高中数学题型全面归纳（学生版）：第七节空间角与距离

第七节空间角与距离

考纲解读

1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平

面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系

与区别，弄清他们各自的取值范围。

2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想，熟练掌握平移，射影等方法。

知识点精讲

一、空间角的定义和范围

（1）两条异面直线所成角。的范围是（0,-］，当夕金时，这两条异面直线互相垂直。

（2）斜线A0与它在平面。内的射影AB所成角，叫做直线与平面所成的角。

平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的

角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为之如果直线和平面平行或直线

2

在平面内，那么就是直线和平面所成的角为o.直线和平面所成的角的范围为［o,勺；斜

线和平面所成的角的范围为（0,；）,

（3）从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的

棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为I，两个平面分别为a,£的二面角记做

a-Z-P,二面角的范围是［0,“］

（4）一个平面垂直于二面角的公共棱且与两个半平面的交线分别是射线OA,OB,

则NA08叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直

二面角的两个平面垂直。

二、点到平面距离的定义

点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。

题型归纳及思路提示

题型118空间角的计算

思路提示

求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的平面角的大小；常用

的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法；（3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。

一、异面直线所成的角

方法一:通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来求

解，但要注意两条异面直线所成角的范围是（0,

2」

方法二：向量法，设异面直线a和b的方向向量为6和B，利用夹角余弦公式可求

I两

得a和b的夹角大小a且cos—•—«O

a=|cos<a,b>\=|a||bi

例8.59【2016高考新课标I理】平面a过正方体ABO481GA的顶点A,a〃平面CS。,

al平面ABC/"％,al平面A88|A1=〃，则〃］，〃所成角的正弦值为

A白_V21

A---D--------D-

223

变式1如图8-219所示，在长方体48CD-41816历中,4B=4。=LAA］=2,M是棱

CG的中点，求异面直线41M和QD］所成的角的正切值.

图8-219

变式2如图8-220所示，在三棱柱ABC-A/iG中，H是正方形44出8的中

心,44]=2五,C、H_L平面441B1BGH=展，求异面直线4c与必瓦所成角的余弦值.

图8-220

例8.60（2017全国II卷理）已知直三棱柱ABC—A4cl中，/ABC=120°,AB=2,

8C=CG=1,则异面直线Ag与BQ所成角的余弦值为（）

A百R岳cMDG

----D.-----V.-----U.----

2553

变式1如图8—224所示，已知正方体4BCD-勺比6％，点E是正方形BCG玩的

中心，点G是棱的中点，设E1,Gi分别是E，G在平面DCCWi内的正投影。求异面直线E[G]

与EA所成角的正弦值。

变式2如图8-225所示，在四棱锥尸-ABCO中，底面A8CO是矩形，P4_L底面4BCRE

是PC的中点。已知A8=24)=2«,B4=2.求异面直线BC与AE所成的角的大小.

图8-225

二、直线与平面所成的角

方法一:（垂线法）直线与平面所成的角就是直线与此直线在平面内的射影直线所成的角.

过直线上一点作出平面的垂线，得到垂足，而射影直线就通过斜足与垂足，因此作出平面的垂

线是必要的一步.具体步骤是:①先作出该角;②在直角三角形中求解.

方法二:（向量法）直线与平面所成的角为直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角的

余角.

如图8-226所示，设直线/的方向向量为彳，平面。的法向量为元，直线/和平面。所成

的角为〃，则<@t>+〃吟或因为。的取值范围是［0,7所以

sind=]coS<i；,ri>\=^

图8-226

方法三：（点面距法）利用相关方法求出直线上一点到平面的距离”，再求出此点与斜足间

的距离/,设直线和平面所成角的大小为。，则sin8

例8.61（2017天津文17）如图，在四棱锥P-A6C。中，平面尸。C,AD//BC,

PD1PB,AD=1,BC=3,8=4,PD=2

（I）求异面直线AP与8C所成的角的余弦值

（II）求证：PD1平面P3C

（III）求直线AB与平面所成角的正弦值

变式1如图8-229所示，在棱长为2的正方体4BCD-勺&6/中，点E是BQ的中点.

