第09讲 空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假课（人教A版2019选择性必修第一册）解析版

第09讲空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类

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学习目标

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理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹

角、长度以及有关平行、垂直的证明.

耄基础知识

-------------------lllllllllllllllllllilllllllllllllllllllll-----------------------

知识点1空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝,以。为原点，分别以i,j,k

的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们

就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：。叫做原点，i,j,A都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称

为。孙平面、Oyz平面、0口平面，它们把空间分成八个部分.

注意点：

⑴基向量：|i|=|/|=1*1=1,i-j=i-k=j-k=O.

(2)画空间直角坐标系Ox”时，一般使NxOy=135。(或45。)，ZjOz=90°.

(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指

向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

2.空间一点的坐标、向量的坐标

(1)空间点的坐标

在空间直角坐标系。孙Z中，i,j,«为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量以，且点A的位

置由向量次唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使次=xi+jj/+zA.在单位

正交基底｛i,j,以下与向量流对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作

A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标，j叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点

点的位置X轴上y轴上z轴上

坐标的形式(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)

点的位置Oxy平面内Oyz平面内0H平面内

坐标的形式(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)

(2)空间点的对称问题

①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求

解.

②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.

(3)空间向量的坐标

向量的坐标：在空间直角坐标系。町Z中，给定向量”，作苏=a,由空间向量基本定理，存在唯一的

有序实数组(x,y,z),使a=xi+切•+法.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系。孙z中的坐标，可

简记作a=(x,y,z).

知识点2空间向量的坐标运算

1.空间向量的坐标运算法则

设向量a=(ai,。2,。3),b=(bi,岳，加)，2£R,那么

向量运算向量表示坐标表示

加法a+b(。1+加，敢+岳，内+岳)

减法a-b(a\-b\9ai-biy。3一历)

数乘2a九12,九13)

数量积a*b。仍1+。2岳+。3)3

注意点：

(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.

(2)设4(xi,yi,zi),B(X2,yi,Z2),则成=(*2—xi,y2-yi>Z2-zi).即一个空间向量的坐标等于表示此向

量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

(3)运用公式可以简化运算：(4±方)2=。2±24协+82；(a+b).(a—0)=02一

(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量.

2.空间向量相关结论的坐标表示

设。=(。1,。2,。3),b=(b}9bif力3),则有

(1)平行关系：当厚0时，。〃枚=»=幺加切=劝1,。2=劝2,a3=4>3(2WR)；

(2)垂直关系：。_1_从=»・〃=0田向+〃2岳+。3。3=0.

(3)|a|=yfa^a=y]al+ai+ai.

a・b。协1+。2岳+。3加

(4)cos(a,b)—|。|网-民/+龙+欣々、+阴+用・

注意点：

⑴要证明aVb9就是证明。巧=0；要证明a//b9就是证明°=加厚0).

£1zi

(2)a=(xi,ji,zi),b=(X2,yi9Z2),若。〃仇则刈=口=22成立的条件是22ro.

3.空间两点间的距离公式

在空间直角坐标系中，设Pl(xi,y1,Z1),尸2(》2,72，Z2)・

--->

(1)P\Pi=(X2—xi,yi-y\9Z2—zi).

(2)PiPi=\PiPi>\=y]x2—xi2+y2—yi2+z2—z\2.

⑶若00,0,0),P(x,y,z),则|舁尸也书耳？.

注：空间两点间的距离公式推导过程

如图，建立空间直角坐标系Oxyz,

设尸1(X1,Jl,Zl),P2(X2,J>2,Z2)是空间中任意两点，百耳=殖一分1=(X2—Xl,y2~y\>Z2—ZI),

22

于是|R耳yj^-x^+(y2-y}Y-z2)

所以尸1尸2=|百武尸一%|:+(%--『+(Z1-Z2了,

因此，空间中已知两点A(X1,Jl,Z1),8(X2,J2,Z2),则48=1砌=—>)2+(%-乂)2+(Z]—Z2)2•

I[曲解题策A

luiutiiiiiiuiiiiiiiiiaiiiMiiiiuiiii

1.建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点

落在坐标轴上.充分利用几何图形的对称性.

