高考数学试题及解答分类汇编大全

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（12圆锥曲线与方程）

一、选择题：

1.（XX北京理）若点P到直线x=—l的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹为（D）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

2.（XX福建文、理）双曲线「+与=1（。＞0力＞0）的两个焦点为耳，鸟，若P为其上的一点，且

a~b~

||=2126I，则双曲线离心率的取值范围为（B）

A.（1,3）B.（1,3]C.（3,+oo）D.[3,+oo）

22

3、（XX海南、宁夏文）双曲线--二=1的焦距为（D）

102

A.3&B.4^C.36D.46

4,（XX海南、宁夏理）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2,-1）的距离与点P到抛物线

焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（A）

A.（-,-1）B.（-,1）C.（1,2）D,（1,-2）

44

5.（XX湖北文、理）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点尸变轨

进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变

轨进入仍以尸为一个焦点的椭圆轨道H绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨

进入以尸为圆形轨道m绕月飞行，若用2cl和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦

距，用2al和2&分别表示椭圆轨道I和H的长轴的长，给出下列式子：

①4+C1=a,+。2；②4=a,-c2;@cta2＞ag,;④」＜

qa2

其中正确式子的序号是（B）

A.①③B.②③C.①@D.②④

6.（XX湖南文）双曲线/--5=1（。〉0力＞0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线

a2b-

的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（C）_

A.（1,⑨B.[£+◎C.（1,72+1]D.[0+1,+8）

7.（**湖南理）若双曲线二-二=1（a＞0,6＞0）上横坐标为也的点到右焦点的距离大于它到左准线

a'b-2

的距离，则双曲线离心率的取值范围是（B.）

A.（l,2）B.（2,+oo）C.（l,5）D.（5,+oo）

8.（XX江西文、理）已知斗心是椭圆的两个焦点.满足M耳•”月=0的点M总在椭圆内部，则

椭圆离心率的取值范围是（C）

,八八1c八&V2

A.（0,1）B.（0,—]C.（0,-2-）D.[,■91）

9.（XX辽宁文）已知双曲线9y2一机=1（m>0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为：，则加=（D）

A.1B.2C.3D.4

10.（XX辽宁理）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点p到点（0,2）的距离与P到该抛物

线准线的距离之和的最小值为（A）

A百「9

A.---B.3C.V5D.-

22

IL（XX全国I卷文）若直线2+2=1与圆V+y2=l有公共点，则（D）

ab

I1,11、，

A.cr+b2^1B.a2+b2^1C-/+乒、1D.靛+铲/

12.（XX全国II卷文）设6c是等腰三角形，NA6C=12（T,则以AB为焦点且过点C的双曲线的

离心率为（B）

A.匕且B,匕@C.1+V2D.1+V3

22

22

13.（XX全国口卷理）设。>1,则双曲线J一一J=1的离心率e的取值范围是（B）

a（。+1）

A.（>/2,2）B.（72,75）C.（2,5）D.（2,石）

14.（XX山东理）设椭圆G的离心率为2,焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点

13

到椭圆G的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为（A）

22^2->y2x2y2

(A)⑻击-导=i(C)--^=1(D)—-^=1

3242132122

22

15.（XX陕西文、理）双曲线三一斗=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别是F,过K作倾斜

a~h2

角为30的直线交双曲线右支于M点，若加入垂直于x轴，则双曲线的离心率为（B）

A.^6B.^3C.>/2D.--

3

22

16.（xx上海文）设〃是椭圆言+看=1上的点.若耳，鸟是椭圆的两个焦点，则6|+|P用等于（D）

A.4B.5C.8D.10

17.（XX四川文）已知双曲线C：=-3=1的左右焦点分别为耳,工，P为C的右支上一点，且

916

|P闾=闺闾,则AP"弱的面积等于(C)

(A)24(B)36(C)48(D)96

22

17.【解】：1•双曲线--L=1中a=3,/?=4,c=5

916

.♦•丹(-5,0),工(5,0)

