高中数学导数练习题

专题8：导数(文)

经典例题剖析

考点一：求导公式。

例1./'(X)是/(x)=；x3+2x+l的导函数，则/'(—1)的值是。

解析：/'(x)=x2+2,所以/'(-1)=1+2=3

答案：3

考点二：导数的几何意义。

例2.己知函数y=/(x)的图象在点/⑴)处的切线方程是y=；x+2,则

/(l)+.f(l)=o

解析：因为％=；,所以7(1)=；,由切线过点M(L/(I)),可得点M的纵坐标为

p所以/(1)=|，所以/⑴+/'⑴=3

答案：3

例3.曲线y=/一2/-4%+2在点(1,—3)处的切线方程是。

解析：＞'=3——4x—4,.•.点(1,—3)处切线的斜率为左=3—4—4=—5,所以设切

线方程为y=-5x+b,将点(1,一3)带入切线方程可得8=2,所以，过曲线上点(1,一3)

处的切线方程为：5x+y-2=0

答案：5x+y—2=0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y=x3-3x2+2x,直线/:y=kx,且直线/与曲线C相切于点

(x0,y0)x0*0,求直线/的方程及切点坐标。

解析：•.•直线过原点，则左=红(/。0)。由点(/，%)在曲线C上，则

22

y0=XQ—3x0+2x0,—=x0—3x0+2o又y'=3x?-6x+2,在

2

(无o，yo)处曲线C的切线斜率为A:=/'(X0)=3X0-6X0+2,

3

22

x0-3x0+2=3x0-6x0+2,整理得：2x0-3x0=0,解得：x。=:或=0

311

(舍)，此时，y——,k.——o所以，直线/的方程为y=—x,切点坐标是

n0844

1

X(33、

答案：直线/的方程为y-切点坐标是

4(28

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在

切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不

是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知/(》)="3+3/-彳+1在区上是减函数，求a的取值范围。

解析：函数/(x)的导数为r(x)=3a?+6x—l。对于xeR都有_f(x)<0时，/(九)

为减函数。由3办2+6%-1<0(左6尺)可得1,解得a<—3。所以,

A=36+12a<0

当。<一3时，函数/(x)对xeR为减函数。

1\38

-

32--+-

(1)当a=—3时,f(x)=-3x+3x379

由函数y=d在R上的单调性，可知当a=—3是，函数/(x)对xeR为减函数。

(2)当a>—3时，函数/(x)在R上存在增区间。所以，当a>—3时，函数/(x)在

R上不是单调递减函数。

综合(1)(2)(3)可知aW—3。

答案：a<-3

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例6.设函数/(x)=2/+3a/+3Z?x+8c在尤=1及x=2时取得极值。

(1)求a、〃的值；

(2)若对于任意的xe[0,3],都有成立，求c的取值范围。

解析：(1)f'(x)=6x2+6ax+3b,因为函数/(x)在x=l及x=2取得极值，则有

/(1)=0,尸(2)=0.即〈，解得a=—3,Z?=4o

［24+12a+3b=0.

322

(2)由(I)可知，/(X)=2X-9X+12X+8C,f'(x)=6x-18x+12=6(x-l)(x-2)o

当xe(0,l)时，f'(x)>0；当xe(L2)时，f'(x)<0；当xe(2,3)时，/'(x)>0。所以,

当x=l时，/(x)取得极大值/⑴=5+8c,又/(0)=8c,/(3)=9+8c。则当xe［大3］

时，/(幻的最大值为/(3)=9+8c。因为对于任意的xe［0,3］,有恒成立，

所以9+8c<c2,解得或c>9,因此c的取值范围为(-oo,-l).(9,+℃)。

答案：(1)a=-3,Z?=4；(2)(9,—l)J(9,+oo)。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数/(X)的极值步骤：①求导数/'(X)；

②求尸(x)=0的根；③将r(x)=0的根在数轴上标出，得出单调区间，由/'(X)在各

区间上取值的正负可确定并求出函数/(%)的极值。

考点六：函数的最值。

例7.已知a为实数，/。)=(一一4卜一4)。求导数/'(X)；(2)若/'(-1)=0,求/⑴

在区间［-2,2］上的最大值和最小值。

解析：(1)/(%)=x3-ax2-4x+4-a,f'(x)=3x2-2ax-4»

(2)/'(-l)=3+2a-4=0,.••«=-»f\x)=3x2-x-4=(3x-4\x+1)