2.求某点M的坐标的方法

作MAT垂直于平面。孙，垂足为求AT的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标x,纵坐标y,再

求M点在z轴上射影的竖坐标Z,即为M点的竖坐标z,于是得到用点的坐标(x,y,Z).

3.空间向量坐标运算的规律及注意点

(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.

已知空间点的坐标、A(xi,ji,zi),B(X2,yi,Z2)向量AH的坐标等于终点坐标减起点坐标.即4/=

(X2—Xl,J2-Jl,Z2-Z1).

(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.

(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.

4.解决空间向量垂直、平行问题的有关思路

(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标.例如，设向量a=(x,y,z).

(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问题中，通常需

要引入参数.例如，已知a〃儿则引入参数九有。=①，再转化为方程组求解；已知两向量平行或垂直求

参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.

(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利

用向量平行、垂直的充要条件证明.

5.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤

(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；

(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；

(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角.

6.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系；

(2)求出线段端点的坐标；

(3)利用两点间的距离公式求出线段的长.

Q考点剖析

--------------IUIIIUIIII1U1IIIIIIIIIIIIIUIIII1IIIII-----------------------

考点一：空间中点的坐标表示

、,例1.（2023秋•北京西城•高二北师大二附中校考期中）已知点A（4,-1,2）,8（2,-3,0）,点C满

足AC=CB，则点C的坐标是.

【答案】（3,-2,1）

【分析】直接代入空间向量的坐标公式列方程计算即可.

【详解】设C（x,y,z）,

贝IJXC=(x-4,y+l,z-2),CB=(2-x,-3-y,-z)

由题可得

x-4=2-xx=3

y+1=-3-y,解得“y=-2

z-2=­zz=1

即点C的坐标是（3,-2,1）.

故答案为：（3,—2,1）.

变式1.（2022・高二课时练习）若△ABC顶点4（2,—5,3）,且A8=（4,l,2）,BC=（3,-2,5）,则点C坐标是

【答案】（9,-6,10）

【分析】根据向量的坐标表示有-M’ZB-ZA）、BC=（xc-xB,yc-yB,zc-zB'）,即可求C坐

标.

【详解】由A（2,-5,3）,AB=（xB-2,yB+5,zfi-3）=（4,1,2）,可得:B（6,T,5）,

又8C=（3,-2,5）,同理可得：C（9,-6,10）.

故答案为：（9,-6,10）

变式2.（2022•全国•高二专题练习）平行六面体ASG"中，AC=（1,2,3）,C,（-1,2,4）,则点A的

坐标为（）

A.（0,4,7）B.（-2,0,1）C.（2,0,-1）D.（2,0,1）

【答案】B

【分析】利用空间向量的坐标表示，即得.

【详解】设A(%y,z),

•；AC=(1,2,3),G(T,2,4),又AC=AG,

.•.(1,2,3)=(—1—x,2—y,4-z),

解得x=-2,y=0,z=l,即4(-2,0,1).

故选：B.

变式3.(2023•全国•高二专题练习)已知点M(l,0,2),N(-l,l,0),MN=2MP,则点尸的坐标为.

【答案】(0,；,)((),0.5,1)

【分析】先求出向量MN的坐标，设点尸(x,%z),得出MP的坐标，根据条件得出方程组可得答案.

【详解】点M(l,0,2),N(-l,l,0),则MN=(-2,1，-2)

设点P(x,y,z),则MP=(x-l,y,z-2)

'2x-2=-2p=0

由MN=2MP,则<2y=l,即=

2z—4=-2tz=1

所以点P的坐标为(o,g,l)

故答案为：

变式4.(2023春•高二课时练习)若4(3,2,4)、3(1,2,-8),点C在线段A8上，且篇=|，则点C的坐

标是.

【答案】02一4)

2

【分析】设点C的坐标为(x,y,z),由题意可得=即可得到方程组，解得即可求得C的坐标.

AC2

【详解】解：,点A(3,2,4)、以1,2,-8),C为线段A8上一点，且为=§,

2

所以AC=—AB,AB=(-2,0,-12)

设点C的坐标为(x,y,z),则4C=(x-3,y-2,z-4),

x-3-

3

2

贝lJ（x—3,y—2,z—4）=5（—2,0,—12）,即.y-2=o,

z-4=-8

5

x=—

3

y=2,即C[1,2,-4）；

解得

z=-4

故答案为：62-4).

