.当y增加一个单位时，x的平均变化量

答案C

解析本题主要考查线性回归方程中m。的含义.

4.由一组样本数据8,yi）,（%2，）2），…，（X”，％）得到线性回归方程y=bx

+“，那么下列说法中错误的是（）

A.直线y=b:+a必经过点（x,y）

B.直线y=/zr+a至少经过点（修，力），（物”），…，（尤"％）中的一个点

y

f=l

C.直线y=bx+a的斜率为b=-----------

2

<=1

n

D.直线y=bx+a和各点（xi，%）,（检，"），…，（x”，%）的偏差的平方和

i=i

凶一（如+喇2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差的平方和中最小的

答案B

解析理解线性回归方程的真正含义.因为7=人工+。，其中三=/沏+%2

HFx„）»y=%i+y2Tl-yn）,显然回归直线经过点（x,y）.故A是正确的.回

归直线最能近似刻画点（汨，yi）,（X2,"），…，（X”，y”）的变化趋势，但并不一定

经过某些点.故B是错误的.对于C、D只需了解相应概念便会得出正确结论.

5.下列叙述中：

①变量间关系有函数关系，还有相关关系；

②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系；

n

③营商=修+尬+…

n__

"£（即一x）（y-y）__

④线性回归方程y=/?x+a中，b=71二，a=y~bx；

石（x-x）2

⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系.

其中正确的有（）

A.①②③B.①②④⑤

C.①②③④D.③④⑤

答案C

解析利用直接法逐个判断可知，①②③④正确，而⑤线性回归方程可以近

似地表示具有线性相关关系，而不能表示其他相关关系.

6.某化工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成份含量x之

888

间的相关关系，现取了8对观察值，计算得：石片=52,石％=228,,?肃=478,

8

X=RY=1849,则y与x的回归方程是（）

l1

AA

A.y=11.47+2.62rB.y=-11.47+2.62%

C.y=2.62+22.47xDj=11.47-2.62%

答案A

解析把题目所给的数据代入公式分别求系数。和人即可.

二、填空题

7.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万

元），调查显示年收入尤与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y

对尤的回归直线方程：；=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增

加1万元，年饮食支出平均增加万元.

答案0.254

解析本小题主要考查了利用回归直线方程，对数据进行估计.以x+1代X,

得0.254（x+1）+0.321,与0.254x+0.321相减可得,年饮食支出平均增加0.254

万元.

8.某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y（单位：元）的对应数据

如下：

X3528912

y46391214

__66

则尤=,y=,耳6=，N项y尸，回归

方程为.

A

答案6.58327396y=1.4x+0.571

6

解析根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，7=6.5,7=8,

6A

焉=327,石x,y=396,回归方程为y=1.4x+0.571.

9.假设学生在初中的英语成绩和高一英语成绩是线性相关的.现有10名学

解析求斜率即求回归方程中的。，按照公式进行即可,即需要依次计算出工

10_1051467-10X71X72.3

-71,gx--50520,y—72.3,石1%-51467,所以b-

50520-10X712

^1.2182,所以斜率为1.2182.

三'解答题

10.在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额有如下数据:

第几年12345678910

城市居

民年收入32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0

7（亿元）

某种商品

销售额25.030.031.037.039.041.042.044.048.051.0

y（万元）

（1）画出散点图；

（2）如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回

归方程.

解（1）散点图如图.

销售额（万元）

52

48

44

40

36

32

28

24

人人八人111111111___________-

0T303234363840424446年收入（亿元）

（2）由图可知，y与x线性相关，列表计算如下:

1乃y石”

132.225.0805

231.130.0933

332.934.01118.6

T=37.97,5=39.1

435.837.01324.69

10。

£—=14663.67,

537.139.01446.9r=1

10

638.041.01558=15202.9

/=1

739.042.01638

843.044.01892

944.648.02140.8

1046.051.02346

-X_____

心-15202.9-10X37.97X39.1

所以b=14663.67—10X37.972乂一，，=39.1-1.447X37.97--

15.843,因此，所求线性回归方程为y=1.447x-15.843.

11.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）,

为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段

车流量与PM2.5浓度的数据如下表：

时间周一周二周三周四周五

车流量M万辆）100102108114116

浓度y（微克/立方米）7880848890

（1）根据上表数据，用最小二乘法求出y与x的线性回归方程；

（2）若周六同一时段车流量是200万辆，试根据⑴求出的线性回归方程，预测

此时PM2.5的浓度为多少？

_15540

解（1）由条件可知，x产5=1。8,

/=1

-14200

5—84,

i=l

5__

z(即-X)(M-y)=(—8)义(-6)+(—6)X(—4)+0X0+6X4+8X6=144,

/=1

5_

Z(X/—x『=(—8)2+(—6)2+02+62+82=200,

/=!

5__

Z8-X)(y-y)

/=1144

b=—；2=200=°-72,

X(XLX)2

Z=1

a=y一〃x=84—0.72义108=6.24,

A

故y关于x的线性回归方程为y=0.72x+6.24.

A

(2)当尤=200时，y=0.72X200+6.24=150.24.

所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米.

12.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据:

年份20102012201420162018

需求量(万吨)236246257276286

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=foc+a；

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量.

解本题考查回归分析的基本思想及其初步应用、回归直线的意义和求法、

数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.

(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直

线方程.为此对数据预处理如下：

年份一2014-4-2024

需求量一257-21-1101929

对预处理后的数据，容易算得意=0,7=3.2,

(-4)X(-21)+(-2)X(-ll)+2X19+4X29

b=42+22+22+42

6z2—yhx=3.2.

由上述计算结果，知所求回归直线方程为y—257=b(x—2014)+a=6.5(x—

2014)+3.2,

A

即产6.5。—2014)+2602①

(2)利用直线方程①，可预测2020年的粮食需求量为

6.5X(2020—2014)+260.2=6.5X6+260.2=299.2(万吨)Q300(万吨).(未写

近似值不扣分)

13.日常生活中，某些东西所含的热量比较高，对我们的身体有一定的影响,

下表给出了不同类型八种饼干的数据，第一列数据表示八种饼干各含热量的百分

比，第二列数据表示顾客对八种饼干所给予分数(百分制).

品种所含热量的百分比口味记录

125