,.[P闻=]耳周二归耳|=2a+幽=6+10=16

22

作尸耳边上的高AF2,则AFt=8AF2=V10-8=6

的面积为3帜用忖用=；*16><6=48故选C

18.(XX四川理)已知抛物线C:>2=8x的焦点为产，准线与无轴的交点为K,点A在C上且

\AK\=>/2\AF\,则八钎K的面积为(B)

(A)4(B)8(C)16(D)32

18.【解】：•..抛物线C:/=8x的焦点为"2,0),准线为x=—2/.A：(-2,0)

设A(x0,%),过A点向准线作垂线AB,则3(—2,%)

BA

■：\AK\=y/2\AF\,又=AB=与-(-2)=x0+2

由BK2=AK2一AB2得年=(%+2)2,即8x=(%+2)?,

0解得A(我4=)Fx

...A4EK的面积为:|KF"H%|=；X4X4=8故选B

22

19(XX天津文)设椭圆T+当=l(m>0,〃>0)的右焦点与抛物线/=8x的焦点相同,

n

离心率为L,

则此椭圆的方程为(B)

2

x2y2L]x2y2,

A.---1---=1B.-------1---------1C.—+—=1D.

1216161248646448

r22

20.(XX天津理)设椭圆与+y=l(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,

m"m2-1

则P点到右准线的距离为(B)

12万

(A)6(B)2(C)-(D)

2

29

Yy

21.(XX浙江文、理)若双曲线彳=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心

a

率是(D)

(A)3(B)5(C)V3(D)V5

22.(XX浙江理)如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得4ABP的面

积为定值，则动点P的轨迹是(B)

(A)圆(B〉椭圆(C)一条直线(D)两条平行直线

X216y2

23.(XX重庆文)若双曲线了一=1的左焦点在抛物线.y=2〃无

p2

的准线上，则p的值为(C)

(A)2(B)3(C)4(D)40

X2

24.(XX重庆理)已知双曲线节=1(67>0,/?>0)的一条渐近线为)=3必:>0),离心率6二乔氏,则双曲

a

线方程为(C)

2222222

y-xyxyxyi

(A)三=1⑻/一彳=1©薪一炉=1①寸万=1

a~4/

二、填空题：

22

1.（XX安徽文）已知双曲线^——J=1的离心率是相。则■=4

n12-〃

2.（**福建文）若直线31+4丁+根=0与圆/+；/一2》+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围

是（7,0）U（10,+8）

22

3、（XX海南、宁夏理）过双曲线^--二=1的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近

916

32

线的直线与双曲线交于点B,则4AFB的面积为—

~15~

22

4、（XX海南、宁夏文）过椭圆工+工=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为

54

坐标原点，则aOAB的面积为-

5.（乂*湖南理）已知椭圆二+2=1（a>b>0'）的右焦点为F,右准线为/，离心率0=好.

ab-5

过顶点40力）作AM1/,垂足为M,则直线FM的斜率等于―

2

6.（XX江苏）在平面直角坐标系中，椭圆二+与=1（a>匕>0）的焦距为2,以O为圆心，。为半径的

矿b

圆，过点（《,（）］作圆的两切线互相垂直，则离心率6=—.

IC）-2-

7（乂乂江西文）已知双曲线三一［=1（。〉0,。>0）的两条渐近线方程为丁=±立；1,若顶点到渐近线

ab3

的距离为1,则双曲线方程为上—生1=1

44

8.（XX江西理）过抛物线幺=2刀（〃>0）的焦点尸作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B

两点（点A在y轴左侧），则

3

3

9.（xx全国I卷文）在△A3。中，ZA=90\tanB=-.若以43为焦点的椭圆经过点C,则该椭

4

圆的离心率e=—.

10.（XX全国I卷文、理）已知抛物线）=依2-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点

为顶点的三角形面积为

7

11.（xx全国I卷理）在/VRC中，AB=BC,cos8=——.若以A,8为焦点的椭圆经过点C,则

18

3

该椭圆的离心率0=—.

8

12.（XX全国n卷理）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过/且斜率为I的直线交。于A8两点.设

|E4|>|FB|,则|总卜与|FB\的比值等于3+2近.