变式5.(2023・高三课时练习)若ABCD为平行四边形,且已知点((4,1,3)、5(2,-5,1),C(-3,7-5),则

顶点D的坐标为.

【答案】(-1,13,-3)

【分析】设。(x,y,z),然后利用AB=OC求解即可.

【详解】设。(x,y,z),因为四边形ABC。为平行四边形,

所以A8=DC,所以(—2,—6,—2)=(—3—尤,7-y,—5—z),

-3-x=-2x=-l

所以・7-)，=-6,所以，y=13,即。(—1,13,—3).

—5—z=—2z=—3

故答案为：(-U3-3).

考点二：空间点的对称问题

例2.(2023春•高二课时练习)在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于x轴对称的点坐标是()

A.(—2,1,—4)B.(2,1,-4)C.(—2,—1,-4)D.(2,—1,4)

【答案】C

【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.

【详解】在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于x轴对称的点坐标为(-2,-1,T).

故选：C.

变式1.(2023・全国•高二专题练习)已知点,M2分别与点W(1,-2,3)关于x轴和z轴对称,则=()

A.(—2,0,6)B.(2,0,—6)C.(0,4,-6)D.(0,—4,6)

【答案】A

【分析】在空间直角坐标系中，求出点”（1,-2,3）关于x轴和z轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可

得解.

【详解】依题意，点”（1,-2,3）关于x轴对称点2,-3）,关于z轴对称点”2（T，2,3）,

所以必%=（-2,0,6）.

故选：A

变式2.（2023春•江苏常州•高二校联考阶段练习）已知点A（l,2,3）关于。孙平面的对称点为8,而点8关

于x轴的对称点为C,则|8C卜（）

A.2MB.25/l3C.2V15D.8

【答案】B

【分析】由对称性分别求出8、C,则有BC，即可求得|院|

【详解】由题意3=（1,2,-3）,则C=（l,-2,3）,

故BC=（O,-4,6）,|BC|=716+36=2713.

故选：B

变式3.（2023秋•河北石家庄•高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系。xyz中，尸是坐

标平面xOy内一动点，M（4,2,2）,0（7,5,4）,当归照+|尸。|最小时P的坐标为.

【答案】（5,3,0）

【分析】先利用对称找出尸的位置，再结合三角形相似以及空间向量的运算即可求解

【详解】过点M作平面xOy班线MA,垂足为A,延长到N,使得M4=4V,

过点。作平面xQv垂线MB,垂足为8,

则4（4,2,0）,N（4,2,-2）,B（7,5,0）,

因为M与N关于平面xOy对称，

所以归回+归。=州+闸2|闻,

所以当|PM|+|P。最小时点P是连接NQ与平面xOy的交点，

连接A3,易知共面，且一4Vp与-3QP相似,

APAN21

所以而=蔽=75，

所以

3

设P(x,y,O),则AP=(x-4,y-2,0),gA8=g(7-4,5-2,0)=(l/,0),

所以x-4=l,y-2=l,解得x=5,y=3,

所以P的坐标为(5,3,0),

故答案为：(5,3,0)

考点三：空间向量的坐标表示

、,例3.（2023春•高二课时练习）已知点同（3,8,-5）,B（—2,0,8）,则向量A8的坐标为.

【答案】（-5,-8,13）

【分析】利用向量的坐标运算求解.

【详解】AB=（-2,0,8）-（3,8-5）=（-5-8,13）.

故答案为：（-5,-8,13）

变式1.（2023春•高二课时练习）已知｛，,/,可是空间的一个单位正交基底，向量6=-5i+2Z用坐标形式可

表示为.

【答案】（一5,0,2）

【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.

【详解】因为｛，,/«｝是空间的一个单位正交基底，则有6=3+2&=（-5,0,2）.

所以向量匕=4+2k用坐标形式表示为（-5,0,2）.