令7(x)=0,即(3x-4)(x+l)=0,解得x=—1或x=g，则/(x)和广⑴在区间［一2,2］

上随x的变化情况如下表：

(34

X-2-12

3

/1W+0—0+

/(X)0增函数极大值减函数极小值增函数0

(0)=—篇。所以，/(X)在区间［一2,2］上的最大值为了停)=一号，最

g

小值为/(—1)=2。

(2)最大值为/(g)=-样，最小值为/(一1)=g。

答案：(1)/'(x)=3x2-2ax-4

点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数/(x)在区间［。力］上的最值，要先求

出函数/(x)在区间(。力)上的极值，然后与/(a)和/0)进行比较，从而得出函数的最大最

小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8.设函数/(x)=a?+区(QNO)为奇函数，其图象在点(1,/⑴)处的切线与直线

x—6y—7=0垂直，导函数/'(x)的最小值为—12。(1)求a,b,c的值；

(2)求函数/(x)的单调递增区间，并求函数/(x)在［-1,3］上的最大值和最小值。

解析：(1),.•/(X)为奇函数，；./(-%)=-f(x),BP-ax3-bx+c^-ax1-bx-c

：.c=Q,♦.•/'(幻=30?+6的最小值为一12,，力=一12,又直线x—6y—7=0

的斜率为L,因此，f\\)=3a+b=-6,；.a=2,b=-12,c=0.

6

(2)/(X)=2X3-12XOf\x)=6x2-12=6(^+V2)(x-V2),列表如下：

X(―00,—-V2(-V2,V2)夜(V2,+oo)

/'(%)+0一0+

/(X)增函数极大减函数极小增函数

所以函数/(x)的单调增区间是(-00,-72)和(0,+8),:/(-I)=10,

/(逝)=—80,/(3)=18,在［—1,3］上的最大值是"3)=18,最小值是

/(0)=-80。

答案：(1)a=2,6=—12,c=0；(2)最大值是/(3)=18,最小值是/(&)=-80。

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以

及推理能力和运算能力。

导数强化训练

(一)选择题

X2］

1.已知曲线y=7的一条切线的斜率为彳，则切点的横坐标为(A)

A.1B.2C.3D.4

2.曲线丁=/一3/+1在点(1,—1)处的切线方程为(B)

A.y=3x-4B.y=-3x4-2C.y=-4x+3D.y=4x-5

3.函数y=(x+l)2(x-l)在x=l处的导数等于(D)

A.1B.2C.3D.4

4.已知函数/(x)在x=l处的导数为3,则/(x)的解析式可能为(A)

A./(X)=(X-1)2+3(X-1)B./(x)=2(x-l)

C./(x)=2(x-1)2D.f(x)=x-\

5.函数/。)=丁+G：2+3x—9,己知/*)在％=-3时取得极值，则。=(D)

(A)2(B)3(C)4(D)5

6.函数/*)=彳3一3/+1是减函数的区间为(D)

(A)(2,+oo)(B)(-oo,2)(C)(-oo,0)(D)(0,2)

7.若函数+/?x+c的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（A）

tVfv

x

R

ACD

8.函数f(x)=2d—gd在区间［0,6］上f

的最大值是（A）

32口16

AA•—B.—C.12D.9

33

9.函数y=/一3元的极大值为优，极小值为〃，则〃为（A）

A.0B.1C.2D.4

10.三次函数/（x）=a/+不在1£（_8,+oo）内是增函数，贝!!（A）

A.a>0B.a<0C.a=lD.a=-

3

11.在函数y=d-8x的图象上，其切线的倾斜角小于生的点中，坐标为整数的点的个数

4

是（D）

A.3B.2C.1D.0

12.函数/（x）的定义域为开区间（。力），导函数/'（x）在（a,6）内的图象如图所示,则函数

/（幻在开区间（a力）内有极小值点（A）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

（二）填空题

13.曲线y=/在点（1,1）处的切线与x轴直线x=2所围成的三角形的面积为

1,4

14.已知曲线y=则过点p（2,4）“改为在点尸（2,4）”的切线方程是

15.已知/">"）是对函数连续进行n次求导，若/（为=/+尤5,对于任意xeH,

都有/（，，）（x）=0,则n的最少值为。

16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储

费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则》=吨.

（三）解答题

17.已知函数/（x）=/+ax2+bx+c,当x=—1时，取得极大值7；当x=3时，取得极

小值.求这个极小值及a,。,c的值.

18.已知函数/(x)=-/+3x2+9x+a

(1)求/(x)的单调减区间；

(2)若/(x)在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

19.设rwO,点P(r,0)是函数=+ax与g(x)=。/+c的图象的一个公共点，

两函数的图象在点P处有相同的切线。

(1)用f表示a,b,c；

(2)若函数y=/(x)—g(x)在(一1,3)上单调递减，求f的取值范围。

20.设函数/(同=/+灰2+5(》@/?),已知g(x)=/(x)-/'(x)是奇函数。

(1)求人、c的值。

(2)求g(x)的单调区间与极值。

21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1,问

该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

22.已知函数/(幻=：/+；亦2+笈在区间[_],]),(1,3]内各有一个极值点.