求DE与平面ABCD所成角的正切值.

图8-229

变式2如图8-230所示，在三棱锥V-ABC中，底面ABC,ACLBC,点。是AB

的中点，且AC=BC=a,ZVDC=0(O<6<》当8变化时，求直线BC与平面VAB所成角的

取值范围.

图8-230

变式3如图8-231所示，在RtAAOB中，乙408』,斜边AB=4,RtAA0C可以通过RtA

6

A08以A0为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点O在斜边AB上，

求CD与平面AOB所成角正切的最大值.

图8-231

三、二面角的平面角

求二面角的平面角的方法有：（1）根据定义，即在公共棱上取一点分别在两个半平面内

作棱的垂线，两条垂线所成的角即为二面角的平面角；（2）利用三垂线定理及其逆定理；（3）

当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底边的额两条中线；（4）求正棱锥侧面夹角时利用

三角形全等；（5）在直棱柱中求截面与底面夹角时，用二面角的面积射影定理

S^=S^\cos6\,其中8为二面角的大小;（6）利用空间向量求解二面角，转化为两个平面的

法向量夹角，公共棱不明显的二面角常用此法来求，但应注意法向量而，记的夹角与二面角

e的大小是相等或互补的（需要根据具体情况判断想等或互补）。

例8.62.（2017全国H卷理）如图，四棱锥P—ABC。中，侧面阴。为等边三角形且垂直

于底面ABC。，AB=BC=-AD,-=90。，E是PD的中点.

2

（1）证明：直线CE〃平面B4B；

（2）点M在棱PC上，且直接8M与底面ABCD所成角为45°,求二面角"―A5—。的

余弦值.

变式1如图8-234所示，在四面体0ABe中，0CL0A,OCLOB,ZAOB=\20Q,且

OA=OB=OC=1,求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.

图8-234

变式2如图8-235所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SOL平面ABCD,

SD=2a，AD=®&>0)。点E是SO上的点，且OE=2a(0<A42)。

设二面角C-AE-D的大小为仇直线BE与平面ABCD所成角为y，若tandStan<p=l<求2

值。

图8-235

变式3如图8-236所示，正方形A8C。和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEVAC,

EF〃AC,AB=y/2,CE=EF=1,二面角A-BE-D的大小.

图8-236

例8.63(2017天津理)如图，在三棱锥P—ABC中，Q4_L平面ABC,NBAC=90°,点

。,£"分别为棱抬,「。,3。的中点，M是线段AO的中点，PA=AC=4,AB=2

(I)求证：MN〃平面BDE

(II)求二面角C—EM—N的正弦值

(III)已知点”在棱24上，且直线NH与直线的所成的角的余弦值为立，求线段

21

的长

B

变式1如图8-239所示，四棱锥S-ABCD中，平面ABCD,AB^DC,ADLDC,

AB=AD=1,DC=SD^2,E为棱SD上的一点，平面EDCJ■平面SBC,求二面角A-DE-C的

大小。

图8-239

变式2如图8-240所示，已知正三棱柱—的各棱长都是4,E是BC的中点,

动点F在侧棱CG上，且不与点C重合，设二面角C-AF-E的大小为仇求tan8的最小值。

图8-240

变式3如图8-241所示,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,Q为BC的中点，POL平面ABC,

垂足。落在线段AD上.若8c=8,P0=4工0=3,00=2,求二面角B-AP-C的大小.

图8-241

例8.64(2016年新课标I理18)如图，在己A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面

ABEF为正方形，AF=2FQ,DA

(I)证明平面ABE尸tEFDC；

(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

FA

变式1如图8-244所示，四棱锥P-ABC。中，底面A8CQ为平行四边形，ZDAB=60°,

AB=24DPO_L底面ABC。。若PO=4。，求二面角A-P8-C的余弦值.