故答案为：（-5,0,2）

变式2.（2022秋・广东广州•高二校联考期末）如图,正方体OABC-O’ABC的棱长为2,Ee8出，且EB=2EB、,

A.（2,2,1）B.（2,2,2）C.（2,2,g）D.（2,2,g）

【答案】D

【分析】根据己知条件求得OE.

24

【详解】依题意，EB=2EB-所以E8=：x2=g,

所以OE=（2,2,g）.

故选：D

变式3.（2023•全国•高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点A（-l,1,2）,B（-3,0,4）,若卜卜6,0与.

同向，则向量c的坐标为.

【答案】（-4-2A）

【分析】求出AB坐标，根据给条件表示出c坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.

【详解】因A（-l,l,2）,倒-3,0,4）,则4?=（一2,-1,2）,

因c与A8同向，则设髭=（-2人-人24）（/1>0）,因此，山=J（-2H+（-H+（2/l）2=34,

于■是得34=6,解得4=2,51!jc=（-4,-2,4）,

所以向量c的坐标为（-4,-2,4）.

故答案为：（T,-2,4）

变式4.【多选】（2022秋•黑龙江大庆.高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形ABC。的顶点分别是A（3,-1,2）,

5（1,2,-1）,C（-l,l,-3）,。（3,-5,3）,那么以下说话中正确的是（）

A.AB=(-2,3,-3)B.CD=(T,6,-6)

C.AC的中点坐标为(-2,0,-1)D.四边形488是一个梯形

【答案】AD

【分析】根据向量的坐标运算判断A,B,C,通过判断的，C。的关系，判断四边形ABC。的形状，由此

判断D.

【详解】设点。为坐标原点，因为A(3,—l,2),8(1,2,-1),C(-l,l,-3),£>(3,-5,3),

所以。4=(3,—1,2),OB=(1,2,-1),OC=(-l,l,-3),。£)=(3,—5,3),

所以AB=O8-OA=(—2,3,—3),A正确；

所以CZ)=OD-OC=(4,-6,6),B错误；

设AC的中点为点E,则OE=04+AE=OA+^AC=(3,-1,2)+12,1,-||加-；,

所以点E的坐标为制-1±,C错误；

因为=(-2,3,-3),CD=(4,-6,6),所以C£>=-2A8,所以AB//CD,AB=^CD,所以四边形A88是

一个梯形，D正确；

故选：AD.

考点四：空间向量的坐标运算

['例4.(2022秋・北京丰台•高二统考期末)已知。=(1,0,-1),b=(2,1,1),则2a.

【答案】(0,-1,-3)

【分析】以向量的代数运算律解之即可.

【详解】由。=(1,0,-1),b=(2,1,1)

可得2a-6=2(1,0,-1)-(2,1,1)=(2,0,-2)-(2,1,1)=(0,-1,-3)

故答案为：(0-1-3)

变式1.(2023•全国•高二专题练习)向量4=。,1,0),/?=(0,1,1),c=(l,0,l),d=(l,0,—1)中，共面的三个

向量是()

A.a,b,cB.b,c,dC•c,d,aD.d,a,b

【答案】D

【分析】根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：若氏人共面,则a=xb+yc,即(1/,0)=(O,x,x)+(y,O,y),

即y=l,x=l,x+y=O,显然不存在满足题意，故a,6,c不共面；

同理，B,C中的三个向量也不共面；

D：若d,a"共面，则d=xd+yE,即(1,0,—l)=(x,x,O)+(O,y,y),

即x=l,x+y=0,y=-l,故存在x=l,y=-l满足题意，则d,a"共面.

故选：D.

变式2.(2023秋・湖北•高二统考期末)已知向量4=(2,0,2),^=(0,2-1),c=(3,4,/n),若向量4,b，

C共面，则实数机的值为.

【答案】1

【分析】依题意可得存在实数x,y使得c=x“+)力，从得到方程组，解得即可.