13.（XX全国II卷文）已知/是抛物线C：的焦点，A3是C上的两个点，线段A3的中点为

"（2,2）,则AAB尸的面积等于2.

13.（**山东文）已知圆。：炉+,2一6%—4〉+8=0.以圆C

与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述

X2V2

条件的双曲线的标准方程为—-^-=1

412—

14.（XX上海文诺直线曲:-y+I=0经过抛物线y2=4无的焦点，则实数a=-1.

15.（XX上海理）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是

长轴长为2a,短轴长为幼的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为九、如，且两个导航灯在

海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测

得甲、乙导航灯的仰角分别为。卜。2,那么船只已进入该浅水区的判别条件是一

1\cot4+/4•cota<2a___

16.（XX天津理）己知圆C的圆心与抛物线丁=4x的焦点关于直线y=x对称.直线4x—3y—2=0与圆

C相交于A,B两点，且|A且=6,则圆C的方程为x2+（y-=10.

17.（XX浙江文、理）已知人、月为椭圆二+匕=1的两个焦点，过£的直线交椭圆于48两点。

259

若川+|为用=12,则8。

三、解答题:

r2v2

1.（XX安徽文）设椭圆c：%+%y=l（a>6>0）其相应于焦点尸（2,0）的准线方程为X=4.

（1）求椭圆C的方程:

（II）已知过点£（一2,0）倾斜角为。的直线交椭圆C于两点，求证:

40

2-COS。

（III）过点耳（-2,0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆。于和Q,E,求恒回+|。目的最小值

1.解：（1）由题意得:

c=2

a2a2=8

——=4

c〃=4

a2^h2+c2

,,2y1

，椭圆。的方程为=.V+2=1

84

（2）方法一:

由（1）知耳（—2,0）是椭圆。的左焦点，离心率e=也

2

设/为椭圆的左准线。则/:x=-4

作的_L/于4,8用上/于用，/与x轴交于点H（如图）

•.•点A在椭圆上

.•.|叫=孝|明|

=+(|尸Hj+|A"cos。)

=应+¥|AK|COS6

2

同理忸耳=7---------

V2+cos0

MM=|A用+忸用=-=^-——+-^——=4四。

a-cos。>/24-cos62-cos~0

方法二：

JT

当—时，记左=tan8,则A8:y=/c(x+2)

2

将其代入方程x2+2y2=8得(l+2V)x2+Sk2x+S(k2-1)=0

设4(4口),8(孙冉)，则王,々是此二次方程的两个根.

.8炉8(公一1)

,-1+2/1-1+2/

IAB\=J(X|-々)2+(乂-%)2=J(1+%2)(XI_4)2=J(l+Zj[(X]+尤2>一

2_32(r-1)=40(1+r)

(1)

2

1+2/i+2k

4&

:k2=tan2&代入(1)式得|AB|=..(2)

2-cos20

当时，［43|=2也仍满足（2）式。

4

A\AB\=

2-cAos20

(3)设直线A3的倾斜角为6,由于OEJ_A氏由(2)可得

|AB\=彳忘,\DE\=4五2

'12-cos2^112-sin2^

|AB|+|DE|=-^+-±^=—邛

2-cos202-sin-024-sin2^cos202+—sin220

4Sm

当e=?或夕=，时，I+10目取得最小值

2.(XX安徽理)设椭圆C：T+方=1(。＞。＞0)过点M(虚,1),且着焦点为耳(一0,0)

(I)求椭圆C的方程；

(II)当过点P(4,l)的动直线/与椭圆C相交与两不同点A3时，在线段A8上取点。，满足

|福卜|苏卜|而H丽证明：点。总在某定直线上.