(1)求/—4b的最大值；

(1)当"―初=8时，设函数y=/(x)在点A(l，/⑴)处的切线为/，若/在点A处穿

过函数y=/(x)的图象(即动点在点4附近沿曲线y=/(x)运动，经过点A时，

从/的一侧进入另一侧)，求函数/(x)的表达式.

强化训练答案：

l.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.All.D12.A

(四)填空题

13.114.y-4%+4=015.716.20

(五)解答题

17.解：/*(x)=3x2+2ax+/?o

据题意，一1,3是方程312+2公+。=0的两个根，由韦达定理得

-I1+3r=---2-。-

3

,「b

-lx3=—

3

:.a=—3,b=—9

・，,/(x)=x3—3x2-9x+c

v/(-l)=7,:.c=2

极小值/(3)=33-3x3?-9x3+2=—25

・••极小值为-25,a——3,Z?=-9,c=2。

18.解：(l)ff(x)=-3x2+6x+9.令/'(x)<0,解得xv-l^lx>3,

所以函数/(x)的单调递减区间为(-8,—I),(3,+8).

(2)因为f(—2)=8+12—18+。=2+。，/(2)=—8+12+18+。=22+

所以/(2)>/(—2).因为在(一1,3)上/(幻>0,所以/(幻在［-1,2］上单调递增，又由

于/(X)在［-2,—1］上单调递减，因此/⑵和/(-I)分别是/(%)在区间［—2,2］上的最大值和最小

值.于是有22+。=20,解得。=一2.

故/(X)=_%3+3彳2+9%-2.因此/(_1)=［+3_9_2=_7,

即函数f(x)在区间［-2,2］上的最小值为-7.

19.解：(1)因为函数/(x),g(x)的图象都过点(f,0),所以/(O=0,

即八+at=0,因为fK0,所以a=—广.g(/)=。，即4-+c=0,所以c=ah.

又因为，(x),g(x)在点a,o)处有相同的切线，所以/Q)=g'Q).

而—)=3x2+a.gXx)=2bx，所以3产+。=2bt.

将。=-V代入上式得h=/.因此c=次?=――.故。=—/，b=t,c——Z3.

(2)y=f(x)-g(x)=x3-rx-tx1+/，,'=3%2-2tx-t2=(3x+O(x-r).

当V=(3x+f)(x-，)<0时，函数y=/(%)—g(x)单调递减.

由y'<0,若f>0,贝ij-'vxci；若，<0,贝ijz<xv-L

33

由题意，函数y=/(x)-g(x)在(一1,3)上单调递减，则

(—1,3)u(―鼻,，)或(一1,3)u亿一?.所以tN3或一q23.即，<—9或ZN3.

又当一9v/v3时，函数y=/(x)-g(x)在(一1,3)上单调递减.

所以t的取值范围为(-8,-9]D[3,+8).

20.解：(1)v/(x)=x3+hx2+tx,/./z(x)=3x2+2bx+co从而

g(x)-f(x)—ff(x)=x3+hx2+cx-(3x24-2hx4-c)=x3+(b-3)x2+(<?_2〃)工_,是一

个奇函数，所以g(0)=0得c=0,由奇函数定义得〃=3；

(2)由(I)知g(x)=13-6x,从而g'(x)=3x2-6,由此可知，

(-oo,-V2)和(血,+8)是函数g(x)是单调递增区间；

(一J5,夜)是函数g(x)是单调递减区间；

g(x)在x=-V2时,取得极大值,极大值为472,g(x)在x=6时，取得极小值，极小值为一48o

21.解：设长方体的宽为％(m),则长为2x(m),高为

,18-12x。-3、

h=---——=4.5-3x(m)I(Xx<-I.

故长方体的体积为

V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)10<%<

从而vf(x)=18x-18x2(4.5-3x)=18x(1一x).

令V(x)=0,解得1=0(舍去)或x=l,因此％=1.

3

当0cx<1时，V'(x)>0：当1cx<5时，V'(x)<0,

故在x=1处v(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值。

从而最大体积V=V'(X)=9x「-6X13(„J3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.

答：当长方体的长为2m时，宽为1m,高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m工

1.1,

22.解：(1)因为函数/⑺:^^+万4r+法在区间1一],]),(1,3】内分别有一个极值点，所以

f'(x)=x2+ax+b=0在[一1,1),(1,3]内分别有一个实根，

2

设两实根为X],x2(<x2),则x2—xt=