【详解】解：因为向量。，/7，C共面，所以存在实数x,y使得C=xa+)，b,

3

2x=3X=2

即(3,4,%)=(2x,2y,2x-y),所以,2y=4,解得，y=2.

m=2x-yin=1

故答案为：1

变式3.(2023秋・北京丰台•高二北京市第十二中学校考期末)在空间直角坐标系中，已知三点

0(0,0,0),A(1,2,1),B(1-1,0),若点C在平面OAB内，则点C的坐标可能是()

A.(-1,-1,3)B.(3,0,1)C.(1,1,2)D.(1-1,2)

【答案】B

【分析】根据向量的运算可得OA=(1,2,1),OB=(-1,0),由OA，08不共线，结合向量基本定理可得

OC=WA+/JOB=(2+A，22-p,2),求得C点坐标为Q+〃,22-〃,2),代入验算即可得解.

【详解】由。4=(1,2,1),05=(1,-1,0),

显然。4，OB不共线，

根据向量基本定理可得0。=义04+〃。8=。+〃,2；1-〃,2),

故。点坐标为(4+4,22-4),

经验算只有B选项符合条件，

此时4=1,4=2,

故选：B

变式4.【多选】(2023秋•辽宁葫芦岛•高二统考期末)已知在空间直角坐标系中，。为坐标原点，且

A(l,0,2),3(7,1,1)((3』,2),则下列结论正确的是()

A.\AB\=3B.(AB+AC)BC=-1

C.AB±ACD.OP=-OA+—OB+—OC,则尸，A,B,C四点共面

236

【答案】BD

uimuuaiuuu

【分析】由条件求4B,AC,BC，根据向量的模的个数，数量枳运算公式，数量积的性质，向量共面定理依

次判断各选项.

【详解】因为41,0,2),8(7,1,1),C(3,1,2),

所以Afi=(-2,1,-1),AC=(2,1,0),30=(40,1),

所以|4B|=J4+1+1=",A错误；

(AB+AQBC=0x4+2x0+(-l)xl=-l,B正确；

ABAC=(-2)x2+lxl+(-l)xO=-3,所以AB,AC不垂直，C错误；

因为0P=20A+:08+，0C,所以60P=3OA+2O3+OC，

236

所以3OA-3OP+2O5-2OP+OC-OP=0，

所以3PA+2P8+PC=0，BPPC=-3PA-2PB-

所以PC,PA,P8共面，

所以P,A,B,C四点共面，D正确；

故选：BD.

变式5.(2023春•重庆•高一重庆一中校考期中)下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是()

A.a=(l,O,O),6=(O,l,O),c=(O,O,l)

B.。=(1,1,0),6=(1,0,1),c=(0,1,1)

C.a=(1,1,2)力=(1,1,0),c=(1,0,1)

D.a=(l,l,l),Z>=(l,0,l),c=(l,2,l)

【答案】D

【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.

【详解】对于A,设(l,O,O)=/l(O,l,O)+〃(O,O,l),无解，即公儿，不共面，故可以作为空间向量一个基底,

故A错误；

对于B,设。,1,0)=41,0,1)+〃(0,1,1),无解，即“力"不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B错误：

对于C,设(1,1,2)=41』,0)+〃(1,0,1),无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；

对于D,设(1,1,1)=41,0,1)+〃(1，2,1)，解得a=“=g，所以a,b,c共面，故不可以作为空间向量一个基底，

故D正确.

故选：D

变式6.(2022•高二课时练习)在一ABC中，若AB=(2,-2,0),AC=(4,2,-1),则一ABC是()

A.顶角为锐角的等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.顶角为钝角的等腰三角形

【答案】A

【分析】利用空间向量的坐标运算计算就的坐标，由模长公式分别计算|AB|,|AC|,卜4的值，可得

|AC|=|BC|,再计匏CACB>0吁判断/C为锐角，进而可得正确答案.

【详解】8C=AC-A8=(4,2,-1)-(2,-2,0)=(2,4,-1),

|AB|=V4+4+0=2V2,国卜J16+4+1=历,|»c|=74+16+1=V21,

所以kq=,c卜⑨，

因为CA=-AC=(-4,-2,l),CB=-BC=(-2,-4,l),

因为C4.g=(Y)x(—2)+(-2)x(T)+lxl=17>0,

所以NC为锐角，

所以ABC是顶角为锐角的等腰三角形，

故选：A.

考点五：空间向量的平行问题

、例5.(2022・高二课时练习)若a=(2x,1,3),6=(1,-2y,9),且联与b共线,求x，y的值.