2.解(1)由题意：

c2=2

*71Y2V2

4+4=1，解得/=4万=2,所求椭圆方程为L+匕=1

a2b142

c2=a2-b2

(2)方法一：设点Q、A、B的坐标分别为0,田,(3,,),(＞2，%)。

APAQ

由题设知所|,同，屈।,顾।均不为零，记;i==，则4>0且；

PBQB

又A,P,B,Q四点共线，从而衣=-2而，恋=/1诙

八％一也1=»二必

于是

1-21-/1

_芭+AX

X-2V,2L±M

1+2

从而

一4

=4x，(1)(2)

1-22

又点A、B在椭圆C上，即

x；+2y；=4,……(3)x；+2y；=4,……(4)

(1)+(2)X2并结合(3),(4)得4s+2y=4

即点。(x,y)总在定直线2x+y-2=0上

方法二:设点Q(x,y),A(X，y),B(X2，y2)，由题设，国，网，河网均不为零。

PAPB

且

又P,A,Q,B四点共线，可设两=一九福，丽=2丽。工(),±1),于是

1-Ay

1-2

4+Ax1+4y

由于4%，%),5(%,%)在椭圆C上，将(1),(2)分别代入C的方程V+2y2=4,整理得

(x2+2y2-4)22-4(2x+y-2)2+14=0(3)

(x2+2/-4)22+4(2x+y-2)2+14=0(4)

(4)—(3)得8(2x+y—2)4=0

丁Xw0,「・2x+y—2=0

即点。(x,y)总在定直线2x+y—2=0上

3.(XX北京文)已知△A8C的顶点A,8在椭圆/+3V=4上，C在直线/:y=x+2上，且A8〃/.

(I)当AB边通过坐标原点。时，求AB的长及△ABC的面积；

(II)当NA8C=90°,且斜边AC的长最大时，求48所在直线的方程.

3.解：(I)因为AB〃/,且A8边通过点(0,0),所以A3所在直线的方程为广x.

设设B两点坐标分别为(X1,J1),(X2J2).

所以%|=20.

又因为AB边上的高h等于原点到直线/的距离,

所以〃=6LBC=；|ABM=2.

(II)设A8所在直线的方程为y=x+m.

(工2+3y2_A

由1'得+6mx+3M-4=0.

[y=x-\rm

因为A,8在椭圆上，

所以A=-12/+64>0.

设A,8两点坐标分别为(X2,2).

3m2-4

>/32-6/7?

所以四同一司=

又因为BC的长等于点到直线/的距离,

所以|AC「=|A5|2+15C|2=-nr-2m+10=-(/n+1)2+11.

所以当〃?=-l时，4c边最长.(这时F-12+64X))

此时AB所在直线的方程为y=x-1.

4.(XX北京理)已知菱形A8CO的顶点AC在椭圆f+3y2=4上，对角线3。所在直线的斜率为1.

(I)当直线5。过点(0,1)时，求直线AC的方程；

(II)当NA8C=60。时，求菱形ABC。面积的最大值.

4.解：（［）由题意得直线8。的方程为y=x+L

因为四边形ABC。为菱形，所以AC_L80.

于是可设直线AC的方程为y=-％+〃.

X+"4'得4d-6nx+3力之一4=0.

由<

y=-x+n

因为AC在椭圆匕

所以△=一12〃2+64>0,解得一生叵<〃<拽.

33

设AC两点坐标分别为（斗，x）,（z，必），

2

n,3n3n-4

贝1」%+工2=5，X\X2~一~~，,=_工］+〃，％=一々+〃.

所以x+必=--

所以AC的中点坐标为

由四边形A6C。为菱形可知，点在直线y=x+l上,

n3/7

所以0=±+1,解得〃=一2.

44

所以直线AC的方程为y=-x—2,即x+y+2=0.

(II)因为四边形A6C£＞为菱形，且NABC=60’,

所以|43|=WC=|C4|.

所以菱形468的面枳S=

由(1)可得|ACf=(内_/)2+(M_必)2=-31+16,

所以当”=0时，菱形ABC。的面积取得最大值4G.

x2y2

5.（XX福建文）如图，椭圆r+J=l（a>0>0）的一个焦点为F（1,0）且过点（2,0）。（1）求椭

a~b~

圆C的方程；（2）若AB为垂直与x轴的动弦，直线/:x=4

与x轴交于N,直线AF与BN交于点M。

①求证：点M恒在椭圆C上；②求AAMN面积的最大值。

5.解：（1）由题设a=2,c=l,从而：/=/一。2=3,所以方程

(2)①有F(l,0),N(4,0);设A(m,n),