图8-244

变式2如图8-245所示，在四棱锥P-ABCD中,PA_L平面ABCD,底面ABCD为棱形,AB=2,

/BAD=60°,当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长。

图8-245

变式3如图8-246所示，四棱锥P-ABCD中，PAABCD,BC=CD=2,AC=4,

4CD=^ACB=60°,F为PC的中点，AF1PB.

⑴求PA的长；

(2)求二面角B-AF-D的正弦值。

图8246

变式4如图8-247所示，四棱柱ABC。-481Goi的底面ABCD是正方形，O为底面中心,

0Ax1平面ABCD,AB=AAt=叵

(1)证明：4iC_L平面

⑵求平面。C比与平面BBiDQ的夹角8的大小。

图8-247

题型119点到平面距离的计算

思路提示

求解点到平面的距离，常用方法有：

(1)定义法，作出点到免的垂线，，垂线段的长度就是点到平面的距离，通常是借助某个直角

三角形来求解。

(2)转化法，利用等体积法或者线面平行的位置关系，将点A到平面a的距离转化为与其相

关的点B到平面a的距离。

(3)向量法，点P为平面a外一点，点Q为平面a上的任一点，■为平面a的法向量，点P

到平面a的距离d=空。

1"1

例8.65如图8-248所示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2,4CB=90°,AP=BP=AB,

PC14C,求点C到平面PAB的距离。

变式1如图8-250所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的棱形，"1BC=45°，

OA1底面ABCD、OA=2,求点、B到平面OCD的距离。

图8-250

变式2如图8-251所示，四棱锥P-ABCD为矩形，PA\底面ABCD,PA=AB=近，求直

线AD与平面PBC的距离。

图8-251

例8.66如图8-252所示，正三棱柱ABC-A^\C\的所有棱长都为2,D为CG的中点，求

点C到平面48D的距离。

图8-252

变式1如图8-253所示，在四棱锥P-ABCD中

PD1底面ABCD,PD=DC=BC=1,AB//CD,/BCD=90°,点A到平面PBC的

距离.

图8-253

变式2如图8-254所示,三角形BCD与三角形MCD都市边长为2的正三角形，平面MCD±

平面BCD,ABj^BCD,AB=2®求点A到平面M8C的距离。

C

图8-254

例8.67如图8-255所示，在直三棱柱ABC—48G中，底面是等腰直角三角形，且AC=2,

NACB=90°,侧棱A4=2,D,E分别是CCi与4B的中点。求点4到平面AED的距离.

图8-255图8-256

变式1如图8-257所示，已知ABC。一ABICQI是底面边长为1的正四棱柱，Oi为4c

与BQ的交点,若点C到平面AB◎的距离为泉求正四棱柱ABCDfBC。的高。

图8-257

变式2如图8-258所示，四棱锥P-ABCD中P4j.成颜BCD,四边形ABCD中，

AD±AB,AB+AD=4,CD=也NCDA=45°,AB=AP。

(1)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；

(2)在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离相等？说明理由。

图8-258

最有效训练题37（限时45分钟）

1.正方体ABCD-A/CQi中AB=4A=2,A2=1,E为CCi的中点，则异面直线BG与AE

所成角的余弦值为（)

,旧c同c2V15n3^10

A.—B.—C.——D.——

10101010

2.如图8-259所示，在正三棱柱A8C—A]8iG中，AB=A\A,则AQ与平面BCGa所成

角的正弦值为（）

A.B.—D.-

54

B

图8-259

3.已知两平面的法向量分别为蔡=（0,1,0）,片=（0,1,1）,,则两平面所成的二面角为（）

445°B.1350C.45°最135°D.9O0

4.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直与AB,

已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2VI7,则该二面角的大小为（）

4.150°8.45°C.60°D.12O0

5.如图8-260所示,正方体428—Ai-止万的棱长为1,O为底面4/CiA的中心，则点

O到平面ABC\D\的距离为（）

Dt

图8-260

6.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,高为3,E.F