13

【答案】x=^,y=~

o2

【分析】先判断xr0,然后根据题意可得到比例式，求得答案.

【详解】a=(2x,l,3),6=(l,-2y,9),且£与。共线，

当x=0时,显然a=(2x,1,3),6=(1,-2y,9)不共线，

2x13

故XWO,则由题意得：—=-=-,

1-2y9

13

n8ilX=6，y="2,

变式1.(2023春•高二课时练习)已知向量〃=(1,2,1),6=(3,2,2),且(版+»//(〃-26),则实数人的值为

()

A25D25

A.---B.—

1212

C.--D.；

22

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答.

【详解】向量“=(1,2,1),人=(3,2,2),P1I]ka+b=(k+3,2k+2,k+2),a-2b=(-5,-2,-3),

e、i八女+32k+2Z+2/•口.1

因为仅。+6)〃(〃-2Z?),则——=——=——,解得欠=一彳，

—5—2—32

所以实数化的值为

故选：c

变式2.【多选】(2023秋,湖南衡阳•高二衡阳市田家炳实验中学校考期中)与向量a=(2,3,6)共线的单位

向量是()

A-(236、B-(236、c-(匕2力3句6、D-\(j2rr3i6)、

【答案】AC

【分析】根据单位向量的概念，求出与向量a共线的单位向量士点即可

【详解】因为向量a=(2,3,6),所以卜卜J22+32+6=7,

所以与向量a=（2,3,6）共线的单位向量为

故选：AC

变式3.（2023秋•吉林长春•高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知空间两点42,1,1）,8（3,2,

1）,下列选项中的;;与4%共线的是（）

A.。=（］，0,1）B.。=（2，1>1）C.”=（2，-2,。）D.a=（2>2,。）

【答案】D

【分析】由题得B=（l，1，。），再利用空间向量共线定理判断得解.

【详解】解：由点42,1,1）,8（3,2,1）,

所以6=（1，1.0）>

对于A,；=（1,0,1）,不满足：=义检，所以d与几不共线；

对于B,：=（2，1，不满足所以a与/不共线；

对于C,之=（2，-2,。），不满足；=%应，所以。与几不共线；

对于D,；=（2,2,0）,满足^=26,所以）与矗共线.

故选:D

变式4.（2022秋•广东江门•高二江门市第二中学校考期中）已知空间直角坐标系中，点A（T1,2）,8（-3,0,4）,

若卜|=6,且c与AB反向共线，则,=.

【答案】（4,2,-4）

【分析】根据向量3与怂反向共线，设c=2AB=（-24-42团"<0,利用口=6列方程求得;I,即得答案.

【详解】由A（T』,2）,8（—3,0,4）,可得A8=（-2,-l,2）,

由于c与AB反向共线，Sc=AAB=(-2A,-2,22),2<0,

由卜|=6可得4-24)2+(一㈤2+Q㈤2=6,解得力=一2,2=2(舍去)，

故c=(4,2,-4),

故答案为：(4,2,-4)

变式5.(2022秋.福建泉州.高二福建省永春第一中学校考期末)在空间直角坐标系。盯z中，4(2,1,1),

B(b,0,5),C(0,c,4),若四边形3BC为平行四边形，则A+c=.

【答案】I

【分析】由四边形QLBC为平行四边形，可得O4=CB，再根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】解：04=(2,1,1),CB=(b,~c,l),

因为四边形OABC为平行四边形，

所以OA=C8，

所以2=6,1=—c,

贝ijb+c=l.

故答案为：1.

考点六：利用坐标运算解决数量积问题

|\'例6.(2022・全国•高二专题练习)若42,-4,-1),8(-1,5,1),C(3,-4,l),则C4C8=()

A.-11B.3C.4D.15

【答案】C

【分析】先求出CACB的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可

【详解】由己知，C4=(2-3,-4-(-4),-1-1)=(-1,0,-2),

CB=(-1-3,5-(-4),1-1)=(-4,9,0),

CACB=4+0+0=4.

故选：C.

变式1.(2022・高二单元测试)若向量。=(2,1,-2),6=(6,-3,2),则a-(a+26)=.

【答案】19

【分析】根据空间向量的坐标运算，求得a+2〃的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示求得答案.

【详解】：a=(2,l,-2),b=(6,-3,2),：.«+2Z;=(2,l,-2)+2(6-3,2)=(14-5,2),

.•m(a+2b)=(2,l,-2>(14,-5,2)=19,

故答案为：19

变式2.(2023秋•广东深圳•高二统考期末)已知向量a=(l,l,幻，*=(-2,2,3),若(2“-办。=1,则》=()

A.—3B.3C.—1D.6

【答案】B

【分析】根据空间向量的坐标运算可得2a-A=(4,0,2x-3),结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.

【详解】由题意知，2«-/7=(4,0,2X-3)

lil(2a-b)-b=1>得4x(—2)+0x2+(2.x—3)x3=1,

解得x=3.

故选：B.

变式3.(2022秋•江苏徐州•高二校考阶段练习)在二ABC中，4(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5).

(1)求顶点氏<^的坐标；

(2)求C4.BC.

【答案】(1)8(6,T,5),C(9,-6,10)

(2)C48C=—58

【分析】根据向量的坐标表示求出比C的坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得C4-8C.

［详解］(1)设B(4，4,Z"),46=(4_/，力_力,28_2.)=(/_2,%+5,28_3)=(4,1,2),

4-2=4Xfj=6

.•」为+5=1,<yH=-4,.,.B(6,-4,5).

一厂3=2zB=5

设C(xc,yc,zc),BC—(xc—xB,yc—ylj,zc-zlj')—(xc-6,yc+4,zc—5)=(3,-2,5),

xc-6=3xc=9

•yc+4=-2,<yc=-6C(9,-6,10).

zc-5=5z,=10

(2),CA=(-7,l,-7),BC=(3,-2,5),

:.C48C=-21-2-35=-58.

考点七：空间向量的垂直问题

（2023秋•高二课时练习）已知〃=（1,0,-1）,6=（1,一1,0）,单位向量〃满足九，〃,〃，。则n=

【分析】设向量其中入yF』，由山，皿，得到方程组上fx—,z=二00,进而求得“Z的

值，即可求解.

【详解】设向量"=（X,），,Z）,其中f+y2+z2=l,

,|x-z=0

因为—1）,XI。）且…皿，可得［-，即ZR=Z,

将2=%/=2代入/+3；2+22=1,

可得》_近y_正Z.3或X—且L2z一2,

"333'333'3

所以向量〃的坐标为［半，半,或（-当，

\JJJ/IJJJ）

故答案为书卜昌,4一驾

变式1.（2023春•江苏盐城•高二盐城中学校考期中）已知向量a=（2,l,2）,b=（-2,x,l）,c=（4,3,2）,若

方，（a+c），则x的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.

【详解】因为。=（2,l,2）,A=（-2,x,l）,C=（4,3,2）,

所以a+c=（6,4,4）,

乂/>_L（a+c）,所以一12+4x+4=0,解得x=2.

故选：D.

变式2.（2022秋•广东阳江•高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量”=（2,-1,1）,b=（-l,l,x）,若

a与方垂直，则卜+2同=,

【答案】5&

【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出方再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.

【详解】向量2=(2,-1/)与石=(一1,1,》)垂直,则有2x(—1)+(—l)xl+x=O,解得x=3,

于是a+26=(2,-1,1)+2(-1,1,3)=(0,1,7),

所以卜+2以=府+1+72=5&

故答案为：5近

变式3.(2022秋・河南•高二校联考阶段练习)已知空间有三点A(2,0,-l),8(0,4,1),C(5,2,4),若直线A3

上存在一点M,满足CW，油,则点M的坐标为.

【答案】(1,2,0)

【分析】设4M=2AB，根据空间向量的坐标表示求得点”的坐标，再根据CVJ■四，可得数量积为0,

从而可求出2,即可得解.

【详解】解：设AM=/IA8，

由AB=(—2,4,2),得AM=2AB=(-2A,4^,2A),

故例(2—2444,24—1),则CM=(—24—3,44—2,22—5),

因为Qf1AB,

所以=—2(—24—3)+4(42—2)+2(2九一5)=0,解得4=：,

所以M(l,2,0).

故答案为：(1,2,0).

变式4.(2022秋・山东济宁•高二统考期中)已知空间中三点4(一2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),

设A3=a，AC=h.

(1)求向量a与向量b的坐标；

⑵若入+6与h-2b互相垂直，求实数%的值.

【答案】⑴。=(1,1,0)./>=(-1,0,2);

(2)«=2或%=-g.

【分析】（1）根据空间向量坐标表示公式进行求解即可;

（2）根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】（1）4=（1,1,0）1-=（一1,0,2）:

（2）ka+b—（k—l,k,2）,ka—2b={k+2,k,—4）,

W.ka+bka+b互相垂直,

二（4—1,k,2＞（Z+2,k,-4）=2〃+%—10=0

解得々=2或k=-3.

2

变式5.（2023・全国•高二专题练习）在空间直角坐标系中，若三点A（l,-l,a）,8（2,a,0）,C（l,a,-2）满足

（AB_2AC）_LBC,则实数a的值为（）.

997

A.—B.1C.——D.—

222

【答案】C

【分析】先求出AB,AC,8c的坐标，再由（A8-2AC），BC,得（4B-2AC）-BC=0,解方程可求出实数”

的值

【详解】因为A（L—l,a），5（2,a,0）,C（l,a,-2）,

所以A8=（l,a+l,-a）,4c=（0,a+1,-2-a）,BC=（-l,0,-2）,

所以AB-2AC=（l,a+1,—a）—2（0,a+1,—2—ci）—（1,—。—1,a+4）,

因为（A8-24C）_LBC,所以（A8-2AC）・BC=0,

9

所以-l+0-2（a+4）=0,解得〃=_：,

故选：C

变式6.（2023秋•河南南阳•高二南阳中学校考阶段练习）己知长方体ABCD-4夕C'O中，AB=3,BC=4,

A4'=5,BP=ABC''若则；1=（）

1c16c25c25

A.-B.—C.—D.—

2254134

【答案】C

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】解：根据题意，如图，建立空间直角坐标系，因为AB=3,BC=4,4V=5,

A'(O,O,5),B'(O,3,5),C'(4,3,5),B(0,3,0),

所以3C'=(4,0,5),A，p=4'B+BP=A'B+ABC'=(0,3,-5)+2(4,0,5)=(42,3,52-5)-

因为4P_L8C',

所以A’PBC=162+25/1-25=0，解得'=

故选：C.

考点八：利用坐标运算解决夹角问题

例8.(2023・全国•高三对口高考)已知向量4=(1,2,3)1=(-2,-4,一6卜同=旧，若(a+%>c=7,

则〈a,c〉=

【答案】120°

【分析】设C=(x,y,Z),依题意可得JV+V+Z-=5/五，再根据向量夹角公式即可求解.

-x-2y-3z=l

【详解】设c=(x,y,z),向量4=(1,2,3)”=(一2,-4,-6),卜|=>/1?,(。+方>。=7,

y1x2+y2+z2=V14八acx+2y+3z1

ci+b=(―1,—2,—3),设a与"的夹角为。，3"丽=而而=N

-x-2y-3z=7

.0°<6»<180°,.•.6=120.

故答案为：120.

变式1.(2023春•重庆北硝•高二西南大学附中校考阶段练习)已知a=(x,0,3),6=(l,2,-l),c=(l,z,l),

aLb,ac,则a与匕+c的夹角为()

A.—B.—C.-nD.—it

6336

【答案】B

【分析】根据空间向量的平行、垂直关系求x，z,再根据空间向量的坐标运算求夹角.

【详解】，，xxl+0x2+3x(—l)=x—3=。，解得x=3,即5=(3,0,3).

又,：ac,注意到afO，则UeR,使得2=2a=(34,0,3几)，

[3A=1A=—<

，解得，3,故c=(1,0,1).

1一z=0

.・.£+1=(2,2,0)M=,3?+02+32=3网力+4=J22+22+02=2&,20+1)=3x2+Ox2+3xO=6,

；rr〃,伍十】)61「八

=又"+c)e[0'*

故选：B.

变式2.(2023春.江苏•高二南师大二附中校联考阶段练习)若向量。=(1,41),6=(2,-1,-2),且。与b夹角

的余